Theorem etransclem36 46550

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem36.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem36.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem36.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem36.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem36.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem36.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem36.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem36.jx	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
etransclem36.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem36.10	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
etransclem36	⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem36

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem36.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		etransclem36.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3		etransclem36.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		etransclem36.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		etransclem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
6		etransclem36.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		etransclem36.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8		etransclem36.10	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
9		etransclem36.jx	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	etransclem31 46545	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
11	8, 6	etransclem16 46530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
13	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		etransclem36.jz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		etransclem11 46525	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
18		etransclem11 46525	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
19	8, 17, 18	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
21	12, 13, 14, 16, 19, 20	etransclem26 46540	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
22	11, 21	fsumzcl 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
23	10, 22	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  ifcif 4480  {cpr 4583   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ↑cexp 13988  !cfa 14200  Σcsu 15613  ∏cprod 15830   ↾_t crest 17344  TopOpenctopn 17345  ℂ_fldccnfld 21313   D^𝑛 cdvn 25825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-prod 15831  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-dvn 25829

This theorem is referenced by:  etransclem42  46556