Theorem funcoppc4 50295

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc4.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc4	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem funcoppc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		funcoppc2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		funcoppc2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		funcoppc2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
5		funcoppc4.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
6	5	func1st2nd 50227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝑂 Func 𝑃)(2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
7	1, 2, 3, 4, 6	funcoppc2 50294	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝐶 Func 𝐷)tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
8		relfunc 18037	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
9		df-ov 7423	. . . 4 ⊢ (𝐹 oppFunc 𝐺) = ( oppFunc ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	5, 8, 9, 10	oppf1st2nd 50282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (V × V) ∧ ((1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹 ∧ (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)))
12	11	simprld 784	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹)
13	11	simprrd 786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)
14	13	tposeqd 8246	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos tpos 𝐺)
15	5, 8, 9, 10	oppfrcl3 50281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))
16		tpostpos2 8264	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
18	14, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐺)
19	7, 12, 18	3brtr3d 5135	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  tpos ctpos 8242  oppCatcoppc 17885   Func cfunc 18029   oppFunc coppf 50273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-homf 17844  df-comf 17845  df-oppc 17886  df-func 18033  df-oppf 50274

This theorem is used by:  funcoppc5  50296