Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze 31787
Description: The Erdős-Szekeres theorem. For any injective sequence 𝐹 on the reals of length at least (𝑅 − 1) · (𝑆 − 1) + 1, there is either a subsequence of length at least 𝑅 on which 𝐹 is increasing (i.e. a < , < order isomorphism) or a subsequence of length at least 𝑆 on which 𝐹 is decreasing (i.e. a < , < order isomorphism, recalling that < is the "greater than" relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdsze.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze.l (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdsze (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem erdsze
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 erdsze.f . 2 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 reseq2 5639 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
4 isoeq1 6841 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
6 isoeq4 6844 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤))))
7 imaeq2 5718 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8 isoeq5 6845 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
105, 6, 93bitrd 297 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
11 elequ2 2121 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧𝑤𝑧𝑦))
1210, 11anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)))
1312cbvrabv 3396 . . . . . 6 {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}
14 oveq2 6932 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (1...𝑧) = (1...𝑥))
1514pweqd 4384 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → 𝒫 (1...𝑧) = 𝒫 (1...𝑥))
16 elequ1 2114 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑦𝑥𝑦))
1716anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)))
1815, 17rabeqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
1913, 18syl5eq 2826 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
2019imaeq2d 5722 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}) = (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}))
2120supeq1d 8642 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ) = sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
2221cbvmptv 4987 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
23 isoeq1 6841 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
25 isoeq4 6844 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤))))
26 isoeq5 6845 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
2824, 25, 273bitrd 297 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
2928, 11anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)))
3029cbvrabv 3396 . . . . . 6 {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}
3116anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)))
3215, 31rabeqbidv 3392 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
3330, 32syl5eq 2826 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
3433imaeq2d 5722 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}) = (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}))
3534supeq1d 8642 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ) = sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
3635cbvmptv 4987 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
37 eqid 2778 . 2 (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛)⟩)
38 erdsze.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
39 erdsze.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
40 erdsze.l . 2 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 31786 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  {crab 3094  𝒫 cpw 4379  cop 4404   class class class wbr 4888  cmpt 4967  ccnv 5356  cres 5359  cima 5360  1-1wf1 6134  cfv 6137   Isom wiso 6138  (class class class)co 6924  supcsup 8636  cr 10273  1c1 10275   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  cn 11378  ...cfz 12647  chash 13439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-hash 13440
This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  31789
  Copyright terms: Public domain W3C validator