Theorem fldgenssp 33581

Description: The field generated by a set of elements in a division ring is contained in any sub-division-ring which contains those elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenidfld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldgenssp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenssp	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem fldgenssp

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
3		fldgenssp.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
4		fldgenidfld.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		issdrg 20868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
7	6	simp2d 1159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹))
8	1	subrgss 20656	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	3, 9	sstrd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	1, 2, 10	fldgenval 33575	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
12		sseq2 3971	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
13	12, 4, 3	elrabd 3661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
14		intss1 4932	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
16	11, 15	eqsstrd 3979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∩ cint 4916  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  SubRingcsubrg 20653  DivRingcdr 20812  SubDRingcsdrg 20866   fldGen cfldgen 33573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-sdrg 20867  df-fldgen 33574

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem2  34011  algextdeglem4  34054  constrext2chnlem  34084