Theorem muldvdsfacm1 48379

Description: The product of two different positive integers less than a third integer divides the factorial of the third integer decreased by 1. By assumption, the third integer must be greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacm1	⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem muldvdsfacm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 13762	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzo2 13765	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁))
6		elnnuz 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnnn0 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	5, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
14		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluz2 12941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		1red 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
17		zre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		zre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		lelttr 11372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
23		0lt1 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
24		0red 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
26		lttr 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
27	24, 25, 19, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
28	23, 27	mpani 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
30	22, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
31	30	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))))
34	33	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
36	35	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
37		elnnz 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	14, 36, 37	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		nnm1nn0 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
41	5, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
43	42	faccld 14396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
45		muldvdsfacgt 48378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
46	45	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
47		1eluzge0 12977	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
48		fzoss1 13790	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
49	48	sseld 3929	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁))
51		elfzoel2 13761	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		fzoval 13763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
53	52	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
54	51, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
55	50, 54	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
56	55	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
57		facnn0dvdsfac 48377	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
58	56, 57	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
59	4, 13, 44, 46, 58	dvdstrd 16433	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ...cfz 13609  ..^cfzo 13757  !cfa 14385   ∥ cdvds 16390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-fac 14386  df-bc 14415  df-dvds 16391

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem4  48630  nprmdvdsfacm1  48631