Theorem fucorid2 49348

Description: Pre-composing a natural transformation with the identity natural transformation of a functor is pre-composing it with the object part of the functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucolid.p	⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
fucolid.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucorid.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucorid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
fucorid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
fucorid2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Proof of Theorem fucorid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucolid.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) = 𝑃)
2		fucolid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
3		fucorid.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
4		fucorid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺(𝐷 Nat 𝐸)𝐻))
5		fucorid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	fucorid 49347	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7, 4	nat1st2nd 17861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩(𝐷 Nat 𝐸)⟨(1st ‘𝐻), (2nd ‘𝐻)⟩))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10	7, 8, 9	natfn 17864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝐷))
11		dffn2 6654	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (Base‘𝐷) ↔ 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐷)⟶V)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	5	func1st2nd 49061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
15	13, 9, 14	funcf1 17773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
16		fcompt 7067	. . 3 ⊢ ((𝐴:(Base‘𝐷)⟶V ∧ (1st ‘𝐹):(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷)) → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝐴‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
18	6, 17	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟨𝐺, 𝐹⟩𝑃⟨𝐻, 𝐹⟩)(𝐼‘𝐹)) = (𝐴 ∘ (1st ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  2^nd c2nd 7923  Basecbs 17120  Idccid 17571   Func cfunc 17761   Nat cnat 17851   FuncCat cfuc 17852   ∘_F cfuco 49301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-func 17765  df-cofu 17767  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-fuco 49302

This theorem is referenced by: (None)