MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expeq0 13183
Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its mantissa is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
expeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6912 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑1))
21eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
32bibi1d 335 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
43imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5 oveq2 6912 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
76bibi1d 335 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
87imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9 oveq2 6912 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
1110bibi1d 335 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1211imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13 oveq2 6912 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
1514bibi1d 335 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1615imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17 exp1 13159 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eqeq1d 2826 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19 nnnn0 11625 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expp1 13160 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2120eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0))
22 expcl 13171 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
23 simpl 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2422, 23mul0ord 11001 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2521, 24bitrd 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2619, 25sylan2 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27 biimp 207 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28 idd 24 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
2927, 28jaod 892 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30 olc 901 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
3129, 30impbid1 217 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
3226, 31sylan9bb 507 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3332exp31 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3433com12 32 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3534a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
364, 8, 12, 16, 18, 35nnind 11369 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
3736impcom 398 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  (class class class)co 6904  cc 10249  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256  cn 11349  0cn0 11617  cexp 13153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-seq 13095  df-exp 13154
This theorem is referenced by:  expne0  13184  0exp  13188  sqeq0  13220  expeq0d  13297  rpexp  15802  dffltz  38096
  Copyright terms: Public domain W3C validator