Theorem fundmge2nop0 14206

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14207 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 16852. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundmge2nop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fundmge2nop0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7750	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
2		hashge2el2dif 14194	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
3	2	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
5		df-ne 2944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		elvv 5661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
7		difeq1 4050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐺 ∖ {∅}) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}))
8	7	funeqd 6456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) ↔ Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})))
9		opwo0id 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅})
10	9	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) = ⟨𝑥, 𝑦⟩
11	10	funeqi 6455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) ↔ Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩)
12		dmeq 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → dom 𝐺 = dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13	12	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑎 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	12	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑏 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩))
15	13, 14	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
16		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩
17		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
18		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
19	16, 17, 18	funopdmsn 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑎 = 𝑏)
20	19	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩)) → 𝑎 = 𝑏)
21	20	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑏 ∈ dom ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
22	15, 21	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
24	11, 23	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
25	8, 24	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → 𝑎 = 𝑏)))
26	25	impcomd 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
27	26	exlimivv 1935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝑎 = 𝑏))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (∃𝑥∃𝑦 𝐺 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑎 = 𝑏))
29	6, 28	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 ∈ (V × V) → 𝑎 = 𝑏))
30	29	con3d 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
31	30	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
32	31	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
33	5, 32	syl5bi 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
34	33	rexlimivv 3221	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
35	4, 34	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
36	35	com13 88	. . 3 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (2 ≤ (♯‘dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))))
37	36	imp 407	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
38		prcnel 3455	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
39	37, 38	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  fundmge2nop  14207  fun2dmnop0  14208  funvtxdmge2val  27381  funiedgdmge2val  27382