MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 14043
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โІ โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
Assertion
Ref Expression
expcllem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12478 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘1))
32eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น))
43imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)))
5 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐‘ค))
65eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น))
76imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น)))
8 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)))
98eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น))
109imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
11 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐ต))
1211eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
1312imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 ๐น โІ โ„‚
1514sseli 3973 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
16 exp1 14038 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1817eleq1d 2812 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น โ†” ๐ด โˆˆ ๐น))
1918ibir 268 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
2120caovcl 7598 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2221ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2322adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
24 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
25 expp1 14039 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2615, 24, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2726eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2923, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)
3029exp31 419 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3130com12 32 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3231a2d 29 . . . . 5 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 12234 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
3433impcom 407 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
35 oveq2 7413 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (๐ดโ†‘0))
36 exp0 14036 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2788 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 โˆˆ ๐น
4038, 39eqeltrdi 2835 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
4134, 40jaodan 954 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
421, 41sylan2b 593 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  expcl2lem  14044  nnexpcl  14045  nn0expcl  14046  zexpcl  14047  qexpcl  14048  reexpcl  14049  expcl  14050  expge0  14069  expge1  14070  lgsfcl2  27191
  Copyright terms: Public domain W3C validator