Theorem ex-mod 27898

Description: Example for df-mod 12993. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 11538	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2787	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 6934	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 11666	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 11459	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 11559	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13042	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1534	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2802	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 11454	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 11577	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 10491	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 11453	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 11558	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
15	13, 14	pm3.2i 464	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2)
16		eluz2b2 12073	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
17	15, 16	mpbir 223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
18		7prm 16227	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
19		dvdsprm 15830	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
20	17, 18, 19	mp2an 682	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
21	12, 20	nemtbir 3065	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
22		2z 11766	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		7nn 11476	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
24	23	nnzi 11758	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
25		dvdsnegb 15416	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
26	22, 24, 25	mp2an 682	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
27	21, 26	mtbi 314	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
28		znegcl 11769	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
29		mod2eq1n2dvds 15485	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
30	24, 28, 29	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
31	27, 30	mpbir 223	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
32	9, 31	pm3.2i 464	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  -cneg 10609  ℕcn 11379  2c2 11435  3c3 11436  5c5 11438  7c7 11440  ℕ₀cn0 11647  ℤcz 11733  ℤ_≥cuz 11997   mod cmo 12992   ∥ cdvds 15396  ℙcprime 15800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-rp 12143  df-ico 12498  df-fz 12649  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-prm 15801

This theorem is referenced by: (None)