Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnm 42521
Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslnm ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
2 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s ∅))
32eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s ∅) ∈ LNoeM))
43imbi2d 339 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)))
5 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝑏))
65eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM))
76imbi2d 339 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})))
98eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
109imbi2d 339 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝐼))
1211eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
1312imbi2d 339 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14 lnmlmod 42506 . . . . 5 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑊s ∅) = (𝑊s ∅)
1615pwslnmlem0 42518 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
18 vex 3475 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
19 vsnex 5433 . . . . . . 7 {𝑐} ∈ V
20 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑏) = (𝑊s 𝑏)
21 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑊s {𝑐}) = (𝑊s {𝑐})
22 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐}))
2314ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 disjsn 4718 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
2524biimpri 227 . . . . . . . 8 𝑐𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
2625ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)
2821pwslnmlem1 42519 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
2928ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 42520 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
3130exp32 419 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
3231a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 9194 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
3433impcom 406 . 2 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)
351, 34eqeltrid 2832 1 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3945  cin 3946  c0 4324  {csn 4630  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  s cpws 17433  LModclmod 20748  LNoeMclnm 42502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-lsm 19596  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lmhm 20912  df-lmim 20913  df-lmic 20914  df-lfig 42495  df-lnm 42503
This theorem is referenced by:  lnrfrlm  42545
  Copyright terms: Public domain W3C validator