Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem4 44469
Description: 𝐹 expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem4.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
etransclem4.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem4.M (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem4.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem4.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem4.e 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem4 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem4
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
2 etransclem4.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 cnex 11132 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
43ssex 5278 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
5 mptexg 7171 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
62, 4, 53syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
8 etransclem4.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
98fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
101, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
11 ovexd 7392 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
1210, 11fvmpt2d 6961 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1312an32s 650 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1413prodeq2dv 15806 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
15 etransclem4.M . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 12805 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1715, 16eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
192sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 elfzelz 13441 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2221zcnd 12608 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2420, 23subcld 11512 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑗) ∈ ℂ)
25 etransclem4.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
26 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2825nnnn0d 12473 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
2927, 28ifcld 4532 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3029ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3124, 30expcld 14051 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
32 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑥𝑗) = (𝑥 − 0))
33 iftrue 4492 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
3432, 33oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)))
3518, 31, 34fprod1p 15851 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
3619subid1d 11501 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3736oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(𝑃 − 1)))
38 0p1e1 12275 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3938oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
41 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
42 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
43 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4443zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
45 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
47 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
4841, 42, 44, 46, 47ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
4948gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
5049neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
5150iffalsed 4497 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
5251oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5440, 53prodeq12rdv 15810 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5554adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5637, 55oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
5714, 35, 563eqtrrd 2781 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
5857mpteq2dva 5205 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥)))
59 etransclem4.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
60 etransclem4.e . 2 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
6158, 59, 603eqtr4g 2801 1 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  etransclem13  44478  etransclem29  44494
  Copyright terms: Public domain W3C validator