MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 14040
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โŠ† โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
Assertion
Ref Expression
expcllem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12476 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘1))
32eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น))
43imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)))
5 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐‘ค))
65eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น))
76imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น)))
8 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)))
98eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น))
109imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
11 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐ต))
1211eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 ๐น โŠ† โ„‚
1514sseli 3978 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
16 exp1 14035 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1817eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น โ†” ๐ด โˆˆ ๐น))
1918ibir 267 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
2120caovcl 7603 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2221ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2322adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
24 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
25 expp1 14036 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2615, 24, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2726eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2923, 28mpbird 256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)
3029exp31 420 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3130com12 32 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3231a2d 29 . . . . 5 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 12232 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
3433impcom 408 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
35 oveq2 7419 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (๐ดโ†‘0))
36 exp0 14033 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2794 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 โˆˆ ๐น
4038, 39eqeltrdi 2841 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
4134, 40jaodan 956 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
421, 41sylan2b 594 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  expcl2lem  14041  nnexpcl  14042  nn0expcl  14043  zexpcl  14044  qexpcl  14045  reexpcl  14046  expcl  14047  expge0  14066  expge1  14067  lgsfcl2  26813
  Copyright terms: Public domain W3C validator