Theorem etransclem36 47419

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem36.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem36.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem36.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem36.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem36.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem36.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem36.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem36.jx	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
etransclem36.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem36.10	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
etransclem36	⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛, 𝑐)   𝐹(𝑥, 𝑗, 𝑛, 𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem36

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem36.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		etransclem36.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3		etransclem36.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		etransclem36.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		etransclem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
6		etransclem36.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		etransclem36.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8		etransclem36.10	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
9		etransclem36.jx	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	etransclem31 47414	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
11	8, 6	etransclem16 47399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)
12	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
13	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		etransclem36.jz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		etransclem11 47394	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
18		etransclem11 47394	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
19	8, 17, 18	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
21	12, 13, 14, 16, 19, 20	etransclem26 47409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
22	11, 21	fsumzcl 15913	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
23	10, 22	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  ifcif 4484  {cpr 4589   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   · cmul 11215   < clt 11353   − cmin 11551   / cdiv 11983  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ...cfz 13649  ↑cexp 14214  !cfa 14427  Σcsu 15865  ∏cprod 16084   ↾_t crest 17603  TopOpenctopn 17604  ℂ_fldccnfld 21690   D^𝑛 cdvn 26196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-prod 16085  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lp 23466  df-perf 23467  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cncf 25211  df-limc 26198  df-dv 26199  df-dvn 26200

This theorem is used by:  etransclem42  47425