Theorem etransclem4 42880

Description: 𝐹 expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
etransclem4.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem4.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem4.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
etransclem4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
2		etransclem4.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		cnex 10607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	ssex 5189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
5		mptexg 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
6	2, 4, 5	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
8		etransclem4.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
9	8	fvmpt2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → (𝐻‘𝑗) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
10	1, 7, 9	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻‘𝑗) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
11		ovexd 7170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
12	10, 11	fvmpt2d 6758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
14	13	prodeq2dv 15269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
15		etransclem4.M	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0uz 12268	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17	15, 16	eleqtrdi 2900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
19	2	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		elfzelz 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
23	22	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
24	20, 23	subcld 10986	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
25		etransclem4.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
28	25	nnnn0d 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
29	27, 28	ifcld 4470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
31	24, 30	expcld 13506	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
32		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 0))
33		iftrue 4431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
34	32, 33	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)))
35	18, 31, 34	fprod1p 15314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
36	19	subid1d 10975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
37	36	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(𝑃 − 1)))
38		0p1e1 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
39	38	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
41		0red 10633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
42		1red 10631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
43		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
44	43	zred 12075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
45		0lt1 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
47		elfzle1 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
48	41, 42, 44, 46, 47	ltletrd 10789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
49	48	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
50	49	neneqd 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
51	50	iffalsed 4436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
52	51	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
53	52	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
54	40, 53	prodeq12rdv 15273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
55	54	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))
56	37, 55	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
57	14, 35, 56	3eqtrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥)))
59		etransclem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
60		etransclem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻‘𝑗)‘𝑥))
61	58, 59, 60	3eqtr4g 2858	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  etransclem13  42889  etransclem29  42905