Theorem ex-mod 30430

Description: Example for df-mod 13887. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12391	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12518	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12319	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12412	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13937	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2758	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12430	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11348	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12411	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12937	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17130	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16722	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3028	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12624	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12332	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16293	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12627	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16366	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 231	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269  -cneg 11467  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  7c7 12300  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   mod cmo 13886   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by: (None)