Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicclem1 45399
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.u (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonicclem1.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
vonicclem1.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
vonicclem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
vonicclem1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1
StepHypRef Expression
1 vonicclem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 vonicclem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
6 vonicclem1.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
9 vonicclem1.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
11 vonicclem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 nnrecre 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1716fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
18 vonicclem1.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
206mptexd 7226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2219, 21fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
2322feq1d 6703 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
257, 8, 10, 24hoimbl 45347 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
2625elexd 3495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
275, 26fvmpt2d 7012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
283, 27syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
2928fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
30 vonicclem1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
323, 24syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
33 eqid 2733 . . . . . . 7 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
347, 31, 10, 32, 33vonn0hoi 45386 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
3510ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
363, 35syldanl 603 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3732ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
38 volico 44699 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
403, 13syldanl 603 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
41 vonicclem1.t . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
4241adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
43 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4443rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4640, 45ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
4716elexd 3495 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
4822, 47fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
493, 48syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
5046, 49breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5136, 40, 37, 42, 50lelttrd 11372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5251iftrued 4537 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5339, 52eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5453prodeq2dv 15867 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5529, 34, 543eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5648oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5713recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5815recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
5935recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6057, 58, 59addsubd 11592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6261prodeq2dv 15867 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6355, 62eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6463mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
652, 64eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
66 nfv 1918 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
679ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6812, 67resubcld 11642 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6968recnd 11242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
70 eqid 2733 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
7166, 6, 69, 70fprodaddrecnncnv 44626 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
7265, 71eqbrtrd 5171 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„+crp 12974  [,)cico 13326   ⇝ cli 15428  βˆcprod 15849  volcvol 24980  volncvoln 45254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166  df-ome 45206  df-caragen 45208  df-ovoln 45253  df-voln 45255
This theorem is referenced by:  vonicclem2  45400
  Copyright terms: Public domain W3C validator