Theorem funcoppc4 49466

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc4.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc4	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Proof of Theorem funcoppc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		funcoppc2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		funcoppc2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		funcoppc2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
5		funcoppc4.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
6	5	func1st2nd 49398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝑂 Func 𝑃)(2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
7	1, 2, 3, 4, 6	funcoppc2 49465	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺))(𝐶 Func 𝐷)tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)))
8		relfunc 17791	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
9		df-ov 7364	. . . 4 ⊢ (𝐹 oppFunc 𝐺) = ( oppFunc ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
11	5, 8, 9, 10	oppf1st2nd 49453	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 oppFunc 𝐺) ∈ (V × V) ∧ ((1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹 ∧ (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)))
12	11	simprld 772	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐹)
13	11	simprrd 774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos 𝐺)
14	13	tposeqd 8174	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = tpos tpos 𝐺)
15	5, 8, 9, 10	oppfrcl3 49452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))
16		tpostpos2 8192	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
18	14, 17	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (2nd ‘(𝐹 oppFunc 𝐺)) = 𝐺)
19	7, 12, 18	3brtr3d 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   × cxp 5623  dom cdm 5625  Rel wrel 5630  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  2^nd c2nd 7935  tpos ctpos 8170  oppCatcoppc 17639   Func cfunc 17783   oppFunc coppf 49444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-hom 17206  df-cco 17207  df-cat 17596  df-cid 17597  df-homf 17598  df-comf 17599  df-oppc 17640  df-func 17787  df-oppf 49445

This theorem is referenced by:  funcoppc5  49467