Theorem ex-mod 30741

Description: Example for df-mod 13903. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12391	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12521	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12320	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12414	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13955	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1487	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2792	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12433	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11323	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12314	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12413	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12945	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 723	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17170	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16762	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3060	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12333	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12618	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16331	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12629	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16405	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 234	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 475	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243  -cneg 11442  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  7c7 12300  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862   mod cmo 13902   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-prm 16730

This theorem is referenced by: (None)