Theorem pwslnm 43201

Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnm.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslnm	⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslnm.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝐼)
2		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s ∅))
3	2	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)))
5		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s 𝑏))
6	5	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})))
9	8	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s 𝐼))
12	11	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM))
13	12	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14		lnmlmod 43186	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↑s ∅) = (𝑊 ↑s ∅)
16	15	pwslnmlem0 43198	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)
18		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
19		vsnex 5376	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐} ∈ V
20		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s 𝑏) = (𝑊 ↑s 𝑏)
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s {𝑐}) = (𝑊 ↑s {𝑐})
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐}))
23	14	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24		disjsn 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
25	24	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
26	25	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)
28	21	pwslnmlem1 43199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s {𝑐}) ∈ LNoeM)
29	28	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s {𝑐}) ∈ LNoeM)
30	18, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29	pwslnmlem2 43200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
31	30	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
33	4, 7, 10, 13, 17, 32	findcard2s 9085	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM))
34	33	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM)
35	1, 34	eqeltrid 2837	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4284  {csn 4577  (class class class)co 7355  Fincfn 8878   ↑_s cpws 17360  LModclmod 20803  LNoeMclnm 43182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19239  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lmhm 20966  df-lmim 20967  df-lmic 20968  df-lfig 43175  df-lnm 43183

This theorem is referenced by:  lnrfrlm  43225