Theorem fperiodmullem 45218

Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmullem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
3	2	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
4	3	fveqeq2d 6928	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
6		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
7	6	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
8	7	fveqeq2d 6928	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
10		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
11	10	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
12	11	fveqeq2d 6928	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
14		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
15	14	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
16	15	fveqeq2d 6928	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
18		fperiodmullem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
21	20	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22		fperiodmullem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24	23	addridd 11490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
25	21, 24	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
26	25	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
27		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
31	29, 30	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
33		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35		1cnd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
36	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	adddird 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
38	37	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
40	34, 36	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	35, 36	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	addassd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
43	36	mullidd 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
45	38, 42, 44	3eqtr2d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
46	45	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47	46	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
48	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49		nn0re 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
51	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
53	48, 52	readdcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
54	53	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
55	54	imdistani 568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
57	56	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
60	58, 59	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
61	57, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62		fperiodmullem.per	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
63	61, 62	vtoclg 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
64	53, 55, 63	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
67	47, 65, 66	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
68	27, 28, 32, 67	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
69	68	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
70	5, 9, 13, 17, 26, 69	nn0ind 12738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
71	1, 70	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  fperiodmul  45219