MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-mod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-mod 28240
Description: Example for df-mod 13245. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-mod ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod
StepHypRef Expression
1 3p2e5 11788 . . . . 5 (3 + 2) = 5
21eqcomi 2833 . . . 4 5 = (3 + 2)
32oveq1i 7160 . . 3 (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4 2nn0 11914 . . . 4 2 ∈ ℕ0
5 3nn 11716 . . . 4 3 ∈ ℕ
6 2lt3 11809 . . . 4 2 < 3
7 addmodid 13294 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
84, 5, 6, 7mp3an 1458 . . 3 ((3 + 2) mod 3) = 2
93, 8eqtri 2847 . 2 (5 mod 3) = 2
10 2re 11711 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 2lt7 11827 . . . . . 6 2 < 7
1210, 11ltneii 10752 . . . . 5 2 ≠ 7
13 2nn 11710 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
14 1lt2 11808 . . . . . . 7 1 < 2
15 eluz2b2 12321 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
1613, 14, 15mpbir2an 710 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
17 7prm 16447 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
18 dvdsprm 16048 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
1916, 17, 18mp2an 691 . . . . 5 (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
2012, 19nemtbir 3109 . . . 4 ¬ 2 ∥ 7
21 2z 12014 . . . . 5 2 ∈ ℤ
22 7nn 11729 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
2322nnzi 12006 . . . . 5 7 ∈ ℤ
24 dvdsnegb 15630 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
2521, 23, 24mp2an 691 . . . 4 (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
2620, 25mtbi 325 . . 3 ¬ 2 ∥ -7
27 znegcl 12017 . . . 4 (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28 mod2eq1n2dvds 15699 . . . 4 (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
2923, 27, 28mp2b 10 . . 3 ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
3026, 29mpbir 234 . 2 (-7 mod 2) = 1
319, 30pm3.2i 474 1 ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  1c1 10537   + caddc 10539   < clt 10674  -cneg 10870  cn 11637  2c2 11692  3c3 11693  5c5 11695  7c7 11697  0cn0 11897  cz 11981  cuz 12243   mod cmo 13244  cdvds 15610  cprime 16016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-ico 12744  df-fz 12898  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-prm 16017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator