Theorem explt1d 42944

Description: A nonnegative real number less than one raised to a positive integer is less than one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
explt1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
explt1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
explt1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
explt1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Proof of Theorem explt1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
2	1	breq1d 5115	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) < (1↑𝑁)))
3		explt1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		explt1d.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
7		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	ne0gt0d 11335	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
9	4, 8	elrpd 13048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		1rp 13011	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
13		explt1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		explt1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 1)
17	10, 12, 14, 16	ltexp1dd 14287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
18	9, 17	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
19		0lt1 11724	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
21	13	0expd 14166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
22	13	nnzd 12608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		1exp 14118	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
25	20, 21, 24	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) < (1↑𝑁))
26	2, 18, 25	pm2.61ne 3045	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < (1↑𝑁))
27	26, 24	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by: (None)