Theorem prcoftposcurfucoa 49495

Description: The pre-composition functor is the transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoftposcurfuco.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
prcoftposcurfuco.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
prcoftposcurfucoa.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
prcoftposcurfucoa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
prcoftposcurfucoa	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝑀)

Proof of Theorem prcoftposcurfucoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17769	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		prcoftposcurfucoa.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2nd 7971	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
5	4	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
6		prcoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
7		prcoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		prcoftposcurfuco.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
9		prcoftposcurfuco.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
10		prcoftposcurfucoa.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹))
11	4	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘ ⚬ )‘𝐹) = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
12	10, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
13	2	func1st2nd 49187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
14	6, 7, 8, 9, 12, 13	prcoftposcurfuco 49494	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩) = 𝑀)
15	5, 14	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579  Rel wrel 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  Catccat 17570   Func cfunc 17761   ∘_func ccofu 17763   FuncCat cfuc 17852   curry_F ccurf 18116   swap_F cswapf 49370   ∘_F cfuco 49427   −∘_F cprcof 49484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-func 17765  df-cofu 17767  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-xpc 18078  df-curf 18120  df-swapf 49371  df-fuco 49428  df-prcof 49485

This theorem is referenced by:  prcoffunca  49497