Theorem ex-mod 30419

Description: Example for df-mod 13766. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12263	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7351	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12390	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12196	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12284	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13818	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2753	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12191	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12302	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11218	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12190	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12283	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12811	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 17014	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16606	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3022	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12496	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12209	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12488	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 16176	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12499	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16250	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 231	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1c1 10999   + caddc 11001   < clt 11138  -cneg 11337  ℕcn 12117  2c2 12172  3c3 12173  5c5 12175  7c7 12177  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724   mod cmo 13765   ∥ cdvds 16155  ℙcprime 16574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-rp 12883  df-ico 13243  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-prm 16575

This theorem is referenced by: (None)