Theorem muldvdsfacgt 48378

Description: The product of two different positive integers divides the factorial of the bigger integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacgt	⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Proof of Theorem muldvdsfacgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13762	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		eluz2 12941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴))
4		1re 11280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		zre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		zre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lelttr 11372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
8	4, 5, 6, 7	mp3an3an 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
9		0lt1 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
10		0re 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 6, 11	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
15	8, 14	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	15	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
17	16	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))))
19	18	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
20	3, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
21	20	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	2, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
23		elfzo2 13765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24		elnnz 12673	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
25	22, 23, 24	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
28		faccl 14395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12689	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
31		elfzoel2 13761	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	1, 30, 31	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33		elfzo1 13816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
34	33	simp1bi 1163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
35		nnz 12684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
37		nnz 12684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
38		peano2zm 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
41		nnltlem1 12736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
42	41	biimp3a 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
43	36, 40, 42	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
44		eluz2 12941	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
45	43, 33, 44	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
46		dvdsfac 16464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
47	34, 45, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
48		dvdsmulc 16421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵)))
49	32, 47, 48	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
50		facnn2 14394	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
51	25, 50	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
52	49, 51	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ..^cfzo 13757  !cfa 14385   ∥ cdvds 16390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-fac 14386  df-dvds 16391

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48379