Theorem fucorid2 49334

Description: Pre-composing a natural transformation with the identity natural transformation of a functor is pre-composing it with the object part of the functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucolid.p	⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
fucolid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucorid.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucorid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
fucorid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucorid2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Proof of Theorem fucorid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucolid.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
2		fucolid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
3		fucorid.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
4		fucorid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
5		fucorid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	fucorid 49333	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7, 4	nat1st2nd 17922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨(1st ‘𝐻), (2nd ‘𝐻)⟩))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10	7, 8, 9	natfn 17925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝐷))
11		dffn2 6692	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (Base‘𝐷) ↔ 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	5	func1st2nd 49053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
15	13, 9, 14	funcf1 17834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
16		fcompt 7107	. . 3 ⊢ ((𝐴:(Base‘𝐷)⟶V ∧ (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷)) → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
18	6, 17	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5644   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  Basecbs 17185  Idccid 17632   Func cfunc 17822   Nat cnat 17912   FuncCat cfuc 17913   ∘_F cfuco 49287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-cofu 17828  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-fuco 49288

This theorem is referenced by: (None)