Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnm 43083
Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslnm ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s ∅))
32eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s ∅) ∈ LNoeM))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)))
5 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝑏))
65eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM))
76imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})))
98eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝐼))
1211eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14 lnmlmod 43068 . . . . 5 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑊s ∅) = (𝑊s ∅)
1615pwslnmlem0 43080 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
18 vex 3482 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
19 vsnex 5440 . . . . . . 7 {𝑐} ∈ V
20 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑏) = (𝑊s 𝑏)
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑊s {𝑐}) = (𝑊s {𝑐})
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐}))
2314ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 disjsn 4716 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
2524biimpri 228 . . . . . . . 8 𝑐𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
2625ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)
2821pwslnmlem1 43081 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
2928ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 43082 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
3130exp32 420 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
3231a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 9204 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
3433impcom 407 . 2 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)
351, 34eqeltrid 2843 1 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  s cpws 17493  LModclmod 20875  LNoeMclnm 43064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lmim 21040  df-lmic 21041  df-lfig 43057  df-lnm 43065
This theorem is referenced by:  lnrfrlm  43107
  Copyright terms: Public domain W3C validator