Theorem muldvdsfacm1 48152

Description: The product of two different positive integers less than a third integer divides the factorial of the third integer decreased by 1. By assumption, the third integer must be greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacm1	⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem muldvdsfacm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13694	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 13694	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzo2 13697	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁))
6		elnnuz 12908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnnn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	5, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
14		simp2 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluz2 12874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
17		zre 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		zre 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		lelttr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
23		0lt1 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
24		0red 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
26		lttr 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
27	24, 25, 19, 26	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
28	23, 27	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
30	22, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
31	30	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))))
34	33	3imp 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
36	35	3imp 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
37		elnnz 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	14, 36, 37	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		nnm1nn0 12551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
41	5, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
43	42	faccld 14327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
45		muldvdsfacgt 48151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
46	45	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
47		1eluzge0 12910	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
48		fzoss1 13722	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
49	48	sseld 3935	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁))
51		elfzoel2 13693	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		fzoval 13695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
53	52	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
54	51, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
55	50, 54	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
56	55	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
57		facnn0dvdsfac 48150	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
58	56, 57	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
59	4, 13, 44, 46, 58	dvdstrd 16359	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  !cfa 14316   ∥ cdvds 16316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-fac 14317  df-bc 14346  df-dvds 16317

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem4  48403  nprmdvdsfacm1  48404