Theorem fundmge2nop0 14391

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14392 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17023. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundmge2nop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7840	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2		hashge2el2dif 14379	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
3	2	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
5		df-ne 2944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		elvv 5706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7		difeq1 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
8	7	funeqd 6523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9		opwo0id 5454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
10	9	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦⟩
11	10	funeqi 6522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12		dmeq 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13	12	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	12	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
15	13, 14	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩
17		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
18		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
19	16, 17, 18	funopdmsn 7096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20	19	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
21	20	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
22	15, 21	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
24	11, 23	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
25	8, 24	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
26	25	impcomd 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
27	26	exlimivv 1935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
29	6, 28	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
30	29	con3d 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
31	30	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
32	31	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
33	5, 32	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
34	33	rexlimivv 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
35	4, 34	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
36	35	com13 88	. . 3 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
37	36	imp 407	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38		prcnel 3468	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
39	37, 38	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  Fun wfun 6490  ‘cfv 6496   ≤ cle 11190  2c2 12208  ♯chash 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231

This theorem is referenced by:  fundmge2nop  14392  fun2dmnop0  14393  funvtxdmge2val  27962  funiedgdmge2val  27963