Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  estrchomfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem estrchomfn 17379
 Description: The Hom-set operation in the category of extensible structures (in a universe) is a function. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
estrchomfn.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrchomfn.u (𝜑𝑈𝑉)
estrchomfn.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
estrchomfn (𝜑𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈))

Proof of Theorem estrchomfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))
2 ovex 7168 . . 3 ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) ∈ V
31, 2fnmpoi 7752 . 2 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) Fn (𝑈 × 𝑈)
4 estrchomfn.c . . . 4 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
5 estrchomfn.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
6 estrchomfn.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
74, 5, 6estrchomfval 17370 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
87fneq1d 6416 . 2 (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈) ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) Fn (𝑈 × 𝑈)))
93, 8mpbiri 261 1 (𝜑𝐻 Fn (𝑈 × 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5517   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑m cmap 8391  Basecbs 16477  Hom chom 16570  ExtStrCatcestrc 17366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-hom 16583  df-cco 16584  df-estrc 17367 This theorem is referenced by:  estrchomfeqhom  17380
 Copyright terms: Public domain W3C validator