Theorem expeq0 14058

Description: A positive integer power is zero if and only if its base is zero. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
3	2	bibi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4	3	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑘) = 0))
7	6	bibi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
11	10	bibi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑁) = 0))
15	14	bibi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
16	15	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17		exp1 14033	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19		nnnn0 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 14034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0))
22		expcl 14045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23	mul0ord 11864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
25	21, 24	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	19, 25	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27		biimp 214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28		idd 24	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
29	27, 28	jaod 858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30		olc 867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	29, 30	impbid1 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
32	26, 31	sylan9bb 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
33	32	exp31 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
34	33	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
35	34	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 12230	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
37	36	impcom 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  expne0  14059  0exp  14063  sqeq0  14085  expeq0d  14107  rpexp  16659  dvdsexpnn0  41280  dffltz  41424