Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovncvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovncvr2 46028
Description: 𝐡 and 𝑇 are the left and right side of a cover of 𝐴. This cover is made of n-dimensional half-open intervals and approximates the n-dimensional Lebesgue outer volume of 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovncvr2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovncvr2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
ovncvr2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ovncvr2.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
ovncvr2.l 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
ovncvr2.d 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}))
ovncvr2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ))
ovncvr2.b 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
ovncvr2.t 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
ovncvr2 (πœ‘ β†’ (((𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝐴,𝑙,π‘Ž   𝐡,β„Ž   𝐢,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝑖,𝐸,π‘Ÿ   β„Ž,𝐼,𝑗,π‘˜   𝑖,𝐼,𝑗   𝐼,𝑙,𝑗,π‘˜   𝐿,π‘Ž,𝑖,π‘Ÿ   𝑇,β„Ž   𝑋,π‘Ž,𝑖,𝑗,π‘Ÿ   β„Ž,𝑋,π‘˜   𝑋,𝑙   π‘˜,π‘Ž,πœ‘,𝑗   πœ‘,β„Ž   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑙)   𝐴(β„Ž,𝑗,π‘˜)   𝐡(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝐢(β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑙)   𝐷(β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,π‘Ž,𝑙)   𝐸(β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑙)   𝐼(π‘Ÿ,π‘Ž)   𝐿(β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑙)

Proof of Theorem ovncvr2
StepHypRef Expression
1 ovncvr2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
2 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
32rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
4 ovncvr2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
5 ovexd 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
65, 4ssexd 5328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
7 elpwg 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)))
94, 8mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
10 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∈ V
1110rabex 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ∈ V)
131, 3, 9, 12fvmptd3 7033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π΄) = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
14 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
1613, 15eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π΄) βŠ† (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
17 ovncvr2.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ))
18 ovncvr2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}))
19 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΆβ€˜π‘Ž) = (πΆβ€˜π΄))
2019eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ↔ 𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄)))
21 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄))
2221oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ))
2322breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)))
2420, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)) ↔ (𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ))))
2524rabbidva2 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)})
2625mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}))
27 rpex 44757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ+ ∈ V
2827mptex 7241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}) ∈ V)
3018, 26, 9, 29fvmptd3 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π΄) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)}))
31 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
3231breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
3332rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = 𝐸 β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = 𝐸) β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 π‘Ÿ)} = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
35 ovncvr2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
36 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πΆβ€˜π΄) ∈ V
3736rabex 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ∈ V)
3930, 34, 35, 38fvmptd 7017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π΄)β€˜πΈ) = {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
4017, 39eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)})
41 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘–β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
4241fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐼 β†’ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)) = (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))
4342mpteq2dv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—))))
4443fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝐼 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))))
4544breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4645elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)} ↔ (𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4740, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
4847simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (πΆβ€˜π΄))
4916, 48sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
50 elmapi 8874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐼:β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
53 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
5452, 53ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΌβ€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
55 elmapi 8874 . . . . . . . . . 10 ((πΌβ€˜π‘—) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
5756ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
58 xp1st 8031 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6059fmpttd 7130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
61 reex 11237 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
63 ovncvr2.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
64 elmapg 8864 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6562, 63, 64syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6665adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
6760, 66mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6867fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
69 ovncvr2.b . . . . . 6 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
7069a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
7170feq1d 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
7268, 71mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
73 xp2nd 8032 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7457, 73syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7574fmpttd 7130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
76 elmapg 8864 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7762, 63, 76syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7877adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
7975, 78mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
8079fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
81 ovncvr2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
8281a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
8382feq1d 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))):β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
8480, 83mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
8572, 84jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
8648, 13eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
87 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝐼 β†’ (π‘™β€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘—))
8887coeq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐼 β†’ ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—)) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
8988fveq1d 6904 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐼 β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9089ixpeq2dv 8938 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐼 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9190adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑙 = 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9291iuneq2dv 5024 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐼 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9392sseq2d 4014 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐼 β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9493elrab 3684 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)} ↔ (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9586, 94sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
9695simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
9756adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΌβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
98 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
9997, 98fvovco 44596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
100 mptexg 7239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10163, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
102101adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10370, 102fvmpt2d 7023 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
104 fvexd 6917 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
105103, 104fvmpt2d 7023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
106105eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
107 mptexg 7239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
10863, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
109108adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V)
11082, 109fvmpt2d 7023 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
111 fvexd 6917 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∈ V)
112110, 111fvmpt2d 7023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
113112eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
114106, 113oveq12d 7444 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
11599, 114eqtrd 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
116115ixpeq2dva 8937 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
117116iuneq2dv 5024 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
11896, 117sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
119 ovncvr2.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
120119a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))))
121 coeq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = (πΌβ€˜π‘—) β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—)))
122121fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = (πΌβ€˜π‘—) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
123122ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
124123adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜))
12599adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (πΌβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
126114adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
127124, 125, 1263eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
128127fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
129128prodeq2dv 15907 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ β„Ž = (πΌβ€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13063adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
13169fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13253, 102, 131syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
133132feq1d 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
13460, 133mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
135134adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
136135, 98ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
13781fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ V) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
13853, 109, 137syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
139138feq1d 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((πΌβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„))
14075, 139mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
141140adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
142141, 98ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
143 volicore 45998 . . . . . . . . 9 ((((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
144136, 142, 143syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
145130, 144fprodrecl 15937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
146120, 129, 54, 145fvmptd 7017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
147146eqcomd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) = (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))
148147mpteq2dva 5252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—))))
149148fveq2d 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))))
15047simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(πΌβ€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
151149, 150eqbrtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸))
15285, 118, 151jca31 513 1 (πœ‘ β†’ (((𝐡:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π΅β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‡β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) +𝑒 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ ciun 5000   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998   ↑m cmap 8851  Xcixp 8922  Fincfn 8970  β„cr 11145   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  β„+crp 13014   +𝑒 cxad 13130  [,)cico 13366  βˆcprod 15889  volcvol 25412  Ξ£^csumge0 45779  voln*covoln 45953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-prod 15890  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414
This theorem is referenced by:  hspmbllem3  46045
  Copyright terms: Public domain W3C validator