Theorem limsupubuzmpt 44425

Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupubuzmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupubuzmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
limsupubuzmpt.n	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupubuzmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupubuzmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5256	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		limsupubuzmpt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupubuzmpt.j	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
4		limsupubuzmpt.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
6	3, 4, 5	fmptdf 7116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
7		limsupubuzmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ≠ +∞)
8	1, 2, 6, 7	limsupubuz 44419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦)
9	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
10	9, 4	fvmpt2d 7011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = 𝐵)
11	10	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
12	3, 11	ralbida 3267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
13	12	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦))
14	8, 13	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦)
15		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
16	15	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥))
17	16	cbvrexvw 3235	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)
18	14, 17	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝐵 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℝcr 11108  +∞cpnf 11244   ≤ cle 11248  ℤ_≥cuz 12821  lim supclsp 15413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fl 13756  df-ceil 13757  df-limsup 15414

This theorem is referenced by:  smflimsuplem2  45527  smflimsuplem5  45530