Theorem diag2f1 49697

Description: If 𝐵 is non-empty, the morphism part of a diagonal functor is injective functions from hom-sets into sets of natural transformations. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2f1.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2f1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2f1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag2f1.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2f1	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2f1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2f1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag2f1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diag2f1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
5	3, 4	fuchom 17902	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
6		diag2f1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
7		diag2f1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		diag2f1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
9	6, 7, 8, 3	diagcl 18178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
10	9	func1st2nd 49464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
11		diag2f1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		diag2f1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	1, 2, 5, 10, 11, 12	funcf2 17806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
14		diag2f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐶 ∈ Cat)
16	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐷 ∈ Cat)
17	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
18	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		diag2f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝐵 ≠ ∅)
21		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
22		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
23	6, 1, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	diag2f1lem 49696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌))) → (((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
24	23	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
25		dff13 7212	. 2 ⊢ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ↔ ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑌)(((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑓) = ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
26	13, 24, 25	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287  ⟶wf 6498  –1-1→wf1 6499  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  Basecbs 17150  Hom chom 17202  Catccat 17601   Nat cnat 17882   FuncCat cfuc 17883  Δ_funccdiag 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-hom 17215  df-cco 17216  df-cat 17605  df-cid 17606  df-func 17796  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-xpc 18109  df-1stf 18110  df-curf 18151  df-diag 18153

This theorem is referenced by:  diag2f1o  49925