Theorem ex-mod 30983

Description: Example for df-mod 13978. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12462	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12592	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12391	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12485	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 14030	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2783	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12386	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12504	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11394	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12385	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12484	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 13017	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17249	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16841	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3051	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12697	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12404	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12689	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16410	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12700	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16484	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 234	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1c1 11172   + caddc 11174   < clt 11314  -cneg 11513  ℕcn 12304  2c2 12366  3c3 12367  5c5 12369  7c7 12371  ℕ₀cn0 12575  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934   mod cmo 13977   ∥ cdvds 16389  ℙcprime 16808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-ico 13451  df-fz 13609  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-prm 16809

This theorem is used by: (None)