Theorem expeq0 13453

Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its mantissa is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑1))
2	1	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
3	2	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑘) = 0))
7	6	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
11	10	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑𝑁) = 0))
15	14	bibi1d 346	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17		exp1 13429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19		nnnn0 11898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		expp1 13430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
21	20	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0))
22		expcl 13441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22, 23	mul0ord 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
25	21, 24	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	19, 25	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27		biimp 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28		idd 24	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
29	27, 28	jaod 855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30		olc 864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	29, 30	impbid1 227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴↑𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
32	26, 31	sylan9bb 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
33	32	exp31 422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
34	33	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
35	34	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 11650	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
37	36	impcom 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  expne0  13454  0exp  13458  sqeq0  13480  expeq0d  13500  rpexp  16058  dffltz  39264