MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmlnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmlnprm 16284
Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmlnprm ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncoprmgcdgt1b 16208 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
21bicomd 226 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
323adant3 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
4 simp1 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5 eluzelz 12448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
64, 5anim12ci 617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7 dvdsle 15871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
9 nnre 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 nnre 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eluzelre 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
129, 10, 113anim123i 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13 3anrot 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
1412, 13sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15 lelttr 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1716expcomd 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))
18173exp 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
1918com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
20193imp1 1349 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵))
2120imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22 nnz 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23223ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2423, 5anim12ci 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26 zltlem1 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2821, 27mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
2928ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
308, 29syldc 48 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3231impcom 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
33 peano2zm 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3422, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
35343ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3635anim1ci 619 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
3736adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
38 elfz5 13104 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
4032, 39mpbird 260 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
41 breq1 5056 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
4241adantl 485 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
43 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
4440, 42, 43rspcedvd 3540 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
45 rexnal 3160 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
46 notnotb 318 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗𝐵)
4746bicomi 227 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑗𝐵𝑗𝐵)
4847rexbii 3170 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
4945, 48bitr3i 280 . . . . . 6 (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
5044, 49sylibr 237 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
5150olcd 874 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
52 df-nel 3047 . . . . 5 (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
53 ianor 982 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
54 isprm3 16240 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5553, 54xchnxbir 336 . . . . 5 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5652, 55bitri 278 . . . 4 (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5751, 56sylibr 237 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
5857rexlimdva2 3206 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
593, 58sylbid 243 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089  wcel 2110  wnel 3046  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  1c1 10730   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  cdvds 15815   gcd cgcd 16053  cprime 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16610
  Copyright terms: Public domain W3C validator