Theorem fundmge2nop0 14559

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14560 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17236. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundmge2nop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7907	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2		hashge2el2dif 14537	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
3	2	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
5		df-ne 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		elvv 5741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7		difeq1 4077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
8	7	funeqd 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9		opwo0id 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
10	9	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦⟩
11	10	funeqi 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12		dmeq 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13	12	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	12	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
15	13, 14	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩
17		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
18		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
19	16, 17, 18	funopdmsn 7154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20	19	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
21	20	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
22	15, 21	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
23	22	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
24	11, 23	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
25	8, 24	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
26	25	impcomd 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
27	26	exlimivv 1965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
28	27	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
29	6, 28	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
30	29	con3d 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
31	30	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
32	31	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
33	5, 32	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
34	33	rexlimivv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
35	4, 34	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
36	35	com13 89	. . 3 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
37	36	imp 412	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38		prcnel 3483	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
39	37, 38	pm2.61d1 182	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ∅c0 4289  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   × cxp 5664  dom cdm 5666  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543   ≤ cle 11262  2c2 12313  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by:  fundmge2nop  14560  fun2dmnop0  14561  funvtxdmge2val  29398  funiedgdmge2val  29399