Theorem expeq1d 42297

Description: A nonnegative real number is one if and only if it is one when raised to a positive integer. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expeq1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expeq1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
expeq1d.0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expeq1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem expeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expeq1d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14016	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) = 1))
6		expeq1d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		expeq1d.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
10		0ne1 12217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
12	1	0expd 14064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
13	11, 12, 4	3netr4d 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (0↑𝑁) ≠ (1↑𝑁))
15		oveq1 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) = (1↑𝑁)))
17	16	biimpac 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
18	17	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑁) = (1↑𝑁))
19	14, 18	mteqand 3016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
20	7, 9, 19	ne0gt0d 11271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 0 < 𝐴)
21	7, 20	elrpd 12952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
22		1rp 12915	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 1 ∈ ℝ+)
24	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
26	21, 23, 24, 25	exp11nnd 14186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁)) → 𝐴 = 1)
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁) → 𝐴 = 1))
28	5, 27	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 → 𝐴 = 1))
29		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
30	29	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ (1↑𝑁) = 1))
31	4, 30	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = 1))
32	28, 31	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) = 1 ↔ 𝐴 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  expeqidd  42298  fiabv  42509