Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnm 40081
 Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslnm ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2 𝑌 = (𝑊s 𝐼)
2 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s ∅))
32eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s ∅) ∈ LNoeM))
43imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)))
5 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝑏))
65eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM))
76imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)))
8 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})))
98eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM))
109imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
11 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑊s 𝑎) = (𝑊s 𝐼))
1211eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM ↔ (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
1312imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑎) ∈ LNoeM) ↔ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)))
14 lnmlmod 40066 . . . . 5 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
15 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑊s ∅) = (𝑊s ∅)
1615pwslnmlem0 40078 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s ∅) ∈ LNoeM)
18 vex 3444 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
19 snex 5298 . . . . . . 7 {𝑐} ∈ V
20 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑏) = (𝑊s 𝑏)
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑊s {𝑐}) = (𝑊s {𝑐})
22 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) = (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐}))
2314ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 disjsn 4607 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
2524biimpri 231 . . . . . . . 8 𝑐𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
2625ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)
2821pwslnmlem1 40079 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
2928ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s {𝑐}) ∈ LNoeM)
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 40080 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑊 ∈ LNoeM ∧ (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM)) → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)
3130exp32 424 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝑊 ∈ LNoeM → ((𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
3231a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝑏) ∈ LNoeM) → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s (𝑏 ∪ {𝑐})) ∈ LNoeM)))
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 8746 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM))
3433impcom 411 . 2 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑊s 𝐼) ∈ LNoeM)
351, 34eqeltrid 2894 1 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525  (class class class)co 7136  Fincfn 8495   ↑s cpws 16715  LModclmod 19631  LNoeMclnm 40062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lmhm 19791  df-lmim 19792  df-lmic 19793  df-lfig 40055  df-lnm 40063 This theorem is referenced by:  lnrfrlm  40105
 Copyright terms: Public domain W3C validator