Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmullem 43527
Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
32oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
43fveqeq2d 6850 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
6 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
76oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
87fveqeq2d 6850 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
10 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
1110oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
1211fveqeq2d 6850 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
14 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
1514oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1615fveqeq2d 6850 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2019mul02d 11353 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2423addid1d 11355 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
27 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
32313adant1 1130 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
33 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3619adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
3734, 35, 36adddird 11180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
3837oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
3923adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
4034, 36mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
4135, 36mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
4239, 40, 41addassd 11177 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
4336mulid2d 11173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 12422 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
5118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6361, 62vtoclg 3525 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65643adant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6747, 65, 663eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
69683exp 1119 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12598 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
711, 70mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  0cn0 12413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500
This theorem is referenced by:  fperiodmul  43528
  Copyright terms: Public domain W3C validator