Theorem fldgenssp 33328

Description: The field generated by a set of elements in a division ring is contained in any sub-division-ring which contains those elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenidfld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldgenssp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenssp	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem fldgenssp

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
3		fldgenssp.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
4		fldgenidfld.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		issdrg 20712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
7	6	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹))
8	1	subrgss 20496	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	3, 9	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	1, 2, 10	fldgenval 33322	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
12		sseq2 3957	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
13	12, 4, 3	elrabd 3645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
14		intss1 4915	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
16	11, 15	eqsstrd 3965	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4899  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  SubRingcsubrg 20493  DivRingcdr 20653  SubDRingcsdrg 20710   fldGen cfldgen 33320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-sdrg 20711  df-fldgen 33321

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem2  33762  algextdeglem4  33805  constrext2chnlem  33835