Theorem ncoprmlnprm 16747

Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmlnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoprmgcdgt1b 16670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
2	1	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
4		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5		eluzelz 12862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
6	4, 5	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7		dvdsle 16329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → 𝑖 ≤ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∥ 𝐴 → 𝑖 ≤ 𝐴))
9		nnre 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		nnre 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13		3anrot 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
14	12, 13	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		lelttr 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑖 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
17	16	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))
18	17	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))))
19	18	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵)))))
20	19	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 < 𝐵))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23, 5	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26		zltlem1 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵 ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → (𝑖 < 𝐵 ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ≤ 𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ≤ 𝐴 → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
30	8, 29	syldc 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∥ 𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
32	31	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
33		peano2zm 12635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
34	22, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
36	35	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
38		elfz5 13533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
40	32, 39	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
41		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
43		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
44	40, 42, 43	rspcedvd 3603	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
45		rexnal 3089	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
46		notnotb 315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
47	46	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ 𝑗 ∥ 𝐵)
48	47	rexbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
49	45, 48	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗 ∥ 𝐵)
50	44, 49	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵)
51	50	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
52		df-nel 3037	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
53		ianor 983	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
54		isprm3 16702	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
55	53, 54	xchnxbir 333	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
56	52, 55	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗 ∥ 𝐵))
57	51, 56	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
58	57	rexlimdva2 3143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
59	3, 58	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524   ∥ cdvds 16272   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17077