Theorem muldvdsfacm1 48091

Description: The product of two different positive integers less than a third integer divides the factorial of the third integer decreased by 1. By assumption, the third integer must be greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacm1	⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem muldvdsfacm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 13687	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzo2 13690	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁))
6		elnnuz 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnnn0 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	5, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14320	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12616	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
14		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluz2 12867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		1red 11208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
17		zre 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		zre 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		lelttr 11299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
23		0lt1 11735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
24		0red 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
26		lttr 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
27	24, 25, 19, 26	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
28	23, 27	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
30	22, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
31	30	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))))
34	33	3imp 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
36	35	3imp 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
37		elnnz 12600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	14, 36, 37	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		nnm1nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
41	5, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
43	42	faccld 14320	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12616	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
45		muldvdsfacgt 48090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
46	45	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
47		1eluzge0 12903	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
48		fzoss1 13715	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
49	48	sseld 3935	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁))
51		elfzoel2 13686	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		fzoval 13688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
53	52	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
54	51, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
55	50, 54	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
56	55	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
57		facnn0dvdsfac 48089	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
58	56, 57	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
59	4, 13, 44, 46, 58	dvdstrd 16352	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ..^cfzo 13682  !cfa 14309   ∥ cdvds 16309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-fac 14310  df-bc 14339  df-dvds 16310

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem4  48342  nprmdvdsfacm1  48343