Theorem elss2prb 13835

Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elss2prb	⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elss2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6665	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((♯‘𝑧) = 2 ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2	1	elrab 3671	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
3		hash2prb 13820	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
4		elpwi 4534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑃 ⊆ 𝑉)
5		ssrexv 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
7		ssrexv 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
9	8	reximdv 3273	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
10	6, 9	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
11	3, 10	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
12	11	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
13		prelpwi 5326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
14	13	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
15		eleq1 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
16	15	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
17	14, 16	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
18		fveq2 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
19	18	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
20		hashprg 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
21	20	biimpcd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
23	22	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
24	19, 23	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = 2)
25	17, 24	jca 514	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
26	25	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
27	26	rexlimivv 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
28	12, 27	impbii 211	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
29	2, 28	bitri 277	1 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3924  𝒫 cpw 4525  {cpr 4555  ‘cfv 6341  2c2 11679  ♯chash 13680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-hash 13681

This theorem is referenced by:  hash2sspr  13836  exprelprel  13837  cusgredg  27192  paireqne  43758