Theorem vonicclem1 46937

Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicclem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonicclem1.t	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
vonicclem1.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
vonicclem1.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
vonicclem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonicclem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛))))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4		vonicclem1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
6		vonicclem1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9		vonicclem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
11		vonicclem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
14		nnrecre 12187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17	16	fmpttd 7060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
18		vonicclem1.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))))
20	6	mptexd 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
22	19, 21	fvmpt2d 6954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
23	22	feq1d 6644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
24	17, 23	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ)
25	7, 8, 10, 24	hoimbl 46885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
26	25	elexd 3464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
27	5, 26	fvmpt2d 6954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
28	3, 27	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)))
29	28	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
30		vonicclem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
32	3, 24	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ)
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
34	7, 31, 10, 32, 33	vonn0hoi 46924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))))
35	10	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
36	3, 35	syldanl 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
37	32	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
38		volico 46237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
40	3, 13	syldanl 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
41		vonicclem1.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
43		nnrp 12917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
44	43	rpreccld 12959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
45	44	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
46	40, 45	ltaddrpd 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) < ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
47	16	elexd 3464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
48	22, 47	fvmpt2d 6954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
49	3, 48	syldanl 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑘) = ((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
50	46, 49	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
51	36, 40, 37, 42, 50	lelttrd 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘))
52	51	iftrued 4487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) < ((𝐶‘𝑛)‘𝑘), (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) = (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
53	39, 52	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
54	53	prodeq2dv 15845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)((𝐶‘𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
55	29, 34, 54	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
56	48	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴‘𝑘)))
57	13	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
58	15	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	35	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 58, 59	addsubd 11513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐵‘𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
61	56, 60	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
62	61	prodeq2dv 15845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
63	55, 62	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
64	63	mpteq2dva 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))))
65	2, 64	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))))
66		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
67	9	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
68	12, 67	resubcld 11565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛)))
71	66, 6, 69, 70	fprodaddrecnncnv 46164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
72	65, 71	eqbrtrd 5120	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Xcixp 8835  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℝ⁺crp 12905  [,)cico 13263   ⇝ cli 15407  ∏cprod 15826  volcvol 25420  volncvoln 46792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-prod 15827  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-salg 46563  df-sumge0 46617  df-mea 46704  df-ome 46744  df-caragen 46746  df-ovoln 46791  df-voln 46793

This theorem is referenced by:  vonicclem2  46938