Theorem explt1d 42296

Description: A nonnegative real number less than one raised to a positive integer is less than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
explt1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
explt1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
explt1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
explt1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Proof of Theorem explt1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
2	1	breq1d 5105	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) < (1↑𝑁)))
3		explt1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		explt1d.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	ne0gt0d 11271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
9	4, 8	elrpd 12952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		1rp 12915	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
13		explt1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		explt1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 1)
17	10, 12, 14, 16	ltexp1dd 14185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
18	9, 17	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
19		0lt1 11660	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
21	13	0expd 14064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
22	13	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		1exp 14016	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
25	20, 21, 24	3brtr4d 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) < (1↑𝑁))
26	2, 18, 25	pm2.61ne 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
27	26, 24	breqtrd 5121	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by: (None)