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Theorem rpexp 16756
Description: If two numbers 𝐴 and 𝐵 are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem rpexp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0exp 14135 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
21oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) gcd 0) = (0 gcd 0))
32eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
4 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
5 oveq12 7440 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) = (0↑𝑁) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
64, 5sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
76eqeq1d 2737 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((0↑𝑁) gcd 0) = 1))
8 oveq12 7440 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
98eqeq1d 2737 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
107, 9bibi12d 345 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1)))
113, 10syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
12113ad2ant3 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13 exprmfct 16738 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵))
14 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
20 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
22 gcddvds 16537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
25 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2814zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 expeq0 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3028, 15, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3130anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3227, 31mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0))
33 gcdn0cl 16536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3418, 20, 32, 33syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3534nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
37 dvdstr 16328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3826, 36, 19, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3924, 38mpan2d 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
41 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4215adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
43 prmdvdsexp 16749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4539, 44sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐴))
4623simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
47 dvdstr 16328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4826, 36, 21, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4946, 48mpan2d 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
5045, 49jcad 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
51 dvdsgcd 16578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5226, 41, 21, 51syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
53 nprmdvds1 16740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
54 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
5554notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
5653, 55syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5756necon2ad 2953 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5857adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5950, 52, 583syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6059rexlimdva 3153 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
61 gcdn0cl 16536 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
62613adantl3 1167 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
63 eluz2b3 12962 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6463baib 535 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6660, 65sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
6713, 66syl5 34 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
68 exprmfct 16738 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
6962nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
71 gcddvds 16537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7241, 21, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7372simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
74 iddvdsexp 16314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7541, 42, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7670, 41, 19, 73, 75dvdstrd 16329 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
77 dvdstr 16328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
7826, 70, 19, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
7976, 78mpan2d 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8072simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
81 dvdstr 16328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8226, 70, 21, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8380, 82mpan2d 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
8479, 83jcad 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵)))
85 dvdsgcd 16578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
8626, 19, 21, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
87 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
8887notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
8953, 88syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
9089necon2ad 2953 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9284, 86, 913syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9392rexlimdva 3153 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
94 eluz2b3 12962 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9594baib 535 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9634, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9793, 96sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
9868, 97syl5 34 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
9967, 98impbid 212 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10099, 96, 653bitr3d 309 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
101100necon4bid 2984 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
102101ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
10312, 102pm2.61d 179 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  rpexp1i  16757  phiprmpw  16810  pockthlem  16939  logbgcd1irr  26852  aks4d1p8d3  42068  hashscontpow1  42103  flt4lem7  42646
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