Theorem diag2f1 50032

Description: If 𝐵 is non-empty, the morphism part of a diagonal functor is injective functions from hom-sets into sets of natural transformations. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2f1	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2f1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag2f1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diag2f1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
5	3, 4	fuchom 18020	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
6		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
7		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
9	6, 7, 8, 3	diagcl 18296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
10	9	func1st2nd 49799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
11		diag2f1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		diag2f1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	1, 2, 5, 10, 11, 12	funcf2 17924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
14		diag2f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐶 ∈ Cat)
16	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐷 ∈ Cat)
17	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
18	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		diag2f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
20	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐵 ≠ ∅)
21		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
22		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
23	6, 1, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	diag2f1lem 50031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
24	23	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
25		dff13 7252	. 2 ⊢ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ↔ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
26	13, 24, 25	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∅c0 4285  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  Basecbs 17268  Hom chom 17320  Catccat 17719   Nat cnat 18000   FuncCat cfuc 18001  Δ_funccdiag 18267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-func 17914  df-nat 18002  df-fuc 18003  df-xpc 18227  df-1stf 18228  df-curf 18269  df-diag 18271

This theorem is referenced by:  diag2f1o  50260