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Theorem rpexp 16663
Description: If two numbers 𝐴 and 𝐵 are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem rpexp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0exp 14064 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
21oveq1d 7417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) gcd 0) = (0 gcd 0))
32eqeq1d 2726 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
4 oveq1 7409 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
5 oveq12 7411 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) = (0↑𝑁) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
64, 5sylan 579 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
76eqeq1d 2726 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((0↑𝑁) gcd 0) = 1))
8 oveq12 7411 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
98eqeq1d 2726 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
107, 9bibi12d 345 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1)))
113, 10syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
12113ad2ant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13 exprmfct 16644 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵))
14 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 zexpcl 14043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1814, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
20 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
22 gcddvds 16447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
25 prmz 16615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2814zcnd 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 expeq0 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3028, 15, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3130anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3227, 31mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0))
33 gcdn0cl 16446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3418, 20, 32, 33syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3534nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
37 dvdstr 16240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3826, 36, 19, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3924, 38mpan2d 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
41 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4215adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
43 prmdvdsexp 16655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4539, 44sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐴))
4623simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
47 dvdstr 16240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4826, 36, 21, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4946, 48mpan2d 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
5045, 49jcad 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
51 dvdsgcd 16489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5226, 41, 21, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
53 nprmdvds1 16646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
54 breq2 5143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
5554notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
5653, 55syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5756necon2ad 2947 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5857adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5950, 52, 583syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6059rexlimdva 3147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
61 gcdn0cl 16446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
62613adantl3 1165 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
63 eluz2b3 12905 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6463baib 535 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6660, 65sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
6713, 66syl5 34 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
68 exprmfct 16644 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
6962nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
71 gcddvds 16447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7241, 21, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7372simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
74 iddvdsexp 16226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7541, 42, 74syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7670, 41, 19, 73, 75dvdstrd 16241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
77 dvdstr 16240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
7826, 70, 19, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
7976, 78mpan2d 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8072simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
81 dvdstr 16240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8226, 70, 21, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8380, 82mpan2d 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
8479, 83jcad 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵)))
85 dvdsgcd 16489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
8626, 19, 21, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
87 breq2 5143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
8887notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
8953, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
9089necon2ad 2947 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9284, 86, 913syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9392rexlimdva 3147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
94 eluz2b3 12905 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9594baib 535 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9634, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9793, 96sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
9868, 97syl5 34 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
9967, 98impbid 211 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10099, 96, 653bitr3d 309 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
101100necon4bid 2978 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
102101ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
10312, 102pm2.61d 179 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  cn 12211  2c2 12266  0cn0 12471  cz 12557  cuz 12821  cexp 14028  cdvds 16200   gcd cgcd 16438  cprime 16611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-prm 16612
This theorem is referenced by:  rpexp1i  16664  phiprmpw  16714  pockthlem  16843  logbgcd1irr  26667  aks4d1p8d3  41458  hashscontpow1  41489  flt4lem7  41953
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