MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmlnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmlnprm 16661
Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmlnprm ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncoprmgcdgt1b 16585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
21bicomd 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
323adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
4 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
64, 5anim12ci 615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7 dvdsle 16250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
9 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eluzelre 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
129, 10, 113anim123i 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13 3anrot 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
1412, 13sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15 lelttr 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1716expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))
18173exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
1918com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
20193imp1 1348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵))
2120imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22 nnz 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23223ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2423, 5anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26 zltlem1 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2821, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
2928ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
308, 29syldc 48 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3231impcom 409 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
33 peano2zm 12602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3422, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
35343ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3635anim1ci 617 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
38 elfz5 13490 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
4032, 39mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
41 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
4241adantl 483 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
43 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
4440, 42, 43rspcedvd 3615 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
45 rexnal 3101 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
46 notnotb 315 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗𝐵)
4746bicomi 223 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑗𝐵𝑗𝐵)
4847rexbii 3095 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
4945, 48bitr3i 277 . . . . . 6 (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
5044, 49sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
5150olcd 873 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
52 df-nel 3048 . . . . 5 (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
53 ianor 981 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
54 isprm3 16617 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5553, 54xchnxbir 333 . . . . 5 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5652, 55bitri 275 . . . 4 (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5751, 56sylibr 233 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
5857rexlimdva2 3158 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
593, 58sylbid 239 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  1c1 11108   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  cn 12209  2c2 12264  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481  cdvds 16194   gcd cgcd 16432  cprime 16605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16987
  Copyright terms: Public domain W3C validator