Theorem expcllem 13436

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expcllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11887	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑1))
3	2	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
4	3	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑𝑤))
6	5	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹))
7	6	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹)))
8		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
9	8	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
10	9	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴↑𝑧) = (𝐴↑𝐵))
12	11	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
13	12	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)))
14		expcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
15	14	sseli 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		exp1 13431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
18	17	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹 ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
19	18	ibir 271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
21	20	caovcl 7322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
22	21	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
23	22	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25		expp1 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴↑𝑤) · 𝐴))
26	15, 24, 25	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴↑𝑤) · 𝐴))
27	26	eleq1d 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
28	27	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴↑𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
29	23, 28	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
30	29	exp31 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
31	30	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
32	31	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
33	4, 7, 10, 13, 19, 32	nnind 11643	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
34	33	impcom 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
35		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (𝐴↑0))
36		exp0 13429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
37	15, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
38	35, 37	sylan9eqr 2855	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝐵) = 1)
39		expcllem.3	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝐹
40	38, 39	eqeltrdi 2898	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
41	34, 40	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
42	1, 41	sylan2b 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  expcl2lem  13437  nnexpcl  13438  nn0expcl  13439  zexpcl  13440  qexpcl  13441  reexpcl  13442  expcl  13443  expge0  13461  expge1  13462  lgsfcl2  25887