Theorem explt1d 42896

Description: A nonnegative real number less than one raised to a positive integer is less than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
explt1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
explt1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
explt1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
explt1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Proof of Theorem explt1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7399	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
2	1	breq1d 5109	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) < (1↑𝑁)))
3		explt1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		explt1d.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
7		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	ne0gt0d 11317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
9	4, 8	elrpd 13031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		1rp 12994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
13		explt1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		explt1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 1)
17	10, 12, 14, 16	ltexp1dd 14270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
18	9, 17	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
19		0lt1 11706	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
21	13	0expd 14149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
22	13	nnzd 12591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		1exp 14101	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
25	20, 21, 24	3brtr4d 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) < (1↑𝑁))
26	2, 18, 25	pm2.61ne 3041	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
27	26, 24	breqtrd 5125	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by: (None)