Theorem fucorid2 50021

Description: Pre-composing a natural transformation with the identity natural transformation of a functor is pre-composing it with the object part of the functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucolid.p	⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
fucolid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucorid.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucorid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
fucorid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucorid2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Proof of Theorem fucorid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucolid.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
2		fucolid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
3		fucorid.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
4		fucorid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
5		fucorid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	fucorid 50020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7, 4	nat1st2nd 18007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨(1st ‘𝐻), (2nd ‘𝐻)⟩))
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10	7, 8, 9	natfn 18010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝐷))
11		dffn2 6705	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (Base‘𝐷) ↔ 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
13		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	5	func1st2nd 49734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
15	13, 9, 14	funcf1 17919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
16		fcompt 7127	. . 3 ⊢ ((𝐴:(Base‘𝐷)⟶V ∧ (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷)) → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
17	12, 15, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
18	6, 17	eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  Basecbs 17265  Idccid 17717   Func cfunc 17907   Nat cnat 17997   FuncCat cfuc 17998   ∘_F cfuco 49974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-func 17911  df-cofu 17913  df-nat 17999  df-fuc 18000  df-fuco 49975

This theorem is referenced by: (None)