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Theorem fmuldfeqlem1 40384
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 40385. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1 𝑓𝜑
fmuldfeqlem1.2 𝑔𝜑
fmuldfeqlem1.3 𝑡𝑌
fmuldfeqlem1.5 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
fmuldfeqlem1.6 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
fmuldfeqlem1.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
fmuldfeqlem1.8 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmuldfeqlem1.9 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
fmuldfeqlem1.10 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmuldfeqlem1.11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
fmuldfeqlem1.12 (𝜑 → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁))
fmuldfeqlem1.13 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1))‘𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘(𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑁,𝑡   𝑈,𝑓,𝑡   𝑓,𝑌,𝑔   𝑡,𝑖,𝑈   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑇(𝑖)   𝑈(𝑔)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑔,𝑖)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑔,𝑖)   𝑌(𝑡,𝑖)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables 𝑙 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6874 . . . . . . . 8 (1...𝑀) ∈ V
21mptex 6679 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V
3 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
43fvmpt2 6480 . . . . . . 7 ((𝑡𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
52, 4mpan2 682 . . . . . 6 (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)))
6 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝑈𝑖) = (𝑈𝑗))
76fveq1d 6377 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑈𝑖)‘𝑡) = ((𝑈𝑗)‘𝑡))
87cbvmptv 4909 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑖)‘𝑡)) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑗)‘𝑡))
95, 8syl6eq 2815 . . . . 5 (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑗)‘𝑡)))
109adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) = (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↦ ((𝑈𝑗)‘𝑡)))
11 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑈𝑗) = (𝑈‘(𝑁 + 1)))
1211fveq1d 6377 . . . . 5 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((𝑈𝑗)‘𝑡) = ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))
1312adantl 473 . . . 4 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 = (𝑁 + 1)) → ((𝑈𝑗)‘𝑡) = ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))
14 fmuldfeqlem1.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 + 1) ∈ (1...𝑀))
16 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . 7 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
1716, 14ffvelrnd 6550 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)
1817ancli 544 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌))
19 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑓(𝑈‘(𝑁 + 1))
20 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑓𝜑
21 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑓(𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌
2220, 21nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑓(𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)
23 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑓(𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ
2422, 23nfim 1995 . . . . . . 7 𝑓((𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌) → (𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ)
25 eleq1 2832 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑈‘(𝑁 + 1)) → (𝑓𝑌 ↔ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌))
2625anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑈‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑𝑓𝑌) ↔ (𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)))
27 feq1 6204 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑈‘(𝑁 + 1)) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ))
2826, 27imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑈‘(𝑁 + 1)) → (((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌) → (𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ)))
29 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
3019, 24, 28, 29vtoclgf 3416 . . . . . 6 ((𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑈‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑌) → (𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ))
3117, 18, 30sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈‘(𝑁 + 1)):𝑇⟶ℝ)
3231ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡) ∈ ℝ)
3310, 13, 15, 32fvmptd 6477 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))
3433oveq2d 6858 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝐹𝑡)‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
35 fmuldfeqlem1.10 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
36 elfzuz 12545 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
38 seqp1 13023 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (𝐹𝑡))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝐹𝑡)‘(𝑁 + 1))))
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , (𝐹𝑡))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝐹𝑡)‘(𝑁 + 1))))
4039adantr 472 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → (seq1( · , (𝐹𝑡))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝐹𝑡)‘(𝑁 + 1))))
41 seqp1 13023 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)𝑃(𝑈‘(𝑁 + 1))))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1)) = ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)𝑃(𝑈‘(𝑁 + 1))))
43 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
44 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))
45 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))
46 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑓(𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
47 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑔(𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
48 fveq1 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓𝑡) = (𝑡))
49 fveq1 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑡) = (𝑙𝑡))
5048, 49oveqan12d 6861 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
5150mpteq2dv 4904 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
5244, 45, 46, 47, 51cbvmpt2 6932 . . . . . . . 8 (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))) = (𝑌, 𝑙𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
5343, 52eqtri 2787 . . . . . . 7 𝑃 = (𝑌, 𝑙𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑃 = (𝑌, 𝑙𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡)))))
55 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑡1
56 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑌
57 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))
5856, 56, 57nfmpt2 6922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
5943, 58nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑃
60 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑈
6155, 59, 60nfseq 13018 . . . . . . . . . . 11 𝑡seq1(𝑃, 𝑈)
62 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑁
6361, 62nffv 6385 . . . . . . . . . 10 𝑡(seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
6463nfeq2 2923 . . . . . . . . 9 𝑡 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
65 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑡 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1))
