Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elss2prb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elss2prb 13850
 Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
elss2prb (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem elss2prb
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6670 . . 3 (𝑧 = 𝑃 → ((♯‘𝑧) = 2 ↔ (♯‘𝑃) = 2))
21elrab 3666 . 2 (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
3 hash2prb 13835 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
4 elpwi 4531 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉𝑃𝑉)
5 ssrexv 4020 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
7 ssrexv 4020 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → (∃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
98reximdv 3265 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑉𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
106, 9syld 47 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
113, 10sylbid 243 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
1211imp 410 . . 3 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
13 prelpwi 5327 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
1413adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉)
15 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
1615ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝒫 𝑉))
1714, 16mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
18 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
1918ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑥, 𝑦}))
20 hashprg 13761 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2120biimpcd 252 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2221adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
2322impcom 411 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
2419, 23eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (♯‘𝑃) = 2)
2517, 24jca 515 . . . . 5 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
2625ex 416 . . . 4 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
2726rexlimivv 3284 . . 3 (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
2812, 27impbii 212 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
292, 28bitri 278 1 (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137   ⊆ wss 3919  𝒫 cpw 4522  {cpr 4552  ‘cfv 6343  2c2 11689  ♯chash 13695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696 This theorem is referenced by:  hash2sspr  13851  exprelprel  13852  cusgredg  27220  paireqne  43958
 Copyright terms: Public domain W3C validator