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Theorem fperiodmullem 45254
Description: A function with period 𝑇 is also periodic with period nonnegative multiple of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmullem.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmullem.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmullem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fperiodmullem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmullem.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmullem (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fperiodmullem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fperiodmullem.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑇) = (0 · 𝑇))
32oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (0 · 𝑇)))
43fveqeq2d 6915 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
6 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑚 · 𝑇))
76oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))
87fveqeq2d 6915 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
10 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑇) = ((𝑚 + 1) · 𝑇))
1110oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)))
1211fveqeq2d 6915 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
14 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑇) = (𝑁 · 𝑇))
1514oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑛 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1615fveqeq2d 6915 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑛 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
18 fperiodmullem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2019mul02d 11457 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑇) = 0)
2120oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = (𝑋 + 0))
22 fperiodmullem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2423addridd 11459 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (0 · 𝑇)) = 𝑋)
2625fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (0 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
27 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
30 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
3129, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
32313adant1 1129 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
33 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3619adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
3734, 35, 36adddird 11284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑇) = ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
3923adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
4034, 36mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℂ)
4135, 36mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
4239, 40, 41addassd 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = (𝑋 + ((𝑚 · 𝑇) + (1 · 𝑇))))
4336mullidd 11277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + (1 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4538, 42, 443eqtr2d 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇))
4645fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
47463adant3 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
4822adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
49 nn0re 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
5049adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
5118adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑇) ∈ ℝ)
5348, 52readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)
5453ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5554imdistani 568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
56 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ)))
58 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)))
59 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
6058, 59eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6157, 60imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))))
62 fperiodmullem.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6361, 62vtoclg 3554 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇)))))
6453, 55, 63sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
65643adant3 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘((𝑋 + (𝑚 · 𝑇)) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))))
66 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6747, 65, 663eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
6827, 28, 32, 67syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
69683exp 1118 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑚 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + ((𝑚 + 1) · 𝑇))) = (𝐹𝑋))))
705, 9, 13, 17, 26, 69nn0ind 12711 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋)))
711, 70mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  fperiodmul  45255
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