Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fperiodmullem 44748
Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fperiodmullem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fperiodmullem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7424 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (0 Β· 𝑇))
32oveq2d 7433 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (0 Β· 𝑇)))
43fveqeq2d 6902 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
54imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
6 oveq1 7424 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (π‘š Β· 𝑇))
76oveq2d 7433 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))
87fveqeq2d 6902 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
98imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
10 oveq1 7424 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = ((π‘š + 1) Β· 𝑇))
1110oveq2d 7433 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)))
1211fveqeq2d 6902 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1312imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
14 oveq1 7424 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (𝑁 Β· 𝑇))
1514oveq2d 7433 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇)))
1615fveqeq2d 6902 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1716imbi2d 339 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 11272 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2019mul02d 11442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 11272 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2423addridd 11444 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6898 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
27 simp3 1135 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
28 simp1 1133 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
29 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
30 simpl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
32313adant1 1127 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
33 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
35 1cnd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
3619adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3734, 35, 36adddird 11269 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 1) Β· 𝑇) = ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇)))
3837oveq2d 7433 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
3923adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4034, 36mulcld 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4135, 36mulcld 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4239, 40, 41addassd 11266 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
4336mullidd 11262 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7433 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6898 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 12511 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
5049adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
5118adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11274 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 11273 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 411 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 567 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7440 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2741 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6361, 62vtoclg 3533 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
65643adant3 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
66 simp3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6747, 65, 663eqtrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
69683exp 1116 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12687 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
711, 70mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589
This theorem is referenced by:  fperiodmul  44749
  Copyright terms: Public domain W3C validator