Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem4 44104
Description: 𝐹 expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem4.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
etransclem4.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem4.M (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem4.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem4.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem4.e 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem4 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem4
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
2 etransclem4.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 cnex 11045 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
43ssex 5262 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
5 mptexg 7147 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
62, 4, 53syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
8 etransclem4.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
98fvmpt2 6936 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
101, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
11 ovexd 7364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
1210, 11fvmpt2d 6938 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1312an32s 649 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1413prodeq2dv 15724 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
15 etransclem4.M . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 12713 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1715, 16eleqtrdi 2847 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
192sselda 3931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 elfzelz 13349 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2221zcnd 12520 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2420, 23subcld 11425 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑗) ∈ ℂ)
25 etransclem4.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
26 nnm1nn0 12367 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2825nnnn0d 12386 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
2927, 28ifcld 4518 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3029ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3124, 30expcld 13957 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
32 oveq2 7337 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑥𝑗) = (𝑥 − 0))
33 iftrue 4478 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
3432, 33oveq12d 7347 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)))
3518, 31, 34fprod1p 15769 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
3619subid1d 11414 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3736oveq1d 7344 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(𝑃 − 1)))
38 0p1e1 12188 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3938oveq1i 7339 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
41 0red 11071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
42 1red 11069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
43 elfzelz 13349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4443zred 12519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
45 0lt1 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
47 elfzle1 13352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
4841, 42, 44, 46, 47ltletrd 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
4948gt0ne0d 11632 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
5049neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
5150iffalsed 4483 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
5251oveq2d 7345 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5440, 53prodeq12rdv 15728 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5554adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5637, 55oveq12d 7347 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
5714, 35, 563eqtrrd 2781 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
5857mpteq2dva 5189 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥)))
59 etransclem4.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
60 etransclem4.e . 2 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
6158, 59, 603eqtr4g 2801 1 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089  cmpt 5172  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969   < clt 11102  cmin 11298  cn 12066  0cn0 12326  cuz 12675  ...cfz 13332  cexp 13875  cprod 15706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-prod 15707
This theorem is referenced by:  etransclem13  44113  etransclem29  44129
  Copyright terms: Public domain W3C validator