Theorem elss2prb 14515

Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elss2prb	⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elss2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6880	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((♯‘𝑧) = 2 ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2	1	elrab 3653	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
3		hash2prb 14499	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
4		elpwi 4565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑃 ⊆ 𝑉)
5		ssrexv 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
7		ssrexv 4009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
9	8	reximdv 3180	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
10	6, 9	syld 48	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
11	3, 10	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
12	11	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
13		prelpwi 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
15		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
16	15	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
17	14, 16	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
18		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
19	18	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
20		hashprg 14422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
21	20	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
22	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
23	22	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
24	19, 23	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = 2)
25	17, 24	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
26	25	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
27	26	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
28	12, 27	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
29	2, 28	bitri 278	1 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  {cpr 4587  ‘cfv 6525  2c2 12286  ♯chash 14357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358

This theorem is referenced by:  hash2sspr  14516  exprelprel  14517  cusgredg  29683  paireqne  48115