Theorem ex-mod 30586

Description: Example for df-mod 13866. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12354	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2761	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7391	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12283	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12377	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13918	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1472	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2775	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12278	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12396	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11282	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12277	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12376	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12908	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 719	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17118	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16710	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 700	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3043	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12589	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12296	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12581	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16279	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 700	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 324	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12592	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16353	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 233	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 473	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11202  -cneg 11401  ℕcn 12196  2c2 12258  3c3 12259  5c5 12261  7c7 12263  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825   mod cmo 13865   ∥ cdvds 16258  ℙcprime 16677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-ico 13341  df-fz 13499  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-prm 16678

This theorem is referenced by: (None)