Theorem ex-mod 28809

Description: Example for df-mod 13588. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12124	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7281	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 12052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 12145	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13637	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2768	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 12163	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 11088	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 12046	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12144	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12660	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 708	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 16810	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16406	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3042	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 12065	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12344	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 15981	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12355	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 16054	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 230	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  7c7 12033  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581   mod cmo 13587   ∥ cdvds 15961  ℙcprime 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-ico 13084  df-fz 13239  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-prm 16375

This theorem is referenced by: (None)