Theorem expeq0 13999

Description: A positive integer power is zero if and only if its base is zero. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
3	2	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑘) = 0))
7	6	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
11	10	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑁) = 0))
15	14	bibi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17		exp1 13974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19		nnnn0 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 13975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0))
22		expcl 13986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23	mul0ord 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
25	21, 24	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	19, 25	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27		biimp 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28		idd 24	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
29	27, 28	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30		olc 868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	29, 30	impbid1 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
32	26, 31	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
33	32	exp31 419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
34	33	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
35	34	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 12146	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
37	36	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  expne0  14000  0exp  14004  sqeq0  14027  expeq0d  14049  rpexp  16633  dvdsexpnn0  42317  dffltz  42617