Theorem ex-mod 30811

Description: Example for df-mod 13910. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12397	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12527	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12326	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12420	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13962	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1489	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2785	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12321	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12439	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11329	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12419	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12951	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 723	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17176	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16768	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3053	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12632	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12624	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16337	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12635	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16411	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 234	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 475	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249  -cneg 11448  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  5c5 12304  7c7 12306  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868   mod cmo 13909   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-prm 16736

This theorem is used by: (None)