MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 14079
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โІ โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
Assertion
Ref Expression
expcllem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12514 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘1))
32eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น))
43imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)))
5 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐‘ค))
65eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น))
76imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น)))
8 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)))
98eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น))
109imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
11 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐ต))
1211eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
1312imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 ๐น โІ โ„‚
1514sseli 3978 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
16 exp1 14074 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1817eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น โ†” ๐ด โˆˆ ๐น))
1918ibir 267 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
2120caovcl 7622 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2221ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2322adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
24 nnnn0 12519 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
25 expp1 14075 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2615, 24, 25syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2726eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2923, 28mpbird 256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)
3029exp31 418 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3130com12 32 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3231a2d 29 . . . . 5 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 12270 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
3433impcom 406 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
35 oveq2 7434 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (๐ดโ†‘0))
36 exp0 14072 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2790 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 โˆˆ ๐น
4038, 39eqeltrdi 2837 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
4134, 40jaodan 955 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
421, 41sylan2b 592 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3949  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ†‘cexp 14068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-exp 14069
This theorem is referenced by:  expcl2lem  14080  nnexpcl  14081  nn0expcl  14082  zexpcl  14083  qexpcl  14084  reexpcl  14085  expcl  14086  expge0  14105  expge1  14106  lgsfcl2  27264
  Copyright terms: Public domain W3C validator