Theorem muldvdsfacm1 47851

Description: The product of two different positive integers less than a third integer divides the factorial of the third integer decreased by 1. By assumption, the third integer must be greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacm1	⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem muldvdsfacm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 13611	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzo2 13614	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁))
6		elnnuz 12826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnnn0 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylbir 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	5, 9	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
14		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluz2 12792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
17		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		lelttr 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
23		0lt1 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
24		0red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
26		lttr 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
27	24, 25, 19, 26	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
28	23, 27	mpani 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
30	22, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
31	30	exp4b 431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
32	31	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))))
34	33	3imp 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
35	15, 34	sylbi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
36	35	3imp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
37		elnnz 12532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	14, 36, 37	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		nnm1nn0 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
41	5, 40	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
43	42	faccld 14244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
45		muldvdsfacgt 47850	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
46	45	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
47		1eluzge0 12828	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
48		fzoss1 13639	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
49	48	sseld 3921	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁))
51		elfzoel2 13610	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		fzoval 13612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
53	52	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
54	51, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
55	50, 54	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
56	55	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
57		facnn0dvdsfac 47849	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
58	56, 57	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
59	4, 13, 44, 46, 58	dvdstrd 16262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  !cfa 14233   ∥ cdvds 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-fac 14234  df-bc 14263  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem4  48102  nprmdvdsfacm1  48103