MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 13433
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
Assertion
Ref Expression
expcllem ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝐴𝑧) = (𝐴↑1))
32eleq1d 2901 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
43imbi2d 342 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝑤))
65eleq1d 2901 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹))
76imbi2d 342 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹)))
8 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
98eleq1d 2901 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
109imbi2d 342 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝐵))
1211eleq1d 2901 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
1312imbi2d 342 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ⊆ ℂ
1514sseli 3966 . . . . . . . 8 (𝐴𝐹𝐴 ∈ ℂ)
16 exp1 13428 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eleq1d 2901 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹𝐴𝐹))
1918ibir 269 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
2120caovcl 7335 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑤) ∈ 𝐹𝐴𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2221ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2322adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25 expp1 13429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2615, 24, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2726eleq1d 2901 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2923, 28mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
3029exp31 420 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3130com12 32 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3231a2d 29 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 11648 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
3433impcom 408 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
35 oveq2 7159 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵) = (𝐴↑0))
36 exp0 13426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2882 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 ∈ 𝐹
4038, 39syl6eqel 2925 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
4134, 40jaodan 953 . 2 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
421, 41sylan2b 593 1 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cn 11630  0cn0 11889  cexp 13422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13363  df-exp 13423
This theorem is referenced by:  expcl2lem  13434  nnexpcl  13435  nn0expcl  13436  zexpcl  13437  qexpcl  13438  reexpcl  13439  expcl  13440  expge0  13458  expge1  13459  lgsfcl2  25795
  Copyright terms: Public domain W3C validator