Theorem expcllem 14218

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expcllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12611	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑1))
3	2	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
4	3	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑𝑤))
6	5	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹))
7	6	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹)))
8		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
9	8	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
10	9	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑𝐵))
12	11	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
13	12	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)))
14		expcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
15	14	sseli 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		exp1 14213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹 ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
19	18	ibir 271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
21	20	caovcl 7615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
22	21	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
23	22	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24		nnnn0 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25		expp1 14214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴↑𝑤) · 𝐴))
26	15, 24, 25	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴↑𝑤) · 𝐴))
27	26	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
29	23, 28	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
30	29	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
31	30	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
32	31	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
33	4, 7, 10, 13, 19, 32	nnind 12356	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
34	33	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
35		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (𝐴↑0))
36		exp0 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
37	15, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
38	35, 37	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝐵) = 1)
39		expcllem.3	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝐹
40	38, 39	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
41	34, 40	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
42	1, 41	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  expcl2lem  14219  nnexpcl  14220  nn0expcl  14221  zexpcl  14222  qexpcl  14223  reexpcl  14224  expcl  14225  expge0  14244  expge1  14245  lgsfcl2  27635