Theorem ex-mod 31080

Description: Example for df-mod 14037. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ ( -7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12520	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7453	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12650	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12449	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12543	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 14089	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1491	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12444	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12562	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11450	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12443	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 13075	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17317	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16908	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3055	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12755	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12462	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12747	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16472	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12758	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16546	. . . 4 ⊢ ( -7 ∈ ℤ → (( -7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( -7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 234	. 2 ⊢ ( -7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ ( -7 mod 2) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   -cneg 11569  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  5c5 12427  7c7 12429  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992   mod cmo 14036   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-prm 16876

This theorem is used by: (None)