Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elaa2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elaa2lem 45247
Description: Elementhood in the set of nonzero algebraic numbers. ' Only if ' part of elaa2 45248. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elaa2lem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
elaa2lem.an0 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
elaa2lem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€))
elaa2lem.gn0 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
elaa2lem.ga (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
elaa2lem.m 𝑀 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < )
elaa2lem.i 𝐼 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
elaa2lem.f 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
elaa2lem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Polyβ€˜β„€)(((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) β‰  0 ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐴,π‘˜,𝑧   𝑓,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑛,𝐺   𝑧,𝐺   π‘˜,𝐼,𝑧   π‘˜,𝑀   𝑛,𝑀   𝑧,𝑀   πœ‘,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑧,π‘˜,𝑛)   𝐺(𝑓)   𝐼(𝑓,𝑛)   𝑀(𝑓)
Proof of Theorem elaa2lem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elaa2lem.f . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3 zsscn 12570 . . . . 5 β„€ βŠ† β„‚
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„€ βŠ† β„‚)
5 elaa2lem.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€))
6 dgrcl 25982 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
87nn0zd 12588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„€)
9 elaa2lem.m . . . . . . . . 9 𝑀 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < )
10 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† β„•0
11 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1210, 11sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
14 elaa2lem.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
1514neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺 = 0𝑝)
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
17 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
1816, 17dgreq0 26015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
195, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
2015, 19mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
2120neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) β‰  0)
227, 21jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜πΊ) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) β‰  0))
23 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (degβ€˜πΊ) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)))
2423neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (degβ€˜πΊ) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) β‰  0))
2524elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 ((degβ€˜πΊ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} ↔ ((degβ€˜πΊ) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) β‰  0))
2622, 25sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
2726ne0d 4334 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} β‰  βˆ…)
28 infssuzcl 12920 . . . . . . . . . . 11 (({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
2913, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
3010, 29sselid 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ∈ β„•0)
319, 30eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3231nn0zd 12588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
338, 32zsubcld 12675 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
349a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ))
35 infssuzle 12919 . . . . . . . . 9 (({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ≀ (degβ€˜πΊ))
3613, 26, 35syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ≀ (degβ€˜πΊ))
3734, 36eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (degβ€˜πΊ))
387nn0red 12537 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ ℝ)
3931nn0red 12537 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4038, 39subge0d 11808 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ↔ 𝑀 ≀ (degβ€˜πΊ)))
4137, 40mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))
4233, 41jca 510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)))
43 elnn0z 12575 . . . . 5 (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ↔ (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)))
4442, 43sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
45 0zd 12574 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 0 ∈ β„€)
4617coef2 25980 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„€)
475, 45, 46syl2anc2 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„€)
4847adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„€)
49 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5031adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5149, 50nn0addcld 12540 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•0)
5248, 51ffvelcdmd 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) ∈ β„€)
53 elaa2lem.i . . . . 5 𝐼 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
5452, 53fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼:β„•0βŸΆβ„€)
55 elplyr 25950 . . . 4 ((β„€ βŠ† β„‚ ∧ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐼:β„•0βŸΆβ„€) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜β„€))
564, 44, 54, 55syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜β„€))
572, 56eqeltrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
58 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))
5958iftrued 4535 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
60 iffalse 4536 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) β†’ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0) = 0)
6160adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0) = 0)
62 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))
6338ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ ℝ)
6439ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6563, 64resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ)
66 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6766ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6865, 67ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)))
6962, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) < π‘˜)
7063, 64, 67ltsubaddd 11814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) < π‘˜ ↔ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀)))
7169, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀))
72 olc 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀)))
745ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€))
7551adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•0)
7616, 17dgrlt 26016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•0) β†’ ((𝐺 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀)) ↔ ((degβ€˜πΊ) ≀ (π‘˜ + 𝑀) ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = 0)))
7774, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐺 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜πΊ) < (π‘˜ + 𝑀)) ↔ ((degβ€˜πΊ) ≀ (π‘˜ + 𝑀) ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = 0)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ ((degβ€˜πΊ) ≀ (π‘˜ + 𝑀) ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = 0))
7978simprd 494 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = 0)
8061, 79eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
8159, 80pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
8281mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀))))
8347, 4fssd 6734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
8483adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
85 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8685adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8731adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
8886, 87nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•0)
