Theorem elss2prb 14415

Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elss2prb	⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elss2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6844	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((♯‘𝑧) = 2 ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2	1	elrab 3647	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
3		hash2prb 14399	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
4		elpwi 4562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑃 ⊆ 𝑉)
5		ssrexv 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
7		ssrexv 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
9	8	reximdv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
10	6, 9	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
11	3, 10	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
13		prelpwi 5396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
15		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
16	15	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
17	14, 16	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
18		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
19	18	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
20		hashprg 14322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
21	20	biimpcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
23	22	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
24	19, 23	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = 2)
25	17, 24	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
27	26	rexlimivv 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
28	12, 27	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
29	2, 28	bitri 275	1 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3400   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  {cpr 4583  ‘cfv 6493  2c2 12204  ♯chash 14257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-hash 14258

This theorem is referenced by:  hash2sspr  14416  exprelprel  14417  cusgredg  29480  paireqne  47793