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Theorem fmuldfeqlem1 43830
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 43831. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1 β„²π‘“πœ‘
fmuldfeqlem1.2 β„²π‘”πœ‘
fmuldfeqlem1.3 β„²π‘‘π‘Œ
fmuldfeqlem1.5 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
fmuldfeqlem1.6 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
fmuldfeqlem1.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
fmuldfeqlem1.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
fmuldfeqlem1.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
fmuldfeqlem1.10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmuldfeqlem1.11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
fmuldfeqlem1.12 (πœ‘ β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘))
fmuldfeqlem1.13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,𝑁,𝑑   π‘ˆ,𝑓,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   𝑑,𝑖,π‘ˆ   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑇(𝑖)   π‘ˆ(𝑔)   𝐹(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑀(𝑑,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑑,𝑖)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables β„Ž 𝑙 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7391 . . . . . . . 8 (1...𝑀) ∈ V
21mptex 7174 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V
3 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
43fvmpt2 6960 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
52, 4mpan2 690 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = (π‘ˆβ€˜π‘—))
76fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
87cbvmptv 5219 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘))
95, 8eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)))
109adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘)))
11 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑁 + 1) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘—) = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)))
1211fveq1d 6845 . . . . 5 (𝑗 = (𝑁 + 1) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))
1312adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 = (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘—)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))
14 fmuldfeqlem1.11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
1514adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
16 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
1716, 14ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
1817ancli 550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ))
19 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑓(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))
20 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . 9 β„²π‘“πœ‘
21 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ
2220, 21nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
23 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„
2422, 23nfim 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑓((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„)
25 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ))
2625anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)))
27 feq1 6650 . . . . . . . 8 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„))
2826, 27imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„)))
29 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
3019, 24, 28, 29vtoclgf 3524 . . . . . 6 ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„))
3117, 18, 30sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)):π‘‡βŸΆβ„)
3231ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3310, 13, 15, 32fvmptd 6956 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜(𝑁 + 1)) = ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))
3433oveq2d 7374 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜(𝑁 + 1))) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
35 fmuldfeqlem1.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (1...𝑀))
36 elfzuz 13438 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3735, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
38 seqp1 13922 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜(𝑁 + 1))))
3937, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜(𝑁 + 1))))
4039adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜(𝑁 + 1))))
41 seqp1 13922 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)𝑃(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)𝑃(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))))
43 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
44 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²β„Ž(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
45 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
46 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
47 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑔(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
48 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘“β€˜π‘‘) = (β„Žβ€˜π‘‘))
49 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (π‘™β€˜π‘‘))
5048, 49oveqan12d 7377 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = β„Ž ∧ 𝑔 = 𝑙) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
5150mpteq2dv 5208 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = β„Ž ∧ 𝑔 = 𝑙) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
5244, 45, 46, 47, 51cbvmpo 7452 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) = (β„Ž ∈ π‘Œ, 𝑙 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
5343, 52eqtri 2765 . . . . . . 7 𝑃 = (β„Ž ∈ π‘Œ, 𝑙 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
5453a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (β„Ž ∈ π‘Œ, 𝑙 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))))
55 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑1
56 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘‘π‘Œ
57 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
5856, 56, 57nfmpo 7440 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
5943, 58nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝑃
60 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘π‘ˆ
6155, 59, 60nfseq 13917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑seq1(𝑃, π‘ˆ)
62 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑𝑁
6361, 62nffv 6853 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)
6463nfeq2 2925 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)
65 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))
6664, 65nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)))
67 fveq1 6842 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘))
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘))
69 fveq1 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)) β†’ (π‘™β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘™β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))
7168, 70oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (((β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)) = (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
7266, 71mpteq2da 5204 . . . . . . 7 ((β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))))
7372adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„Ž = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∧ 𝑙 = (π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))))
74 eqid 2737 . . . . . . 7 (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)
75 3simpc 1151 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ (β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ))
76 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘“β„Ž
77 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘”β„Ž
78 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑔𝑙
79 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓 β„Ž ∈ π‘Œ
80 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓 𝑔 ∈ π‘Œ
8120, 79, 80nf3an 1905 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ)
82 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ
8381, 82nfim 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
84 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘”πœ‘
85 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔 β„Ž ∈ π‘Œ
86 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔 𝑙 ∈ π‘Œ
8784, 85, 86nf3an 1905 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔(πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ)
88 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ
8987, 88nfim 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑔((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
90 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ β„Ž ∈ π‘Œ))
91903anbi2d 1442 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = β„Ž β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ)))
9248oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)))
9392mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
9493eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = β„Ž β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ))
9591, 94imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑓 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ) ↔ ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)))
96 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 β†’ (𝑔 ∈ π‘Œ ↔ 𝑙 ∈ π‘Œ))
97963anbi3d 1443 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 β†’ ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ)))
9849oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑙 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘)) = ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
9998mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
10099eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ))
10197, 100imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 β†’ (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ) ↔ ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)))
102 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
10376, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102vtocl2gf 3530 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ))
10475, 103mpcom 38 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ π‘Œ ∧ 𝑙 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((β„Žβ€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
105 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
10653, 74, 35, 16, 104, 105fmulcl 43829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ)
107 mptexg 7172 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))) ∈ V)
108105, 107syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))) ∈ V)
10954, 73, 106, 17, 108ovmpod 7508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)𝑃(π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))))
11042, 109eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘))))
111106ancli 550 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ))
112 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓1
113 nfmpo1 7438 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
11443, 113nfcxfr 2906 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓𝑃
115 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘“π‘ˆ
116112, 114, 115nfseq 13917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓seq1(𝑃, π‘ˆ)
117 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓𝑁
118116, 117nffv 6853 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)
119118nfel1 2924 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ
12020, 119nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ)
121 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓𝑇
122 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓ℝ
123118, 121, 122nff 6665 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„
124120, 123nfim 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓((πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„)
125 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ))
126125anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ)))
127 feq1 6650 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„))
128126, 127imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑓 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„)))
129118, 124, 128, 29vtoclgf 3524 . . . . . . 7 ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘) ∈ π‘Œ) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„))
130106, 111, 129sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘):π‘‡βŸΆβ„)
131130ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
132131, 32remulcld 11186 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
133110, 132fvmpt2d 6962 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘) = (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
134 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘))
135134oveq1d 7373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
136135adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘)β€˜π‘‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
137133, 136eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘) = ((seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘) Β· ((π‘ˆβ€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘)))
13834, 40, 1373eqtr4rd 2788 1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑁 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  Vcvv 3446   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057  β„€β‰₯cuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908
This theorem is referenced by:  fmuldfeq  43831
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