Theorem fldgenssp 33578

Description: The field generated by a set of elements in a division ring is contained in any sub-division-ring which contains those elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenidfld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldgenssp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenssp	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem fldgenssp

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
3		fldgenssp.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
4		fldgenidfld.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		issdrg 20865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
7	6	simp2d 1159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹))
8	1	subrgss 20653	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	3, 9	sstrd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	1, 2, 10	fldgenval 33572	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
12		sseq2 3971	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
13	12, 4, 3	elrabd 3661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
14		intss1 4929	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
16	11, 15	eqsstrd 3979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∩ cint 4913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  SubRingcsubrg 20650  DivRingcdr 20809  SubDRingcsdrg 20863   fldGen cfldgen 33570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-sdrg 20864  df-fldgen 33571

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem2  34008  algextdeglem4  34051  constrext2chnlem  34081