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Theorem fperiodmullem 41928
Description: A function with period T is also periodic with period nonnegative multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
32oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
43fveqeq2d 6657 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
54imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
6 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
76oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
87fveqeq2d 6657 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
98imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
10 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
1110oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
1211fveqeq2d 6657 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1312imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
14 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
1514oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1615fveqeq2d 6657 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1716imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2019mul02d 10831 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2423addid1d 10833 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
27 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30 simpl 486 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
32313adant1 1127 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
33 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 1cnd 10629 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3619adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
3734, 35, 36adddird 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
3837oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
3923adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
4034, 36mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
4135, 36mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
4239, 40, 41addassd 10656 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
4336mulid2d 10652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 11898 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
5049adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
5118adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 10664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 572 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2880 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6361, 62vtoclg 3518 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65643adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6747, 65, 663eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
69683exp 1116 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12069 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
711, 70mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974
This theorem is referenced by:  fperiodmul  41929
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