Theorem climreclmpt 45665

Description: The limit of B convergent real sequence is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreclmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climreclmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreclmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreclmpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
climreclmpt.b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
climreclmpt	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climreclmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreclmpt.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5191	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
3		climreclmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climreclmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climreclmpt.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐵)
6		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
7		climreclmpt.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	fvmpt2d 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
9	8, 7	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	climreclf 45645	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  smflimsuplem4  46804