MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fundmge2nop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fundmge2nop0 14538
Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14539 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17185. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
fundmge2nop0 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmexg 7924 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2 hashge2el2dif 14516 . . . . . . 7 ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏)
32ex 412 . . . . . 6 (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏))
5 df-ne 2939 . . . . . . 7 (𝑎𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6 elvv 5763 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7 difeq1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
87funeqd 6590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9 opwo0id 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
109eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦
1110funeqi 6589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12 dmeq 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1312eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1412eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1513, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦
17 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
18 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
1916, 17, 18funopdmsn 7170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20193expb 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
2120expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
2215, 21biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
2411, 23biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
258, 24sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
2625impcomd 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
2726exlimivv 1930 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
2827com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
296, 28biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
3029con3d 152 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
3130ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3231com23 86 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
335, 32biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3433rexlimivv 3199 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ dom 𝐺𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
354, 34syl6 35 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3635com13 88 . . 3 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
3736imp 406 . 2 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38 prcnel 3505 . 2 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
3937, 38pm2.61d1 180 1 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  cfv 6563  cle 11294  2c2 12319  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  fundmge2nop  14539  fun2dmnop0  14540  funvtxdmge2val  29043  funiedgdmge2val  29044
  Copyright terms: Public domain W3C validator