Theorem 0expd 14145

Description: Value of zero raised to a positive integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
0exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
0expd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		0exp 14103	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  0cc0 11066  ℕcn 12203  ↑cexp 14067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-seq 14008  df-exp 14068

This theorem is referenced by:  faclbnd  14296  dvdsmodexp  16284  expnprm  16928  coefv0  26295  tayl0  26412  taylthlem2  26424  radcnv0  26466  dvradcnv  26471  logtayl  26712  cxpeq  26809  musum  27242  logexprlim  27276  dchrfi  27306  lgsne0  27386  dchrisum0flblem1  27559  expgt0b  32979  cos9thpiminplylem1  34039  cos9thpiminplylem2  34040  lcmineqlem10  42615  oexpreposd  42891  explt1d  42892  expeq1d  42893  expeqidd  42894  binomcxplemnotnn0  44892  itgsinexplem1  46488  etransclem15  46783  etransclem24  46792  etransclem25  46793  etransclem35  46803