8984, 88ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) ∈ β„‚)
90 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) = (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)))
91 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ πœ‘)
9253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀))))
9392, 52fvmpt2d 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
9491, 86, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
9594adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
9695oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ ((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
9790, 96sumeq12rdv 15657 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
9897mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
992, 98eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
10057, 44, 89, 99coeeq2 25991 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ ((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀), ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)), 0)))
10182, 100, 923eqtr4d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = 𝐼)
102101fveq1d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) = (πΌβ€˜0))
103 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ + 𝑀) = (0 + 𝑀))
104103adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ + 𝑀) = (0 + 𝑀))
1053, 32sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
106105addlidd 11419 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
107106adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
108104, 107eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ + 𝑀) = 𝑀)
109108fveq2d 6894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€))
110 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
111110a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
11247, 31ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„€)
11392, 109, 111, 112fvmptd 7004 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜0) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€))
114 eqidd 2731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€))
115102, 113, 1143eqtrd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€))
11634, 29eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
117 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€))
118117neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) β‰  0))
119118elrab 3682 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) β‰  0))
120116, 119sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) β‰  0))
121120simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘€) β‰  0)
122115, 121eqnetrd 3006 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) β‰  0)
1235, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
124 aasscn 26067 . . . . . . . . . . 11 𝔸 βŠ† β„‚
125 elaa2lem.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
126124, 125sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12791, 126syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128127, 86expcld 14115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
12989, 128mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
130 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 𝑀) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)))
131 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 𝑀) β†’ (π΄β†‘π‘˜) = (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀)))
132130, 131oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 𝑀) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))))
13332, 123, 33, 129, 132fsumshft 15730 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 𝑀)...(((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) + 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))))
1343, 8sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„‚)
135134, 105npcand 11579 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) + 𝑀) = (degβ€˜πΊ))
136106, 135oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0 + 𝑀)...(((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) = (𝑀...(degβ€˜πΊ)))
137136sumeq1d 15651 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((0 + 𝑀)...(((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) + 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))))
138 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
139138adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1403, 139sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
141105adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
142140, 141npcand 11579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀) = 𝑗)
143142fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—))
144143oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))))
145126adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
146 elaa2lem.an0 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
147146adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝐴 β‰  0)
14832adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
149145, 147, 148, 139expsubd 14126 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀)) = ((𝐴↑𝑗) / (𝐴↑𝑀)))
150149oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· ((𝐴↑𝑗) / (𝐴↑𝑀))))
15183adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
152 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 0 ∈ ℝ)
15339adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
154139zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
15531nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
156155adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
157 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
158157adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
159152, 153, 154, 156, 158letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 0 ≀ 𝑗)
160139, 159jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝑗 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑗))
161 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„•0 ↔ (𝑗 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑗))
162160, 161sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
163151, 162ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
164145, 162expcld 14115 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝐴↑𝑗) ∈ β„‚)
165126, 31expcld 14115 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) ∈ β„‚)
166165adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝐴↑𝑀) ∈ β„‚)
167145, 147, 148expne0d 14121 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝐴↑𝑀) β‰  0)
168163, 164, 166, 167divassd 12029 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· ((𝐴↑𝑗) / (𝐴↑𝑀))))
169168eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· ((𝐴↑𝑗) / (𝐴↑𝑀))) = ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
170150, 169eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))))
171144, 170eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
172171sumeq2dv 15653 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
173137, 172eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((0 + 𝑀)...(((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀) + 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) Β· (𝐴↑(𝑗 βˆ’ 𝑀))) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
17431, 11eleqtrdi 2841 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
175 fzss1 13544 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑀...(degβ€˜πΊ)) βŠ† (0...(degβ€˜πΊ)))
176174, 175syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀...(degβ€˜πΊ)) βŠ† (0...(degβ€˜πΊ)))
177163, 164mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) ∈ β„‚)
178177, 166, 167divcld 11994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) ∈ β„‚)
17932ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1808ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„€)
181 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ)))
182181elfzelzd 13506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
