Theorem fundmge2nop0 14425

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14426 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17078. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundmge2nop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7843	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2		hashge2el2dif 14403	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
3	2	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
5		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		elvv 5699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7		difeq1 4071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
8	7	funeqd 6514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9		opwo0id 5445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
10	9	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦⟩
11	10	funeqi 6513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12		dmeq 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13	12	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	12	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
15	13, 14	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩
17		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
18		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
19	16, 17, 18	funopdmsn 7095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20	19	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
21	20	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
22	15, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
24	11, 23	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
25	8, 24	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
26	25	impcomd 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
27	26	exlimivv 1933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
29	6, 28	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
30	29	con3d 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
31	30	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
32	31	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
33	5, 32	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
34	33	rexlimivv 3178	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
35	4, 34	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
36	35	com13 88	. . 3 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
37	36	imp 406	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38		prcnel 3466	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
39	37, 38	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   × cxp 5622  dom cdm 5624  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492   ≤ cle 11167  2c2 12200  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  fundmge2nop  14426  fun2dmnop0  14427  funvtxdmge2val  29084  funiedgdmge2val  29085