Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fperiodmullem 44013
Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fperiodmullem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fperiodmullem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (0 Β· 𝑇))
32oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (0 Β· 𝑇)))
43fveqeq2d 6900 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
54imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
6 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (π‘š Β· 𝑇))
76oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))
87fveqeq2d 6900 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
98imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
10 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = ((π‘š + 1) Β· 𝑇))
1110oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)))
1211fveqeq2d 6900 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1312imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
14 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (𝑁 Β· 𝑇))
1514oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇)))
1615fveqeq2d 6900 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1716imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2019mul02d 11412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2423addridd 11414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
27 simp3 1139 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
28 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
29 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
30 simpl 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
32313adant1 1131 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
33 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
3433adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
35 1cnd 11209 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
3619adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3734, 35, 36adddird 11239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 1) Β· 𝑇) = ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇)))
3837oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
3923adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4034, 36mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4135, 36mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4239, 40, 41addassd 11236 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
4336mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 12481 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
5118adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 414 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6361, 62vtoclg 3557 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
65643adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
66 simp3 1139 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6747, 65, 663eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
69683exp 1120 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12657 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
711, 70mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559
This theorem is referenced by:  fperiodmul  44014
  Copyright terms: Public domain W3C validator