Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erdsze 34181
Description: The ErdΕ‘s-Szekeres theorem. For any injective sequence 𝐹 on the reals of length at least (𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1) + 1, there is either a subsequence of length at least 𝑅 on which 𝐹 is increasing (i.e. a < , < order isomorphism) or a subsequence of length at least 𝑆 on which 𝐹 is decreasing (i.e. a < , β—‘ < order isomorphism, recalling that β—‘ < is the "greater than" relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdsze.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdsze.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
erdsze.l (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdsze (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑁,𝑠   πœ‘,𝑠   𝑆,𝑠
Proof of Theorem erdsze
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 erdsze.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 reseq2 5974 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
4 isoeq1 7310 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
6 isoeq4 7313 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
7 imaeq2 6053 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦))
8 isoeq5 7314 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
105, 6, 93bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
11 elequ2 2121 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦))
1210, 11anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1312cbvrabv 3442 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
14 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (1...𝑧) = (1...π‘₯))
1514pweqd 4618 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝒫 (1...𝑧) = 𝒫 (1...π‘₯))
16 elequ1 2113 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ π‘₯ ∈ 𝑦))
1716anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
1815, 17rabeqbidv 3449 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
1913, 18eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
2019imaeq2d 6057 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
2120supeq1d 9437 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
2221cbvmptv 5260 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
23 isoeq1 7310 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝑀) = (𝐹 β†Ύ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀))))
25 isoeq4 7313 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀))))
26 isoeq5 7314 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑀) = (𝐹 β€œ 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2824, 25, 273bitrd 304 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦))))
2928, 11anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
3029cbvrabv 3442 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)}
3116anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)))
3215, 31rabeqbidv 3449 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3330, 32eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)})
3433imaeq2d 6057 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ (β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}) = (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}))
3534supeq1d 9437 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
3635cbvmptv 5260 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , β—‘ < (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
37 eqid 2732 . 2 (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑀 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑀) Isom < , β—‘ < (𝑀, (𝐹 β€œ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀)}), ℝ, < ))β€˜π‘›)⟩)
38 erdsze.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
39 erdsze.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•)
40 erdsze.l . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆ’ 1) Β· (𝑆 βˆ’ 1)) < 𝑁)
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 34180 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , β—‘ < (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7405  supcsup 9431  β„cr 11105  1c1 11107   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  ...cfz 13480  β™―chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator