Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uobeqterm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uobeqterm 50176
Description: Universal objects and terminal categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
uobeqterm.a 𝐴 = (Base‘𝐷)
uobeqterm.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
uobeqterm.x (𝜑𝑋𝐴)
uobeqterm.y (𝜑𝑌𝐵)
uobeqterm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeqterm.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
uobeqterm.d (𝜑𝐷 ∈ TermCat)
uobeqterm.e (𝜑𝐸 ∈ TermCat)
Assertion
Ref Expression
uobeqterm (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeqterm
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uobeqterm.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ TermCat)
2 eqid 2765 . . . . 5 (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) = (CatCat‘{𝐷, 𝐸})
3 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
4 uobeqterm.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ TermCat)
5 prid1g 4722 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ TermCat → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
64, 5syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
74termccd 50109 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
86, 7elind 4155 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
9 prex 5399 . . . . . . . 8 {𝐷, 𝐸} ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐷, 𝐸} ∈ V)
112, 3, 10catcbas 18146 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
128, 11eleqtrrd 2868 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
13 prid2g 4723 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ TermCat → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
141, 13syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
151termccd 50109 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
1614, 15elind 4155 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
1716, 11eleqtrrd 2868 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
182, 3, 12, 17, 4termcciso 50146 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ TermCat ↔ 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
191, 18mpbid 235 . . 3 (𝜑𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)
20 eqid 2765 . . . 4 (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
212catccat 18153 . . . . 5 ({𝐷, 𝐸} ∈ V → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
2210, 21syl 18 . . . 4 (𝜑 → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
2320, 3, 22, 12, 17cic 17844 . . 3 (𝜑 → (𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)))
2419, 23mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
25 uobeqterm.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐷)
26 uobeqterm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
2726adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑋𝐴)
28 uobeqterm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2928adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
30 fullfunc 17953 . . . . 5 (𝐷 Full 𝐸) ⊆ (𝐷 Func 𝐸)
31 uobeqterm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐸)
32 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
332, 25, 31, 20, 32catcisoi 50030 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)) ∧ (1st𝑘):𝐴1-1-onto𝐵))
3433simpld 499 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)))
3534elin1d 4159 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
3630, 35sselid 3937 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
37 uobeqterm.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
3837adantr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
391adantr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐸 ∈ TermCat)
4029, 36, 38, 39cofuterm 50175 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘func 𝐹) = 𝐺)
4136func1st2nd 49706 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st𝑘)(𝐷 Func 𝐸)(2nd𝑘))
4225, 31, 41funcf1 17911 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st𝑘):𝐴𝐵)
4342, 27ffvelcdmd 7070 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st𝑘)‘𝑋) ∈ 𝐵)
44 uobeqterm.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
4544adantr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑌𝐵)
4639, 31, 43, 45termcbasmo 50113 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st𝑘)‘𝑋) = 𝑌)
4725, 27, 29, 40, 46, 2, 20, 32uobeq3 50032 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
4824, 47exlimddv 1958 1 (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 400   = wceq 1563  wex 1802  wcel 2145  Vcvv 3457  cin 3906  {cpr 4587   class class class wbr 5104  dom cdm 5651  1-1-ontowf1o 6524  cfv 6525  (class class class)co 7400  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Basecbs 17257  Catccat 17708  Isociso 17791  𝑐 ccic 17840   Func cfunc 17899   Full cful 17949   Faith cfth 17950  CatCatccatc 18143   UP cup 49803  TermCatctermc 50102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-comf 17715  df-oppc 17756  df-sect 17792  df-inv 17793  df-iso 17794  df-cic 17841  df-func 17903  df-idfu 17904  df-cofu 17905  df-full 17951  df-fth 17952  df-nat 17991  df-fuc 17992  df-inito 18029  df-termo 18030  df-catc 18144  df-up 49804  df-thinc 50048  df-termc 50103
This theorem is referenced by:  isinito4  50177
  Copyright terms: Public domain W3C validator