Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicclem1 46133
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicclem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonicclem1.u (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonicclem1.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
vonicclem1.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
vonicclem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
vonicclem1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1
StepHypRef Expression
1 vonicclem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))))
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 vonicclem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
6 vonicclem1.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
9 vonicclem1.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
109adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
11 vonicclem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 nnrecre 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1716fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
18 vonicclem1.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
206mptexd 7231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2219, 21fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
2322feq1d 6701 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
2417, 23mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
257, 8, 10, 24hoimbl 46081 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
2625elexd 3485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) ∈ V)
275, 26fvmpt2d 7012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
283, 27syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
2928fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
30 vonicclem1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3130adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
323, 24syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
33 eqid 2725 . . . . . . 7 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
347, 31, 10, 32, 33vonn0hoi 46120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))))
3510ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
363, 35syldanl 600 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3732ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
38 volico 45433 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
403, 13syldanl 600 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
41 vonicclem1.t . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
4241adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
43 nnrp 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4443rpreccld 13056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4640, 45ltaddrpd 13079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
4716elexd 3485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
4822, 47fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
493, 48syldanl 600 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
5046, 49breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5136, 40, 37, 42, 50lelttrd 11400 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
5251iftrued 4532 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜), (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5339, 52eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5453prodeq2dv 15897 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5529, 34, 543eqtrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5648oveq1d 7430 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5713recnd 11270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5815recnd 11270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
5935recnd 11270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6057, 58, 59addsubd 11620 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6156, 60eqtrd 2765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6261prodeq2dv 15897 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6355, 62eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
6463mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
652, 64eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))))
66 nfv 1909 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
679ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6812, 67resubcld 11670 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6968recnd 11270 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
70 eqid 2725 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛)))
7166, 6, 69, 70fprodaddrecnncnv 45360 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) + (1 / 𝑛))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
7265, 71eqbrtrd 5165 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Xcixp 8912  Fincfn 8960  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„+crp 13004  [,)cico 13356   ⇝ cli 15458  βˆcprod 15879  volcvol 25408  volncvoln 45988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-prod 15880  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-salg 45759  df-sumge0 45813  df-mea 45900  df-ome 45940  df-caragen 45942  df-ovoln 45987  df-voln 45989
This theorem is referenced by:  vonicclem2  46134
  Copyright terms: Public domain W3C validator