Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege131 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege131 43321
Description: If the procedure 𝑅 is single-valued, then the property of belonging to the 𝑅-sequence begining with 𝑀 or preceeding 𝑀 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 131 of [Frege1879] p. 85. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege130.m 𝑀𝑈
frege130.r 𝑅𝑉
Assertion
Ref Expression
frege131 (Fun 𝑅𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))

Proof of Theorem frege131
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 43265 . 2 (∀𝑏(𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
2 elun 4143 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
3 df-or 845 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
4 frege130.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀𝑈
54elexi 3488 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
6 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
75, 6elimasn 6082 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
8 df-br 5142 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑀, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
95, 6brcnv 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑏𝑏(t+‘𝑅)𝑀)
107, 8, 93bitr2i 299 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀)
1110notbii 320 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀)
125, 6elimasn 6082 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑏⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
13 df-br 5142 . . . . . . . . 9 (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏 ↔ ⟨𝑀, 𝑏⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
1412, 13bitr4i 278 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏)
1511, 14imbi12i 350 . . . . . . 7 ((¬ 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏))
162, 3, 153bitri 297 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏))
17 elun 4143 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
18 df-or 845 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
19 vex 3472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
205, 19elimasn 6082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
21 df-br 5142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑀, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
225, 19brcnv 5876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(t+‘𝑅)𝑎𝑎(t+‘𝑅)𝑀)
2320, 21, 223bitr2i 299 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀)
2423notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀)
255, 19elimasn 6082 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
26 df-br 5142 . . . . . . . . . . 11 (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑀, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
2725, 26bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
2824, 27imbi12i 350 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
2917, 18, 283bitri 297 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
3029imbi2i 336 . . . . . . 7 ((𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)))
3130albii 1813 . . . . . 6 (∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)))
3216, 31imbi12i 350 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ ((¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))))
3332albii 1813 . . . 4 (∀𝑏(𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ ∀𝑏((¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))))
3433imbi1i 349 . . 3 ((∀𝑏(𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (∀𝑏((¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))
35 frege130.r . . . 4 𝑅𝑉
364, 35frege130 43320 . . 3 ((∀𝑏((¬ 𝑏(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑏) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → (¬ 𝑎(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) → (Fun 𝑅𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))
3734, 36sylbi 216 . 2 ((∀𝑏(𝑏 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) → (Fun 𝑅𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))
381, 37ax-mp 5 1 (Fun 𝑅𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 844  wal 1531  wcel 2098  cun 3941  {csn 4623  cop 4629   class class class wbr 5141   I cid 5566  ccnv 5668  cima 5672  Fun wfun 6531  cfv 6537  t+ctcl 14938   hereditary whe 43099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-frege1 43117  ax-frege2 43118  ax-frege8 43136  ax-frege28 43157  ax-frege31 43161  ax-frege41 43172  ax-frege52a 43184  ax-frege52c 43215  ax-frege58b 43228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-trcl 14940  df-relexp 14973  df-he 43100
This theorem is referenced by:  frege132  43322
  Copyright terms: Public domain W3C validator