Theorem etransclem36 42575

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem36.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem36.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem36.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem36.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem36.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem36.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem36.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem36.jx	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
etransclem36.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem36.10	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
etransclem36	⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem36

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem36.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		etransclem36.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3		etransclem36.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		etransclem36.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		etransclem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
6		etransclem36.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		etransclem36.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8		etransclem36.10	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
9		etransclem36.jx	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	etransclem31 42570	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
11	8, 6	etransclem16 42555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)
12	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
13	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		etransclem36.jz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		etransclem11 42550	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
18		etransclem11 42550	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
19	8, 17, 18	3eqtri 2848	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑒‘𝑗) = 𝑛})
20		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁))
21	12, 13, 14, 16, 19, 20	etransclem26 42565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
22	11, 21	fsumzcl 15092	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
23	10, 22	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142  ifcif 4467  {cpr 4569   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  !cfa 13634  Σcsu 15042  ∏cprod 15259   ↾_t crest 16694  TopOpenctopn 16695  ℂ_fldccnfld 20545   D^𝑛 cdvn 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-prod 15260  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-dvn 24466

This theorem is referenced by:  etransclem42  42581