Theorem pwslnm 41407

Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnm.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslnm	⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslnm.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝐼)
2		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s ∅))
3	2	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)))
5		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s 𝑏))
6	5	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})))
9	8	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑊 ↑s 𝑎) = (𝑊 ↑s 𝐼))
12	11	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM))
13	12	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14		lnmlmod 41392	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↑s ∅) = (𝑊 ↑s ∅)
16	15	pwslnmlem0 41404	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s ∅) ∈ LNoeM)
18		vex 3449	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
19		vsnex 5386	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐} ∈ V
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s 𝑏) = (𝑊 ↑s 𝑏)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s {𝑐}) = (𝑊 ↑s {𝑐})
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐}))
23	14	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24		disjsn 4672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
25	24	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
26	25	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)
28	21	pwslnmlem1 41405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s {𝑐}) ∈ LNoeM)
29	28	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s {𝑐}) ∈ LNoeM)
30	18, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29	pwslnmlem2 41406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
31	30	exp32 421	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
33	4, 7, 10, 13, 17, 32	findcard2s 9109	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM))
34	33	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊 ↑s 𝐼) ∈ LNoeM)
35	1, 34	eqeltrid 2842	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  {csn 4586  (class class class)co 7357  Fincfn 8883   ↑_s cpws 17328  LModclmod 20322  LNoeMclnm 41388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lmhm 20483  df-lmim 20484  df-lmic 20485  df-lfig 41381  df-lnm 41389

This theorem is referenced by:  lnrfrlm  41431