Theorem ex-mod 30507

Description: Example for df-mod 13794. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12295	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12228	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12316	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13846	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2760	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12334	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11250	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12222	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12315	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12838	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17042	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16634	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3029	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12527	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12519	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16204	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12530	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16278	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 231	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170  -cneg 11369  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  5c5 12207  7c7 12209  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755   mod cmo 13793   ∥ cdvds 16183  ℙcprime 16602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-fz 13428  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-prm 16603

This theorem is referenced by: (None)