Theorem muldvdsfacgt 48151

Description: The product of two different positive integers divides the factorial of the bigger integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacgt	⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

Proof of Theorem muldvdsfacgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		eluz2 12874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴))
4		1re 11214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		zre 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		zre 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lelttr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
8	4, 5, 6, 7	mp3an3an 1495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < 𝐵))
9		0lt1 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
10		0re 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 6, 11	mp3an12i 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
15	8, 14	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
16	15	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
17	16	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵))))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))))
19	18	3imp 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
20	3, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 0 < 𝐵)))
21	20	3imp 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	2, 21	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
23		elfzo2 13697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24		elnnz 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
25	22, 23, 24	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12551	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
28		faccl 14326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12623	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ)
31		elfzoel2 13693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	1, 30, 31	3jca 1145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33		elfzo1 13748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
34	33	simp1bi 1162	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
35		nnz 12618	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
37		nnz 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
38		peano2zm 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant2 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
41		nnltlem1 12669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
42	41	biimp3a 1497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
43	36, 40, 42	3jca 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
44		eluz2 12874	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
45	43, 33, 44	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
46		dvdsfac 16390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
47	34, 45, 46	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)))
48		dvdsmulc 16347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝐵 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (!‘(𝐵 − 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵)))
49	32, 47, 48	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
50		facnn2 14325	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
51	25, 50	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (!‘𝐵) = ((!‘(𝐵 − 1)) · 𝐵))
52	49, 51	breqtrrd 5138	1 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13689  !cfa 14316   ∥ cdvds 16316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-fac 14317  df-dvds 16317

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48152