Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem4 45039
Description: ๐น expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem4.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)
etransclem4.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem4.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem4.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
etransclem4.h ๐ป = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
etransclem4.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
etransclem4 (๐œ‘ โ†’ ๐น = ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—,๐‘ฅ   ๐‘—,๐‘€   ๐‘ƒ,๐‘—   ๐œ‘,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘—)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘—)   ๐‘€(๐‘ฅ)

Proof of Theorem etransclem4
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
2 etransclem4.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)
3 cnex 11193 . . . . . . . . . . 11 โ„‚ โˆˆ V
43ssex 5321 . . . . . . . . . 10 (๐ด โŠ† โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ V)
5 mptexg 7225 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
62, 4, 53syl 18 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V)
8 etransclem4.h . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
98fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) โˆˆ V) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
101, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
11 ovexd 7446 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ V)
1210, 11fvmpt2d 7011 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1312an32s 650 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
1413prodeq2dv 15869 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)))
15 etransclem4.M . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 nn0uz 12866 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1715, 16eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1817adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
192sselda 3982 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
21 elfzelz 13503 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
2221zcnd 12669 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
2420, 23subcld 11573 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
25 etransclem4.p . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
26 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2825nnnn0d 12534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
2927, 28ifcld 4574 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
3029ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
3124, 30expcld 14113 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚)
32 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—) = (๐‘ฅ โˆ’ 0))
33 iftrue 4534 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3432, 33oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘ฅ โˆ’ 0)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3518, 31, 34fprod1p 15914 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = (((๐‘ฅ โˆ’ 0)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))))
3619subid1d 11562 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 0) = ๐‘ฅ)
3736oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 0)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
38 0p1e1 12336 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3938oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...๐‘€) = (1...๐‘€)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) = (1...๐‘€))
41 0red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
42 1red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
43 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4443zred 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
45 0lt1 11738 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 0 < 1)
47 elfzle1 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘—)
4841, 42, 44, 46, 47ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 0 < ๐‘—)
4948gt0ne0d 11780 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โ‰  0)
5049neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘— = 0)
5150iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
5251oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ))
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ))
5440, 53prodeq12rdv 15873 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ))
5554adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ)) = โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ))
5637, 55oveq12d 7429 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ 0)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘if(๐‘— = 0, (๐‘ƒ โˆ’ 1), ๐‘ƒ))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
5714, 35, 563eqtrrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)) = โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)))
59 etransclem4.f . 2 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘—)โ†‘๐‘ƒ)))
60 etransclem4.e . 2 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐ปโ€˜๐‘—)โ€˜๐‘ฅ))
6158, 59, 603eqtr4g 2797 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  โˆcprod 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852
This theorem is referenced by:  etransclem13  45048  etransclem29  45064
  Copyright terms: Public domain W3C validator