Theorem diag2f1 49935

Description: If 𝐵 is non-empty, the morphism part of a diagonal functor is injective functions from hom-sets into sets of natural transformations. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2f1	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2f1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag2f1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diag2f1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
5	3, 4	fuchom 17999	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
6		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
7		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
9	6, 7, 8, 3	diagcl 18275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
10	9	func1st2nd 49702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
11		diag2f1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		diag2f1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	1, 2, 5, 10, 11, 12	funcf2 17903	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
14		diag2f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐶 ∈ Cat)
16	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐷 ∈ Cat)
17	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
18	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		diag2f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
20	19	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐵 ≠ ∅)
21		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
22		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
23	6, 1, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	diag2f1lem 49934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
24	23	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
25		dff13 7240	. 2 ⊢ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ↔ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
26	13, 24, 25	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∅c0 4287  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971  Basecbs 17247  Hom chom 17299  Catccat 17698   Nat cnat 17979   FuncCat cfuc 17980  Δ_funccdiag 18246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-hom 17312  df-cco 17313  df-cat 17702  df-cid 17703  df-func 17893  df-nat 17981  df-fuc 17982  df-xpc 18206  df-1stf 18207  df-curf 18248  df-diag 18250

This theorem is referenced by:  diag2f1o  50163