Theorem uobeqterm 49535

Description: Universal objects and terminal categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeqterm.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐷)
uobeqterm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
uobeqterm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
uobeqterm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
uobeqterm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeqterm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
uobeqterm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
uobeqterm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
uobeqterm	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeqterm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeqterm.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ TermCat)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) = (CatCat‘{𝐷, 𝐸})
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
4		uobeqterm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
5		prid1g 4724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ TermCat → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
7	4	termccd 49468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
8	6, 7	elind 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
9		prex 5392	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐷, 𝐸} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐷, 𝐸} ∈ V)
11	2, 3, 10	catcbas 18063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
12	8, 11	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
13		prid2g 4725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ TermCat → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
15	1	termccd 49468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
17	16, 11	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
18	2, 3, 12, 17, 4	termcciso 49505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ TermCat ↔ 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
19	1, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
21	2	catccat 18070	. . . . 5 ⊢ ({𝐷, 𝐸} ∈ V → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
22	10, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
23	20, 3, 22, 12, 17	cic 17761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)))
24	19, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
25		uobeqterm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐷)
26		uobeqterm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28		uobeqterm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
30		fullfunc 17870	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Full 𝐸) ⊆ (𝐷 Func 𝐸)
31		uobeqterm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
33	2, 25, 31, 20, 32	catcisoi 49389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)) ∧ (1st ‘𝑘):𝐴–1-1-onto→𝐵))
34	33	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)))
35	34	elin1d 4167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
36	30, 35	sselid 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
37		uobeqterm.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
39	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐸 ∈ TermCat)
40	29, 36, 38, 39	cofuterm 49534	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘 ∘func 𝐹) = 𝐺)
41	36	func1st2nd 49065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st ‘𝑘)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝑘))
42	25, 31, 41	funcf1 17828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st ‘𝑘):𝐴⟶𝐵)
43	42, 27	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st ‘𝑘)‘𝑋) ∈ 𝐵)
44		uobeqterm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
46	39, 31, 43, 45	termcbasmo 49472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st ‘𝑘)‘𝑋) = 𝑌)
47	25, 27, 29, 40, 46, 2, 20, 32	uobeq3 49391	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
48	24, 47	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  {cpr 4591   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  Basecbs 17179  Catccat 17625  Isociso 17708   ≃_𝑐 ccic 17757   Func cfunc 17816   Full cful 17866   Faith cfth 17867  CatCatccatc 18060   UP cup 49162  TermCatctermc 49461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17629  df-cid 17630  df-homf 17631  df-comf 17632  df-oppc 17673  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711  df-cic 17758  df-func 17820  df-idfu 17821  df-cofu 17822  df-full 17868  df-fth 17869  df-nat 17908  df-fuc 17909  df-inito 17946  df-termo 17947  df-catc 18061  df-up 49163  df-thinc 49407  df-termc 49462

This theorem is referenced by:  isinito4  49536