Theorem muldvdsfacgt 47978

Description: The product of two different positive integers divides the factorial of the bigger integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacgt	⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Proof of Theorem muldvdsfacgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		eluz2 12859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴))
4		1re 11196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lelttr 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
8	4, 5, 6, 7	mp3an3an 1491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
9		0lt1 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
10		0re 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 6, 11	mp3an12i 1489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
15	8, 14	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	15	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
17	16	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))))
19	18	3imp 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
20	3, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
21	20	3imp 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	2, 21	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
23		elfzo2 13681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24		elnnz 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
25	22, 23, 24	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
28		faccl 14310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12608	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
31		elfzoel2 13677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	1, 30, 31	3jca 1144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33		elfzo1 13732	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
34	33	simp1bi 1161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
35		nnz 12603	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
37		nnz 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
38		peano2zm 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
41		nnltlem1 12654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
42	41	biimp3a 1493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
43	36, 40, 42	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
44		eluz2 12859	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
45	43, 33, 44	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
46		dvdsfac 16374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
47	34, 45, 46	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
48		dvdsmulc 16331	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵)))
49	32, 47, 48	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
50		facnn2 14309	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
51	25, 50	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
52	49, 51	breqtrrd 5133	1 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ..^cfzo 13673  !cfa 14300   ∥ cdvds 16300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-fac 14301  df-dvds 16301

This theorem is referenced by:  muldvdsfacm1  47979