Theorem prcoftposcurfucoa 50047

Description: The pre-composition functor is the transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoftposcurfuco.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
prcoftposcurfuco.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
prcoftposcurfucoa.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
prcoftposcurfucoa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
prcoftposcurfucoa	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝑀)

Proof of Theorem prcoftposcurfucoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17919	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		prcoftposcurfucoa.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2nd 8036	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
5	4	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
6		prcoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
7		prcoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		prcoftposcurfuco.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
9		prcoftposcurfuco.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
10		prcoftposcurfucoa.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
11	4	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹) = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
12	10, 11	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
13	2	func1st2nd 49739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
14	6, 7, 8, 9, 12, 13	prcoftposcurfuco 50046	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩) = 𝑀)
15	5, 14	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  Rel wrel 5667  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  Catccat 17720   Func cfunc 17911   ∘_func ccofu 17913   FuncCat cfuc 18002   curry_F ccurf 18266   swap_F cswapf 49922   ∘_F cfuco 49979   −∘_F cprcof 50036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-cat 17724  df-cid 17725  df-func 17915  df-cofu 17917  df-nat 18003  df-fuc 18004  df-xpc 18228  df-curf 18270  df-swapf 49923  df-fuco 49980  df-prcof 50037

This theorem is referenced by:  prcoffunca  50049