Theorem fperiodmullem 46455

Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmullem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
3	2	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
4	3	fveqeq2d 6898	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
6		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
7	6	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
8	7	fveqeq2d 6898	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
10		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
11	10	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
12	11	fveqeq2d 6898	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
13	12	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
14		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
15	14	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
16	15	fveqeq2d 6898	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
17	16	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
18		fperiodmullem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
21	20	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22		fperiodmullem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24	23	addridd 11517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
25	21, 24	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
26	25	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
27		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
31	29, 30	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
32	31	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
33		nn0cn 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35		1cnd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
36	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	adddird 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
38	37	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
39	23	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
40	34, 36	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	35, 36	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	addassd 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
43	36	mullidd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
44	43	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
45	38, 42, 44	3eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
46	45	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47	46	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
48	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49		nn0re 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
51	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
53	48, 52	readdcld 11345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
54	53	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
55	54	imdistani 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
57	56	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58		fvoveq1 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
60	58, 59	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
61	57, 60	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62		fperiodmullem.per	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
63	61, 62	vtoclg 3517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
64	53, 55, 63	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65	64	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
67	47, 65, 66	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
68	27, 28, 32, 67	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
69	68	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
70	5, 9, 13, 17, 26, 69	nn0ind 12801	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
71	1, 70	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701

This theorem is used by:  fperiodmul  46456