183182ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
184 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ Β¬ 𝑗 < 𝑀)
18539ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
186183zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
187185, 186lenltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ (𝑀 ≀ 𝑗 ↔ Β¬ 𝑗 < 𝑀))
188184, 187mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
189 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ)) β†’ 𝑗 ≀ (degβ€˜πΊ))
190181, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ≀ (degβ€˜πΊ))
191190ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑗 ≀ (degβ€˜πΊ))
192179, 180, 183, 188, 191elfzd 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ)))
193 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ)))
194193ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ 𝑗 < 𝑀) β†’ Β¬ 𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ)))
195192, 194condan 814 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ 𝑗 < 𝑀)
196195adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 < 𝑀)
1979a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑀 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ))
19812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
199 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
200181, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
201200adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
202 neqne 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0 β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) β‰  0)
203202adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) β‰  0)
204201, 203jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) β‰  0))
205 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—))
206205neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑗 β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) β‰  0))
207206elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} ↔ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) β‰  0))
208204, 207sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
209208adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0})
210 infssuzle 12919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ≀ 𝑗)
211198, 209, 210syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ≀ 𝑗)
212197, 211eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
21339ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
214182zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
215214ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
216213, 215lenltd 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑀 ≀ 𝑗 ↔ Β¬ 𝑗 < 𝑀))
217212, 216mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) ∧ Β¬ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0) β†’ Β¬ 𝑗 < 𝑀)
218196, 217condan 814 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = 0)
219218oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) = (0 Β· (𝐴↑𝑗)))
220126adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
221200adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
222220, 221expcld 14115 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ (𝐴↑𝑗) ∈ β„‚)
223222mul02d 11416 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ (0 Β· (𝐴↑𝑗)) = 0)
224219, 223eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) = 0)
225224oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = (0 / (𝐴↑𝑀)))
226126, 146, 32expne0d 14121 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑀) β‰  0)
227165, 226div0d 11993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 / (𝐴↑𝑀)) = 0)
228227adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ (0 / (𝐴↑𝑀)) = 0)
229225, 228eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((0...(degβ€˜πΊ)) βˆ– (𝑀...(degβ€˜πΊ)))) β†’ ((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = 0)
230 fzfid 13942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...(degβ€˜πΊ)) ∈ Fin)
231176, 178, 229, 230fsumss 15675 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑀...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
232133, 173, 2313eqtrd 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
23386, 52syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) ∈ β„€)
23453fvmpt2 7008 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) ∈ β„€) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
23586, 233, 234syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
236235adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)))
237 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (π΄β†‘π‘˜))
238237ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (π΄β†‘π‘˜))
239236, 238oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))) β†’ ((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)))
240239sumeq2dv 15653 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))((πΌβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)))
241 fzfid 13942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀)) ∈ Fin)
242241, 129fsumcl 15683 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2432, 240, 126, 242fvmptd 7004 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...((degβ€˜πΊ) βˆ’ 𝑀))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜(π‘˜ + 𝑀)) Β· (π΄β†‘π‘˜)))
24417, 16coeid2 25988 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π΄) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)))
2455, 126, 244syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)))
246245oveq1d 7426 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΄) / (𝐴↑𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
24783adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
248199adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
249247, 248ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
250126adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
251250, 248expcld 14115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ (𝐴↑𝑗) ∈ β„‚)
252249, 251mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))) β†’ (((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) ∈ β„‚)
253230, 165, 252, 226fsumdivc 15736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))(((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
254246, 253eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΄) / (𝐴↑𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘—) Β· (𝐴↑𝑗)) / (𝐴↑𝑀)))
255232, 243, 2543eqtr4d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = ((πΊβ€˜π΄) / (𝐴↑𝑀)))
256 elaa2lem.ga . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
257256oveq1d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΄) / (𝐴↑𝑀)) = (0 / (𝐴↑𝑀)))
258255, 257, 2273eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
259122, 258jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0))
260 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coeffβ€˜π‘“) = (coeffβ€˜πΉ))
261260fveq1d 6892 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
262261neeq1d 2998 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) β‰  0 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) β‰  0))
263 fveq1 6889 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
264263eqeq1d 2732 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜π΄) = 0 ↔ (πΉβ€˜π΄) = 0))
265262, 264anbi12d 629 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) β‰  0 ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0) ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0)))
266265rspcev 3611 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Polyβ€˜β„€)(((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) β‰  0 ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0))
26757, 259, 266syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Polyβ€˜β„€)(((coeffβ€˜π‘“)β€˜0) β‰  0 ∧ (π‘“β€˜π΄) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936  π”Έcaa 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-aa 26064
This theorem is referenced by:  elaa2  45248
  Copyright terms: Public domain W3C validator