Theorem uobeqterm 50598

Description: Universal objects and terminal categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeqterm.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐷)
uobeqterm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
uobeqterm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
uobeqterm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
uobeqterm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeqterm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
uobeqterm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
uobeqterm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
uobeqterm	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeqterm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeqterm.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ TermCat)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) = (CatCat‘{𝐷, 𝐸})
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
4		uobeqterm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
5		prid1g 4721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ TermCat → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
7	4	termccatd 50531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
8	6, 7	elind 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
9		prex 5396	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐷, 𝐸} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐷, 𝐸} ∈ V)
11	2, 3, 10	catcbas 18256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
12	8, 11	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
13		prid2g 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ TermCat → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
14	1, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
15	1	termccatd 50531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ({𝐷, 𝐸} ∩ Cat))
17	16, 11	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})))
18	2, 3, 12, 17, 4	termcciso 50568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ TermCat ↔ 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
19	1, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸})) = (Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))
21	2	catccat 18263	. . . . 5 ⊢ ({𝐷, 𝐸} ∈ V → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
22	10, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (CatCat‘{𝐷, 𝐸}) ∈ Cat)
23	20, 3, 22, 12, 17	cic 17954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷( ≃𝑐 ‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)))
24	19, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
25		uobeqterm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐷)
26		uobeqterm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28		uobeqterm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
30		fullfunc 18063	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Full 𝐸) ⊆ (𝐷 Func 𝐸)
31		uobeqterm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸))
33	2, 25, 31, 20, 32	catcisoi 50452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)) ∧ (1st ‘𝑘):𝐴–1-1-onto→𝐵))
34	33	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ ((𝐷 Full 𝐸) ∩ (𝐷 Faith 𝐸)))
35	34	elin1d 4150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
36	30, 35	sselid 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑘 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
37		uobeqterm.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
39	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝐸 ∈ TermCat)
40	29, 36, 38, 39	cofuterm 50597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (𝑘 ∘func 𝐹) = 𝐺)
41	36	func1st2nd 50128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st ‘𝑘)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝑘))
42	25, 31, 41	funcf1 18021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → (1st ‘𝑘):𝐴⟶𝐵)
43	42, 27	ffvelcdmd 7077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st ‘𝑘)‘𝑋) ∈ 𝐵)
44		uobeqterm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	44	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
46	39, 31, 43, 45	termcbasmo 50535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → ((1st ‘𝑘)‘𝑋) = 𝑌)
47	25, 27, 29, 40, 46, 2, 20, 32	uobeq3 50454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷(Iso‘(CatCat‘{𝐷, 𝐸}))𝐸)) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
48	24, 47	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  {cpr 4586   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  Basecbs 17367  Catccat 17818  Isociso 17901   ≃_𝑐 ccic 17950   Func cfunc 18009   Full cful 18059   Faith cfth 18060  CatCatccatc 18253   UP cup 50225  TermCatctermc 50524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-homf 17824  df-comf 17825  df-oppc 17866  df-sect 17902  df-inv 17903  df-iso 17904  df-cic 17951  df-func 18013  df-idfu 18014  df-cofu 18015  df-full 18061  df-fth 18062  df-nat 18101  df-fuc 18102  df-inito 18139  df-termo 18140  df-catc 18254  df-up 50226  df-thinc 50470  df-termc 50525

This theorem is used by:  isinito4  50599