Theorem smfpimgtmpt 46967

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimgtmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smfpimgtmpt.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtmpt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5195	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		smfpimgtmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimgtmpt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		smfpimgtmpt.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
6	1, 2, 3, 4, 5	smfpreimagtf 46954	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7		smfpimgtmpt.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		smfpimgtmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	7, 8, 9	dmmptdf 45410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	1	nfdm 5898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
13	11, 12	rabeqf 3431	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
15	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
16	15, 9	fvmpt2d 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
17	16	breq2d 5108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
18	7, 17	rabbida 3423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
19		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
20	14, 18, 19	3eqtrrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
21	10	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	20, 22	eleq12d 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
24	6, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  {crab 3397   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   < clt 11164   ↾_t crest 17338  SAlgcsalg 46494  SMblFncsmblfn 46881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-fl 13710  df-rest 17340  df-salg 46495  df-smblfn 46882

This theorem is referenced by:  smfrec  46975