Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicclem1 45333
Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicclem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.u (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonicclem1.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
vonicclem1.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
vonicclem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
Assertion
Ref Expression
vonicclem1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1
StepHypRef Expression
1 vonicclem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 vonicclem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
6 vonicclem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9 vonicclem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
11 vonicclem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
14 nnrecre 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1716fmpttd 7109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
18 vonicclem1.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))))
206mptexd 7220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2219, 21fvmpt2d 7006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
2322feq1d 6698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
257, 8, 10, 24hoimbl 45281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
2625elexd 3495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
275, 26fvmpt2d 7006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
283, 27syldan 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
2928fveq2d 6891 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
30 vonicclem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
323, 24syldan 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
33 eqid 2733 . . . . . . 7 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))
347, 31, 10, 32, 33vonn0hoi 45320 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
3510ffvelcdmda 7081 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
363, 35syldanl 603 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3732ffvelcdmda 7081 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
38 volico 44633 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
403, 13syldanl 603 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
41 vonicclem1.t . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
4241adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
43 nnrp 12980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4443rpreccld 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4640, 45ltaddrpd 13044 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) < ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
4716elexd 3495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
4822, 47fvmpt2d 7006 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
493, 48syldanl 603 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
5046, 49breqtrrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘))
5136, 40, 37, 42, 50lelttrd 11367 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘))
5251iftrued 4534 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5339, 52eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5453prodeq2dv 15862 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5529, 34, 543eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5648oveq1d 7418 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴𝑘)))
5713recnd 11237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
5815recnd 11237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
5935recnd 11237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6057, 58, 59addsubd 11587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6261prodeq2dv 15862 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6355, 62eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6463mpteq2dva 5246 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))))
652, 64eqtrd 2773 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))))
66 nfv 1918 . . 3 𝑘𝜑
679ffvelcdmda 7081 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
6812, 67resubcld 11637 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
6968recnd 11237 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
70 eqid 2733 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
7166, 6, 69, 70fprodaddrecnncnv 44560 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
7265, 71eqbrtrd 5168 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  c0 4320  ifcif 4526   class class class wbr 5146  cmpt 5229  dom cdm 5674  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  Xcixp 8886  Fincfn 8934  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11243  cle 11244  cmin 11439   / cdiv 11866  cn 12207  +crp 12969  [,)cico 13321  cli 15423  cprod 15844  volcvol 24961  volncvoln 45188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5112  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-prod 15845  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-mulg 18944  df-subg 18996  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-abl 19643  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-cring 20049  df-oppr 20138  df-dvdsr 20159  df-unit 20160  df-invr 20190  df-dvr 20203  df-drng 20305  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-cmp 22872  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-ovol 24962  df-vol 24963  df-salg 44959  df-sumge0 45013  df-mea 45100  df-ome 45140  df-caragen 45142  df-ovoln 45187  df-voln 45189
This theorem is referenced by:  vonicclem2  45334
  Copyright terms: Public domain W3C validator