Theorem fldgenssp 32679

Description: The field generated by a set of elements in a division ring is contained in any sub-division-ring which contains those elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenidfld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldgenssp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenssp	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem fldgenssp

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
3		fldgenssp.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
4		fldgenidfld.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		issdrg 20548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
7	6	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹))
8	1	subrgss 20463	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐹) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	3, 9	sstrd 3992	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	1, 2, 10	fldgenval 32673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
12		sseq2 4008	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
13	12, 4, 3	elrabd 3685	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
14		intss1 4967	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ 𝑆)
16	11, 15	eqsstrd 4020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∩ cint 4950  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  SubRingcsubrg 20458  DivRingcdr 20501  SubDRingcsdrg 20546   fldGen cfldgen 32671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-sdrg 20547  df-fldgen 32672

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33066