Theorem 2oppffunc 49252

Description: The opposite functor of an opposite functor is a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.) The functor in opposite categories does not have to be an opposite functor. (Revised by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
2oppffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2oppffunc	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem 2oppffunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oppffunc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑂 Func 𝑃))
2		oppfval2 49243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑂 Func 𝑃) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
4		funcoppc2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
5		funcoppc2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
6		funcoppc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		funcoppc2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
8	1	func1st2nd 49182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝑂 Func 𝑃)(2nd ‘𝐹))
9	4, 5, 6, 7, 8	funcoppc2 49249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)tpos (2nd ‘𝐹))
10		df-br 5094	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)tpos (2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11	9, 10	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
12	3, 11	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  1^st c1st 7925  2^nd c2nd 7926  tpos ctpos 8161  oppCatcoppc 17623   Func cfunc 17767   oppFunc coppf 49228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-hom 17191  df-cco 17192  df-cat 17580  df-cid 17581  df-homf 17582  df-comf 17583  df-oppc 17624  df-func 17771  df-oppf 49229

This theorem is referenced by:  oppff1o  49255