Theorem muldvdsfacgt 48276

Description: The product of two different positive integers divides the factorial of the bigger integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacgt	⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Proof of Theorem muldvdsfacgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		eluz2 12896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴))
4		1re 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		zre 12622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		zre 12622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lelttr 11327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
8	4, 5, 6, 7	mp3an3an 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
9		0lt1 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
10		0re 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 6, 11	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
15	8, 14	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	15	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
17	16	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))))
19	18	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
20	3, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
21	20	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	2, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
23		elfzo2 13719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24		elnnz 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
25	22, 23, 24	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
28		faccl 14349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12644	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
31		elfzoel2 13715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	1, 30, 31	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33		elfzo1 13770	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
34	33	simp1bi 1163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
35		nnz 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
37		nnz 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
38		peano2zm 12664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
41		nnltlem1 12691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
42	41	biimp3a 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
43	36, 40, 42	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
44		eluz2 12896	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
45	43, 33, 44	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
46		dvdsfac 16420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
47	34, 45, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
48		dvdsmulc 16377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵)))
49	32, 47, 48	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
50		facnn2 14348	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
51	25, 50	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
52	49, 51	breqtrrd 5137	1 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ..^cfzo 13711  !cfa 14339   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-fac 14340  df-dvds 16347

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48277