Theorem ex-mod 30915

Description: Example for df-mod 13933. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12418	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12548	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12347	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12441	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13985	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2785	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12342	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12460	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11350	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12440	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12973	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17206	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16798	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3053	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12653	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12360	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12645	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16367	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12656	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16441	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 234	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270  -cneg 11469  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  5c5 12325  7c7 12327  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   mod cmo 13932   ∥ cdvds 16346  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-prm 16766

This theorem is used by: (None)