MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 14038
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 ๐น โŠ† โ„‚
expcllem.2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
expcllem.3 1 โˆˆ ๐น
Assertion
Ref Expression
expcllem ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12474 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘1))
32eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น))
43imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)))
5 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐‘ค))
65eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น))
76imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น)))
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)))
98eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น))
109imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ค + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
11 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) = (๐ดโ†‘๐ต))
1211eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
1312imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ ๐น) โ†” (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 ๐น โŠ† โ„‚
1514sseli 3979 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
16 exp1 14033 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1817eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น โ†” ๐ด โˆˆ ๐น))
1918ibir 268 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ ๐น)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐น) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐น)
2120caovcl 7601 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โˆง ๐ด โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2221ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
2322adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น)
24 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
25 expp1 14034 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2615, 24, 25syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด))
2726eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น โ†” ((๐ดโ†‘๐‘ค) ยท ๐ด) โˆˆ ๐น))
2923, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)
3029exp31 421 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3130com12 32 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
3231a2d 29 . . . . 5 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) โˆˆ ๐น) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ค + 1)) โˆˆ ๐น)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 12230 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น))
3433impcom 409 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
35 oveq2 7417 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = (๐ดโ†‘0))
36 exp0 14031 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐น โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2795 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 โˆˆ ๐น
4038, 39eqeltrdi 2842 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
4134, 40jaodan 957 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
421, 41sylan2b 595 1 ((๐ด โˆˆ ๐น โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  expcl2lem  14039  nnexpcl  14040  nn0expcl  14041  zexpcl  14042  qexpcl  14043  reexpcl  14044  expcl  14045  expge0  14064  expge1  14065  lgsfcl2  26806
  Copyright terms: Public domain W3C validator