Theorem muldvdsfacgt 47850

Description: The product of two different positive integers divides the factorial of the bigger integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacgt	⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Proof of Theorem muldvdsfacgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		eluz2 12792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴))
4		1re 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lelttr 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
8	4, 5, 6, 7	mp3an3an 1475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
9		0lt1 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
10		0re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 6, 11	mp3an12i 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
15	8, 14	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	15	exp4b 431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
17	16	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))))
19	18	3imp 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
20	3, 19	sylbi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
21	20	3imp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	2, 21	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
23		elfzo2 13614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24		elnnz 12532	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
25	22, 23, 24	3imtr4i 293	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
28		faccl 14243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12548	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
31		elfzoel2 13610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	1, 30, 31	3jca 1134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33		elfzo1 13665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
34	33	simp1bi 1151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
35		nnz 12543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
37		nnz 12543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
38		peano2zm 12568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
41		nnltlem1 12594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
42	41	biimp3a 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
43	36, 40, 42	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
44		eluz2 12792	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
45	43, 33, 44	3imtr4i 293	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
46		dvdsfac 16293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
47	34, 45, 46	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
48		dvdsmulc 16250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵)))
49	32, 47, 48	sylc 65	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
50		facnn2 14242	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
51	25, 50	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
52	49, 51	breqtrrd 5107	1 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  !cfa 14233   ∥ cdvds 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-fac 14234  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  muldvdsfacm1  47851