Theorem estrchomfn 18271

Description: The Hom-set operation in the category of extensible structures (in a universe) is a function. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrchomfn.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrchomfn.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfn.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
estrchomfn	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈))

Proof of Theorem estrchomfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))
2		ovex 7441	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8064	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) Fn (𝑈 × 𝑈)
4		estrchomfn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
5		estrchomfn.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		estrchomfn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
7	4, 5, 6	estrchomfval 18262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
8	7	fneq1d 6620	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) Fn (𝑈 × 𝑈)))
9	3, 8	mpbiri 261	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5645   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17349  Hom chom 17401  ExtStrCatcestrc 18258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-hom 17414  df-cco 17415  df-estrc 18259

This theorem is used by:  estrchomfeqhom  18272