Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicclem1 45010
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.u (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonicclem1.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
vonicclem1.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
vonicclem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
vonicclem1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1
StepHypRef Expression
1 vonicclem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 vonicclem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
6 vonicclem1.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
9 vonicclem1.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
11 vonicclem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 nnrecre 12200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1716fmpttd 7064 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
18 vonicclem1.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
206mptexd 7175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2219, 21fvmpt2d 6962 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
2322feq1d 6654 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
257, 8, 10, 24hoimbl 44958 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
2625elexd 3464 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
275, 26fvmpt2d 6962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
283, 27syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
2928fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
30 vonicclem1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
323, 24syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
33 eqid 2733 . . . . . . 7 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
347, 31, 10, 32, 33vonn0hoi 44997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
3510ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
363, 35syldanl 603 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3732ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
38 volico 44310 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
403, 13syldanl 603 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
41 vonicclem1.t . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
4241adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
43 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4443rpreccld 12972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4640, 45ltaddrpd 12995 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
4716elexd 3464 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
4822, 47fvmpt2d 6962 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
493, 48syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
5046, 49breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5136, 40, 37, 42, 50lelttrd 11318 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5251iftrued 4495 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5339, 52eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5453prodeq2dv 15811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5529, 34, 543eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5648oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5713recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5815recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
5935recnd 11188 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6057, 58, 59addsubd 11538 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6261prodeq2dv 15811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6355, 62eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6463mpteq2dva 5206 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
652, 64eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
66 nfv 1918 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
679ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6812, 67resubcld 11588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6968recnd 11188 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
70 eqid 2733 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
7166, 6, 69, 70fprodaddrecnncnv 44237 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
7265, 71eqbrtrd 5128 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„+crp 12920  [,)cico 13272   ⇝ cli 15372  βˆcprod 15793  volcvol 24843  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-salg 44636  df-sumge0 44690  df-mea 44777  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by:  vonicclem2  45011
  Copyright terms: Public domain W3C validator