Theorem muldvdsfacm1 47979

Description: The product of two different positive integers less than a third integer divides the factorial of the third integer decreased by 1. By assumption, the third integer must be greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
muldvdsfacm1	⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem muldvdsfacm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzoelz 13678	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzo2 13681	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁))
6		elnnuz 12893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnnn0 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	5, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 14311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
14		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluz2 12859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		1red 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
17		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		lelttr 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
23		0lt1 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 1
24		0red 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
25		1red 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
26		lttr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
27	24, 25, 19, 26	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
28	23, 27	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
30	22, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
31	30	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁))))
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))))
34	33	3imp 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑁 → 0 < 𝑁)))
36	35	3imp 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
37		elnnz 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	14, 36, 37	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		nnm1nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
41	5, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
43	42	faccld 14311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
45		muldvdsfacgt 47978	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1..^𝐵) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
46	45	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘𝐵))
47		1eluzge0 12895	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
48		fzoss1 13706	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
49	48	sseld 3938	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0..^𝑁))
51		elfzoel2 13677	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		fzoval 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
53	52	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
54	51, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → (𝐵 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
55	50, 54	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (1..^𝑁) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
56	55	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
57		facnn0dvdsfac 47977	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
58	56, 57	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (!‘𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
59	4, 13, 44, 46, 58	dvdstrd 16343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (1..^𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 · 𝐵) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  !cfa 14300   ∥ cdvds 16300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-fac 14301  df-bc 14330  df-dvds 16301

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem4  48230  nprmdvdsfacm1  48231