Theorem ex-mod 28714

Description: Example for df-mod 13518. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12054	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12180	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 11982	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12075	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13567	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2766	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 11977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12093	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11018	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 11976	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12074	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12590	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 707	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 16740	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16336	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3039	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 11995	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 15911	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 321	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12285	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 15984	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 230	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  5c5 11961  7c7 11963  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   mod cmo 13517   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by: (None)