Theorem fucorid2 49325

Description: Pre-composing a natural transformation with the identity natural transformation of a functor is pre-composing it with the object part of the functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucolid.p	⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
fucolid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucorid.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucorid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
fucorid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucorid2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Proof of Theorem fucorid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucolid.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
2		fucolid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
3		fucorid.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
4		fucorid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
5		fucorid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	fucorid 49324	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7, 4	nat1st2nd 17892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨(1st ‘𝐻), (2nd ‘𝐻)⟩))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10	7, 8, 9	natfn 17895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝐷))
11		dffn2 6672	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (Base‘𝐷) ↔ 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	5	func1st2nd 49038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
15	13, 9, 14	funcf1 17804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
16		fcompt 7087	. . 3 ⊢ ((𝐴:(Base‘𝐷)⟶V ∧ (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷)) → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
18	6, 17	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Basecbs 17155  Idccid 17602   Func cfunc 17792   Nat cnat 17882   FuncCat cfuc 17883   ∘_F cfuco 49278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-func 17796  df-cofu 17798  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-fuco 49279

This theorem is referenced by: (None)