Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze 34656
Description: The Erdős-Szekeres theorem. For any injective sequence 𝐹 on the reals of length at least (𝑅 − 1) · (𝑆 − 1) + 1, there is either a subsequence of length at least 𝑅 on which 𝐹 is increasing (i.e. a < , < order isomorphism) or a subsequence of length at least 𝑆 on which 𝐹 is decreasing (i.e. a < , < order isomorphism, recalling that < is the "greater than" relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdsze.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze.l (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdsze (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑅,𝑠   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem erdsze
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 erdsze.f . 2 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 reseq2 5976 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
4 isoeq1 7317 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
6 isoeq4 7320 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤))))
7 imaeq2 6055 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
8 isoeq5 7321 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
105, 6, 93bitrd 305 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
11 elequ2 2120 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧𝑤𝑧𝑦))
1210, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)))
1312cbvrabv 3441 . . . . . 6 {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}
14 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (1...𝑧) = (1...𝑥))
1514pweqd 4619 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → 𝒫 (1...𝑧) = 𝒫 (1...𝑥))
16 elequ1 2112 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑦𝑥𝑦))
1716anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)))
1815, 17rabeqbidv 3448 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
1913, 18eqtrid 2783 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
2019imaeq2d 6059 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}) = (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}))
2120supeq1d 9447 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ) = sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
2221cbvmptv 5261 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
23 isoeq1 7317 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤))))
25 isoeq4 7320 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤))))
26 isoeq5 7321 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
2824, 25, 273bitrd 305 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦))))
2928, 11anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)))
3029cbvrabv 3441 . . . . . 6 {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)}
3116anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)))
3215, 31rabeqbidv 3448 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
3330, 32eqtrid 2783 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)})
3433imaeq2d 6059 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}) = (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}))
3534supeq1d 9447 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ) = sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
3635cbvmptv 5261 . 2 (𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
37 eqid 2731 . 2 (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛), ((𝑧 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑤 ∈ 𝒫 (1...𝑧) ∣ ((𝐹𝑤) Isom < , < (𝑤, (𝐹𝑤)) ∧ 𝑧𝑤)}), ℝ, < ))‘𝑛)⟩)
38 erdsze.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
39 erdsze.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
40 erdsze.l . 2 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 34655 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  {crab 3431  𝒫 cpw 4602  cop 4634   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5675  cres 5678  cima 5679  1-1wf1 6540  cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cr 11115  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  cn 12219  ...cfz 13491  chash 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298
This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  34658
  Copyright terms: Public domain W3C validator