Theorem ncoprmlnprm 16689

Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmlnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoprmgcdgt1b 16611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
2	1	bicomd 224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
3	2	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
4		simp1 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5		eluzelz 12789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
6	4, 5	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7		dvdsle 16270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → 𝑖 ≤ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∥ 𝐴 → 𝑖 ≤ 𝐴))
9		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	3anim123i 1157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13		3anrot 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
14	12, 13	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		lelttr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑖 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
17	16	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))
18	17	3exp 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))))
19	18	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))))
20	19	3imp1 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23, 5	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26		zltlem1 12571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵 ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → (𝑖 < 𝐵 ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
28	21, 27	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
29	28	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
30	8, 29	syldc 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∥ 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
32	31	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
33		peano2zm 12561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
34	22, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
36	35	anim1ci 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
38		elfz5 13461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
40	32, 39	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
41		breq1 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
43		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
44	40, 42, 43	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
45		rexnal 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
46		notnotb 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
47	46	bicomi 225	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑗 ∥ 𝐵)
48	47	rexbii 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
49	45, 48	bitr3i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
50	44, 49	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
51	50	olcd 880	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
52		df-nel 3039	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
53		ianor 989	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
54		isprm3 16643	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
55	53, 54	xchnxbir 334	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
56	52, 55	bitri 276	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
57	51, 56	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
58	57	rexlimdva2 3142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
59	3, 58	sylbid 241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17019