Theorem funcoppc4 49117

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc4.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc4	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem funcoppc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		funcoppc2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		funcoppc2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		funcoppc2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
5		funcoppc4.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
6	5	func1st2nd 49049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝑂 Func 𝑃)(2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
7	1, 2, 3, 4, 6	funcoppc2 49116	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝐶 Func 𝐷)tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
8		relfunc 17787	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
9		df-ov 7356	. . . 4 ⊢ (𝐹 oppFunc 𝐺) = ( oppFunc ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	5, 8, 9, 10	oppf1st2nd 49104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (V × V) ∧ ((1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹 ∧ (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)))
12	11	simprld 771	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹)
13	11	simprrd 773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)
14	13	tposeqd 8169	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos tpos 𝐺)
15	5, 8, 9, 10	oppfrcl3 49103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))
16		tpostpos2 8187	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
18	14, 17	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐺)
19	7, 12, 18	3brtr3d 5126	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095   × cxp 5621  dom cdm 5623  Rel wrel 5628  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  tpos ctpos 8165  oppCatcoppc 17635   Func cfunc 17779   oppFunc coppf 49095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17592  df-cid 17593  df-homf 17594  df-comf 17595  df-oppc 17636  df-func 17783  df-oppf 49096

This theorem is referenced by:  funcoppc5  49118