Theorem expeq0 14015

Description: A positive integer power is zero if and only if its base is zero. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
3	2	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑘) = 0))
7	6	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
11	10	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑁) = 0))
15	14	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17		exp1 13990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19		nnnn0 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 13991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0))
22		expcl 14002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23	mul0ord 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
25	21, 24	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	19, 25	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27		biimp 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28		idd 24	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
29	27, 28	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30		olc 868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	29, 30	impbid1 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
32	26, 31	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
33	32	exp31 419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
34	33	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
35	34	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 12163	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
37	36	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  expne0  14016  0exp  14020  sqeq0  14043  expeq0d  14065  rpexp  16649  dvdsexpnn0  42585  dffltz  42873