Theorem fperiodmullem 45332

Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperiodmullem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fperiodmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fperiodmullem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
3	2	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
4	3	fveqeq2d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
6		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
7	6	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
8	7	fveqeq2d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
10		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
11	10	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
12	11	fveqeq2d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
14		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
15	14	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
16	15	fveqeq2d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
18		fperiodmullem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
21	20	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22		fperiodmullem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24	23	addridd 11435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
25	21, 24	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
26	25	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
27		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
31	29, 30	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
33		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35		1cnd 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
36	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	adddird 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
38	37	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
40	34, 36	mulcld 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
41	35, 36	mulcld 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	addassd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
43	36	mullidd 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
44	43	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
45	38, 42, 44	3eqtr2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
46	45	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47	46	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
48	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49		nn0re 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
51	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
53	48, 52	readdcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
54	53	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
55	54	imdistani 568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
57	56	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
60	58, 59	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
61	57, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62		fperiodmullem.per	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
63	61, 62	vtoclg 3533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
64	53, 55, 63	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
67	47, 65, 66	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
68	27, 28, 32, 67	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))
69	68	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))))
70	5, 9, 13, 17, 26, 69	nn0ind 12688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋)))
71	1, 70	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  ℕ₀cn0 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589

This theorem is referenced by:  fperiodmul  45333