Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fperiodmullem 43999
Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fperiodmullem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fperiodmullem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (0 Β· 𝑇))
32oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (0 Β· 𝑇)))
43fveqeq2d 6896 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
6 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (π‘š Β· 𝑇))
76oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))
87fveqeq2d 6896 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
10 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = ((π‘š + 1) Β· 𝑇))
1110oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)))
1211fveqeq2d 6896 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
14 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 Β· 𝑇) = (𝑁 Β· 𝑇))
1514oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇)))
1615fveqeq2d 6896 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑛 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 11238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2019mul02d 11408 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2423addridd 11410 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (0 Β· 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (0 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
27 simp3 1138 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
28 simp1 1136 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
29 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
30 simpl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
32313adant1 1130 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
33 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
35 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
3619adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3734, 35, 36adddird 11235 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 1) Β· 𝑇) = ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇)))
3837oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
3923adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4034, 36mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4135, 36mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
4239, 40, 41addassd 11232 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = (𝑋 + ((π‘š Β· 𝑇) + (1 Β· 𝑇))))
4336mullidd 11228 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + (1 Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇)) = ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 12477 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
5118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 413 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 569 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6361, 62vtoclg 3556 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
65643adant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + (π‘š Β· 𝑇)) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))))
66 simp3 1138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6747, 65, 663eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) ∧ πœ‘) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
69683exp 1119 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘š Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + ((π‘š + 1) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12653 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹)))
711, 70mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555
This theorem is referenced by:  fperiodmul  44000
  Copyright terms: Public domain W3C validator