Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erdsze 34721
Description: The ErdΕ‘s-Szekeres theorem. For any injective sequence 𝐹 on the reals of length at least (𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1) + 1, there is either a subsequence of length at least 𝑅 on which 𝐹 is increasing (i.e. a < , < order isomorphism) or a subsequence of length at least 𝑆 on which 𝐹 is decreasing (i.e. a < , β—‘ < order isomorphism, recalling that β—‘ < is the "greater than" relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdsze.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdsze.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
erdsze.l (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdsze (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑁,𝑠   πœ‘,𝑠   𝑆,𝑠
Proof of Theorem erdsze
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 erdsze.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 reseq2 5969 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
4 isoeq1 7309 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
6 isoeq4 7312 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
7 imaeq2 6048 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦))
8 isoeq5 7313 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
105, 6, 93bitrd 305 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
11 elequ2 2113 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
1210, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1312cbvrabv 3436 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
14 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (1...𝑧) = (1...π‘₯))
1514pweqd 4614 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝒫 (1...𝑧) = 𝒫 (1...π‘₯))
16 elequ1 2105 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1716anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
1815, 17rabeqbidv 3443 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
1913, 18eqtrid 2778 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
2019imaeq2d 6052 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
2120supeq1d 9440 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
2221cbvmptv 5254 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
23 isoeq1 7309 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
25 isoeq4 7312 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
26 isoeq5 7313 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2824, 25, 273bitrd 305 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2928, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
3029cbvrabv 3436 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
3116anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
3215, 31rabeqbidv 3443 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3330, 32eqtrid 2778 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3433imaeq2d 6052 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
3534supeq1d 9440 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
3635cbvmptv 5254 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
37 eqid 2726 . 2 (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩)
38 erdsze.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
39 erdsze.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
40 erdsze.l . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 34720 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536   Isom wiso 6537  (class class class)co 7404  supcsup 9434  β„cr 11108  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  ...cfz 13487  β™―chash 14293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294
This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  34723
  Copyright terms: Public domain W3C validator