Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovncvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovncvr2 45881
Description: 𝐡 and 𝑇 are the left and right side of a cover of 𝐴. This cover is made of n-dimensional half-open intervals and approximates the n-dimensional Lebesgue outer volume of 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovncvr2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovncvr2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovncvr2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ovncvr2.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
ovncvr2.l 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
ovncvr2.d 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}))
ovncvr2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ))
ovncvr2.b 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
ovncvr2.t 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
ovncvr2 (πœ‘ β†’ (((𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝐴,𝑙,π‘Ž   𝐡,β„Ž   𝐢,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐸,π‘Ÿ   β„Ž,𝐼,𝑗,π‘˜   𝑖,𝐼,𝑗   𝐼,𝑙,𝑗,π‘˜   𝐿,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝑇,β„Ž   𝑋,π‘Ž,𝑖,𝑗,π‘Ÿ   β„Ž,𝑋,π‘˜   𝑋,𝑙   π‘˜,π‘Ž,πœ‘,𝑗   πœ‘,β„Ž   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑙)   𝐴(β„Ž,𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝐢(β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑙)   𝐷(β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝐸(β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑙)   𝐼(π‘Ÿ,π‘Ž)   𝐿(β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑙)

Proof of Theorem ovncvr2
StepHypRef Expression
1 ovncvr2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
2 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
32rabbidv 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
4 ovncvr2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
5 ovexd 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
65, 4ssexd 5317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
7 elpwg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)))
94, 8mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
10 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∈ V
1110rabex 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ∈ V)
131, 3, 9, 12fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π΄) = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
14 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
1613, 15eqsstrd 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π΄) βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
17 ovncvr2.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ))
18 ovncvr2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}))
19 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΆβ€˜π‘Ž) = (πΆβ€˜π΄))
2019eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ↔ 𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄)))
21 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄))
2221oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ))
2322breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)))
2420, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)) ↔ (𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ))))
2524rabbidva2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)})
2625mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}))
27 rpex 44610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ+ ∈ V
2827mptex 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}) ∈ V)
3018, 26, 9, 29fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π΄) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}))
31 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
3231breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
3332rabbidv 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = 𝐸) β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
35 ovncvr2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
36 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πΆβ€˜π΄) ∈ V
3736rabex 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ∈ V)
3930, 34, 35, 38fvmptd 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ) = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
4017, 39eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
41 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
4241fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐼 β†’ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)) = (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))
4342mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—))))
4443fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝐼 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))))
4544breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4645elrab 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ↔ (𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4740, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4847simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄))
4916, 48sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
50 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
53 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
5452, 53ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΌβ€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
55 elmapi 8842 . . . . . . . . . 10 ((πΌβ€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
5756ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
58 xp1st 8003 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6059fmpttd 7109 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
61 reex 11200 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
63 ovncvr2.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
64 elmapg 8832 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6562, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6665adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6760, 66mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6867fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
69 ovncvr2.b . . . . . 6 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
7069a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
7170feq1d 6695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
7268, 71mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
73 xp2nd 8004 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7457, 73syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7574fmpttd 7109 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
76 elmapg 8832 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7762, 63, 76syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7877adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7975, 78mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8079fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
81 ovncvr2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
8281a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
8382feq1d 6695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
8480, 83mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
8572, 84jca 511 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
8648, 13eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
87 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝐼 β†’ (π‘™β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
8887coeq2d 5855 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐼 β†’ ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—)) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
8988fveq1d 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐼 β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9089ixpeq2dv 8906 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐼 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑙 = 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9291iuneq2dv 5014 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐼 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9392sseq2d 4009 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐼 β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9493elrab 3678 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ↔ (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9586, 94sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9695simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9756adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
98 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
9997, 98fvovco 44446 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
100 mptexg 7217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10163, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
102101adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10370, 102fvmpt2d 7004 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
104 fvexd 6899 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
105103, 104fvmpt2d 7004 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
106105eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
107 mptexg 7217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10863, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
109108adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
11082, 109fvmpt2d 7004 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
111 fvexd 6899 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
112110, 111fvmpt2d 7004 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
113112eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
114106, 113oveq12d 7422 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
11599, 114eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
116115ixpeq2dva 8905 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
117116iuneq2dv 5014 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
11896, 117sseqtrd 4017 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
119 ovncvr2.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
120119a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))))
121 coeq2 5851 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (πΌβ€˜π‘—) β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
122121fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = (πΌβ€˜π‘—) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
123122ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
124123adantllr 716 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
12599adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
126114adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
127124, 125, 1263eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
128127fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
129128prodeq2dv 15870 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13063adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
13169fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13253, 102, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
133132feq1d 6695 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
13460, 133mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
135134adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
136135, 98ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
13781fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13853, 109, 137syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
139138feq1d 6695 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
14075, 139mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
141140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
142141, 98ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
143 volicore 45851 . . . . . . . . 9 ((((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
144136, 142, 143syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
145130, 144fprodrecl 15900 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
146120, 129, 54, 145fvmptd 6998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
147146eqcomd 2732 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))
148147mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—))))
149148fveq2d 6888 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))))
15047simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
151149, 150eqbrtrd 5163 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
15285, 118, 151jca31 514 1 (πœ‘ β†’ (((𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   ↑m cmap 8819  Xcixp 8890  Fincfn 8938  β„cr 11108   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β„+crp 12977   +𝑒 cxad 13093  [,)cico 13329  βˆcprod 15852  volcvol 25342  Ξ£^csumge0 45632  voln*covoln 45806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-prod 15853  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344
This theorem is referenced by:  hspmbllem3  45898
  Copyright terms: Public domain W3C validator