Theorem expeq0 14215

Description: A positive integer power is zero if and only if its base is zero. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
3	2	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑘) = 0))
7	6	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
11	10	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑁) = 0))
15	14	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17		exp1 14190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19		nnnn0 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 14191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0))
22		expcl 14202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23	mul0ord 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
25	21, 24	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	19, 25	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27		biimp 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28		idd 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
29	27, 28	jaod 873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30		olc 882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	29, 30	impbid1 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
32	26, 31	sylan9bb 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
33	32	exp31 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
34	33	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
35	34	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 12334	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
37	36	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  expne0  14216  0exp  14220  sqeq0  14243  expeq0d  14265  rpexp  16878  dvdsexpnn0  43354  dffltz  43624