Theorem ex-mod 30436

Description: Example for df-mod 13780. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12277	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7362	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12404	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12210	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12298	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13832	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11232	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12204	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12297	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12825	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17028	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16620	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3024	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12510	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12502	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16190	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12513	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16264	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 231	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  1c1 11013   + caddc 11015   < clt 11152  -cneg 11351  ℕcn 12131  2c2 12186  3c3 12187  5c5 12189  7c7 12191  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738   mod cmo 13779   ∥ cdvds 16169  ℙcprime 16588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-ico 13257  df-fz 13414  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-prm 16589

This theorem is referenced by: (None)