Theorem explt1d 42441

Description: A nonnegative real number less than one raised to a positive integer is less than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
explt1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
explt1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
explt1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
explt1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Proof of Theorem explt1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
2	1	breq1d 5103	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) < (1↑𝑁)))
3		explt1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		explt1d.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	ne0gt0d 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
9	4, 8	elrpd 12933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		1rp 12896	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
13		explt1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		explt1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 1)
17	10, 12, 14, 16	ltexp1dd 14169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
18	9, 17	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
19		0lt1 11646	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
21	13	0expd 14048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
22	13	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		1exp 14000	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
25	20, 21, 24	3brtr4d 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) < (1↑𝑁))
26	2, 18, 25	pm2.61ne 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
27	26, 24	breqtrd 5119	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   < clt 11153   ≤ cle 11154  ℕcn 12132  ℤcz 12475  ℝ⁺crp 12892  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by: (None)