Theorem expeq1d 42364

Description: A nonnegative real number is one if and only if it is one when raised to a positive integer. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeq1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeq1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expeq1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeq1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem expeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expeq1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) = 1))
6		expeq1d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		expeq1d.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
10		0ne1 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
12	1	0expd 14180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
13	11, 12, 4	3netr4d 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
15		oveq1 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) = (1↑𝑁)))
17	16	biimpac 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
18	17	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
19	14, 18	mteqand 3032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
20	7, 9, 19	ne0gt0d 11399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 < 𝐴)
21	7, 20	elrpd 13075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
22		1rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 1 ∈ ℝ+)
24	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
26	21, 23, 24, 25	exp11nnd 14301	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 = 1)
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) → 𝐴 = 1))
28	5, 27	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 → 𝐴 = 1))
29		oveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
30	29	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ (1↑𝑁) = 1))
31	4, 30	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 1))
32	28, 31	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   ≤ cle 11297  ℕcn 12267  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  expeqidd  42365  fiabv  42551