6664, 65nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑡( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1)))
67 fveq1 6374 . . . . . . . . . 10 ( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) → (𝑡) = ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡))
6867ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑡) = ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡))
69 fveq1 6374 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1)) → (𝑙𝑡) = ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))
7069ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 ((( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑙𝑡) = ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))
7168, 70oveq12d 6860 . . . . . . . 8 ((( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑡) · (𝑙𝑡)) = (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
7266, 71mpteq2da 4902 . . . . . . 7 (( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1))) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))))
7372adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∧ 𝑙 = (𝑈‘(𝑁 + 1)))) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))))
74 eqid 2765 . . . . . . 7 (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
75 3simpc 1182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑌𝑙𝑌))
76 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑓
77 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑔
78 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑔𝑙
79 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑓 𝑌
80 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑓 𝑔𝑌
8120, 79, 80nf3an 2000 . . . . . . . . . 10 𝑓(𝜑𝑌𝑔𝑌)
82 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑓(𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌
8381, 82nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑓((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
84 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝑔𝜑
85 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑔 𝑌
86 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑔 𝑙𝑌
8784, 85, 86nf3an 2000 . . . . . . . . . 10 𝑔(𝜑𝑌𝑙𝑌)
88 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑔(𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌
8987, 88nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑔((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
90 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓𝑌𝑌))
91903anbi2d 1565 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑔𝑌)))
9248oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑔𝑡)))
9392mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))))
9493eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌))
9591, 94imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)))
96 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑌𝑙𝑌))
97963anbi3d 1566 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑙𝑌)))
9849oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
9998mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑙 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
10099eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
10197, 100imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)))
102 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
10376, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102vtocl2gf 3420 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑙𝑌) → ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
10475, 103mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
105 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
10653, 74, 35, 16, 104, 105fmulcl 40383 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
107 mptexg 6677 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ V → (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))) ∈ V)
108105, 107syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))) ∈ V)
10954, 73, 106, 17, 108ovmpt2d 6986 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)𝑃(𝑈‘(𝑁 + 1))) = (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))))
11042, 109eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1)) = (𝑡𝑇 ↦ (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡))))
111106ancli 544 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌))
112 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑓1
113 nfmpt21 6920 . . . . . . . . . . 11 𝑓(𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
11443, 113nfcxfr 2905 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑃
115 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑈
116112, 114, 115nfseq 13018 . . . . . . . . 9 𝑓seq1(𝑃, 𝑈)
117 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑓𝑁
118116, 117nffv 6385 . . . . . . . 8 𝑓(seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
119118nfel1 2922 . . . . . . . . . 10 𝑓(seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌
12020, 119nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑓(𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
121 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑇
122 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑓
123118, 121, 122nff 6219 . . . . . . . . 9 𝑓(seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ
124120, 123nfim 1995 . . . . . . . 8 𝑓((𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌) → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ)
125 eleq1 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) → (𝑓𝑌 ↔ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌))
126125anbi2d 622 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) → ((𝜑𝑓𝑌) ↔ (𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)))
127 feq1 6204 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ))
128126, 127imbi12d 335 . . . . . . . 8 (𝑓 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) → (((𝜑𝑓𝑌) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌) → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ)))
129118, 124, 128, 29vtoclgf 3416 . . . . . . 7 ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌 → ((𝜑 ∧ (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌) → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ))
130106, 111, 129sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁):𝑇⟶ℝ)
131130ffvelrnda 6549 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) ∈ ℝ)
132131, 32remulcld 10324 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)) ∈ ℝ)
133110, 132fvmpt2d 6482 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1))‘𝑡) = (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
134 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁))
135134oveq1d 6857 . . . 4 (𝜑 → (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
136135adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (((seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)‘𝑡) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
137133, 136eqtrd 2799 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1))‘𝑡) = ((seq1( · , (𝐹𝑡))‘𝑁) · ((𝑈‘(𝑁 + 1))‘𝑡)))
13834, 40, 1373eqtr4rd 2810 1 ((𝜑𝑡𝑇) → ((seq1(𝑃, 𝑈)‘(𝑁 + 1))‘𝑡) = (seq1( · , (𝐹𝑡))‘(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  Vcvv 3350  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cuz 11886  ...cfz 12533  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009
This theorem is referenced by:  fmuldfeq  40385
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