Theorem 0expd 14050

Description: Value of zero raised to a positive integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
0exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
0expd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		0exp 14008	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ℕcn 12134  ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-seq 13913  df-exp 13973

This theorem is referenced by:  faclbnd  14201  dvdsmodexp  16175  expnprm  16818  coefv0  26183  tayl0  26299  taylthlem2  26312  taylthlem2OLD  26313  radcnv0  26355  dvradcnv  26360  logtayl  26599  cxpeq  26697  musum  27131  logexprlim  27166  dchrfi  27196  lgsne0  27276  dchrisum0flblem1  27449  expgt0b  32806  cos9thpiminplylem1  33818  cos9thpiminplylem2  33819  lcmineqlem10  42154  oexpreposd  42443  explt1d  42444  expeq1d  42445  expeqidd  42446  binomcxplemnotnn0  44476  itgsinexplem1  46079  etransclem15  46374  etransclem24  46383  etransclem25  46384  etransclem35  46394