Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnm 43106
Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslnm ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s ∅))
32eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s ∅) ∈ LNoeM))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)))
5 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝑏))
65eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM))
76imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})))
98eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝐼))
1211eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14 lnmlmod 43091 . . . . 5 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑊s ∅) = (𝑊s ∅)
1615pwslnmlem0 43103 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
18 vex 3484 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
19 vsnex 5434 . . . . . . 7 {𝑐} ∈ V
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑏) = (𝑊s 𝑏)
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s {𝑐}) = (𝑊s {𝑐})
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐}))
2314ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 disjsn 4711 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
2524biimpri 228 . . . . . . . 8 𝑐𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
2625ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)
2821pwslnmlem1 43104 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
2928ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 43105 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
3130exp32 420 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
3231a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 9205 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
3433impcom 407 . 2 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)
351, 34eqeltrid 2845 1 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  s cpws 17491  LModclmod 20858  LNoeMclnm 43087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023  df-lfig 43080  df-lnm 43088
This theorem is referenced by:  lnrfrlm  43130
  Copyright terms: Public domain W3C validator