Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erdsze 34845
Description: The ErdΕ‘s-Szekeres theorem. For any injective sequence 𝐹 on the reals of length at least (𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1) + 1, there is either a subsequence of length at least 𝑅 on which 𝐹 is increasing (i.e. a < , < order isomorphism) or a subsequence of length at least 𝑆 on which 𝐹 is decreasing (i.e. a < , β—‘ < order isomorphism, recalling that β—‘ < is the "greater than" relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdsze.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdsze.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
erdsze.l (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdsze (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑁,𝑠   πœ‘,𝑠   𝑆,𝑠
Proof of Theorem erdsze
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 erdsze.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 reseq2 5984 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
4 isoeq1 7331 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
6 isoeq4 7334 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
7 imaeq2 6064 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦))
8 isoeq5 7335 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
105, 6, 93bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
11 elequ2 2113 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
1210, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1312cbvrabv 3441 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
14 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (1...𝑧) = (1...π‘₯))
1514pweqd 4623 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝒫 (1...𝑧) = 𝒫 (1...π‘₯))
16 elequ1 2105 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1716anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
1815, 17rabeqbidv 3448 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
1913, 18eqtrid 2780 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
2019imaeq2d 6068 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
2120supeq1d 9477 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
2221cbvmptv 5265 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
23 isoeq1 7331 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
25 isoeq4 7334 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
26 isoeq5 7335 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2824, 25, 273bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2928, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
3029cbvrabv 3441 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
3116anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
3215, 31rabeqbidv 3448 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3330, 32eqtrid 2780 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3433imaeq2d 6068 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
3534supeq1d 9477 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
3635cbvmptv 5265 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
37 eqid 2728 . 2 (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩)
38 erdsze.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
39 erdsze.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
40 erdsze.l . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 34844 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  π’« cpw 4606  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553   Isom wiso 6554  (class class class)co 7426  supcsup 9471  β„cr 11145  1c1 11147   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  ...cfz 13524  β™―chash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330
This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  34847
  Copyright terms: Public domain W3C validator