MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fundmge2nop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fundmge2nop0 14453
Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14454 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17084. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
fundmge2nop0 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmexg 7894 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2 hashge2el2dif 14441 . . . . . . 7 ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
32ex 414 . . . . . 6 (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
5 df-ne 2942 . . . . . . 7 (𝑎𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6 elvv 5751 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7 difeq1 4116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
87funeqd 6571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9 opwo0id 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
109eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦
1110funeqi 6570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12 dmeq 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1312eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1412eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1513, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦
17 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
18 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
1916, 17, 18funopdmsn 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20193expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
2120expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
2215, 21syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
2411, 23biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
258, 24sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
2625impcomd 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
2726exlimivv 1936 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
2827com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
296, 28biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
3029con3d 152 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
3130ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3231com23 86 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
335, 32biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3433rexlimivv 3200 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
354, 34syl6 35 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3635com13 88 . . 3 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3736imp 408 . 2 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38 prcnel 3498 . 2 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
3937, 38pm2.61d1 180 1 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5149   × cxp 5675  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  cfv 6544  cle 11249  2c2 12267  chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  fundmge2nop  14454  fun2dmnop0  14455  funvtxdmge2val  28271  funiedgdmge2val  28272
  Copyright terms: Public domain W3C validator