MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elss2prb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elss2prb 14242
Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
elss2prb (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elss2prb
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6809 . . 3 (𝑧 = 𝑃 → ((♯‘𝑧) = 2 ↔ (♯‘𝑃) = 2))
21elrab 3629 . 2 (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
3 hash2prb 14227 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
4 elpwi 4546 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉𝑃𝑉)
5 ssrexv 3993 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
7 ssrexv 3993 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → (∃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
98reximdv 3164 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
106, 9syld 47 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
113, 10sylbid 240 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
1211imp 408 . . 3 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
13 prelpwi 5372 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
1413adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
15 eleq1 2824 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
1615ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
1714, 16mpbird 258 . . . . . 6 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
18 fveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
1918ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
20 hashprg 14151 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2120biimpcd 250 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2322impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
2419, 23eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = 2)
2517, 24jca 513 . . . . 5 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
2625ex 414 . . . 4 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
2726rexlimivv 3193 . . 3 (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
2812, 27impbii 208 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
292, 28bitri 276 1 (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2941  wrex 3071  {crab 3284  wss 3892  𝒫 cpw 4539  {cpr 4567  cfv 6454  2c2 12070  chash 14086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-hash 14087
This theorem is referenced by:  hash2sspr  14243  exprelprel  14244  cusgredg  27832  paireqne  45020
  Copyright terms: Public domain W3C validator