Theorem expeq1d 43126

Description: A nonnegative real number is one if and only if it is one when raised to a positive integer. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeq1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeq1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expeq1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeq1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem expeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expeq1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqeq2d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) = 1))
6		expeq1d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		expeq1d.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
10		0ne1 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
12	1	0expd 14195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
13	11, 12, 4	3netr4d 3038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
15		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) = (1↑𝑁)))
17	16	biimpac 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
18	17	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
19	14, 18	mteqand 3052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
20	7, 9, 19	ne0gt0d 11365	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 < 𝐴)
21	7, 20	elrpd 13075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
22		1rp 13038	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 1 ∈ ℝ+)
24	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
26	21, 23, 24, 25	exp11nnd 14317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 = 1)
27	26	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) → 𝐴 = 1))
28	5, 27	sylbird 263	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 → 𝐴 = 1))
29		oveq1 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
30	29	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ (1↑𝑁) = 1))
31	4, 30	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 1))
32	28, 31	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  expeqidd  43127  fiabv  43345