Theorem etransclem4 46253

Description: 𝐹 expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
etransclem4.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem4.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem4.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
etransclem4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
2		etransclem4.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		cnex 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	ssex 5321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
5		mptexg 7241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
6	2, 4, 5	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
8		etransclem4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
9	8	fvmpt2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → (𝐻‘𝑗) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻‘𝑗) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
11		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
12	10, 11	fvmpt2d 7029	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
14	13	prodeq2dv 15958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
15		etransclem4.M	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0uz 12920	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17	15, 16	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
19	2	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		elfzelz 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
24	20, 23	subcld 11620	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
25		etransclem4.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
28	25	nnnn0d 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
29	27, 28	ifcld 4572	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
31	24, 30	expcld 14186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
32		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 0))
33		iftrue 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
34	32, 33	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)))
35	18, 31, 34	fprod1p 16004	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
36	19	subid1d 11609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
37	36	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(𝑃 − 1)))
38		0p1e1 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
39	38	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
41		0red 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
42		1red 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
43		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
44	43	zred 12722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
45		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
47		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
48	41, 42, 44, 46, 47	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
49	48	gt0ne0d 11827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
50	49	neneqd 2945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
51	50	iffalsed 4536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
52	51	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
54	40, 53	prodeq12rdv 15963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
56	37, 55	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
57	14, 35, 56	3eqtrrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥)))
59		etransclem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
60		etransclem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))
61	58, 59, 60	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940

This theorem is referenced by:  etransclem13  46262  etransclem29  46278