Theorem 0expd 14099

Description: Value of zero raised to a positive integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
0exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
0expd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		0exp 14057	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ℕcn 12172  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  faclbnd  14250  dvdsmodexp  16227  expnprm  16871  coefv0  26238  tayl0  26352  taylthlem2  26364  radcnv0  26406  dvradcnv  26411  logtayl  26649  cxpeq  26746  musum  27179  logexprlim  27213  dchrfi  27243  lgsne0  27323  dchrisum0flblem1  27496  expgt0b  32916  cos9thpiminplylem1  33973  cos9thpiminplylem2  33974  lcmineqlem10  42530  oexpreposd  42806  explt1d  42807  expeq1d  42808  expeqidd  42809  binomcxplemnotnn0  44807  itgsinexplem1  46404  etransclem15  46699  etransclem24  46708  etransclem25  46709  etransclem35  46719