Theorem ex-mod 30658

Description: Example for df-mod 13890. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12378	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7406	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12508	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12307	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12401	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13942	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1483	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12302	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12420	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11307	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12400	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12932	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 721	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17156	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16748	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3054	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12613	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12320	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12605	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16317	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 324	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12616	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16391	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 233	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 474	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11085   + caddc 11087   < clt 11227  -cneg 11426  ℕcn 12220  2c2 12282  3c3 12283  5c5 12285  7c7 12287  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578  ℤ_≥cuz 12849   mod cmo 13889   ∥ cdvds 16296  ℙcprime 16715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-rp 13004  df-ico 13365  df-fz 13523  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-dvds 16297  df-prm 16716

This theorem is referenced by: (None)