Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnm 41450
Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslnm ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
2 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s ∅))
32eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s ∅) ∈ LNoeM))
43imbi2d 341 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)))
5 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝑏))
65eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM))
76imbi2d 341 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})))
98eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝐼))
1211eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
1312imbi2d 341 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14 lnmlmod 41435 . . . . 5 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑊s ∅) = (𝑊s ∅)
1615pwslnmlem0 41447 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
18 vex 3452 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
19 vsnex 5391 . . . . . . 7 {𝑐} ∈ V
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑏) = (𝑊s 𝑏)
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s {𝑐}) = (𝑊s {𝑐})
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐}))
2314ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 disjsn 4677 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
2524biimpri 227 . . . . . . . 8 𝑐𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
2625ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)
2821pwslnmlem1 41448 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
2928ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 41449 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
3130exp32 422 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
3231a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 9116 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
3433impcom 409 . 2 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)
351, 34eqeltrid 2842 1 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  cin 3914  c0 4287  {csn 4591  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  s cpws 17335  LModclmod 20338  LNoeMclnm 41431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lmim 20500  df-lmic 20501  df-lfig 41424  df-lnm 41432
This theorem is referenced by:  lnrfrlm  41474
  Copyright terms: Public domain W3C validator