Theorem fz1iso 14386

Description: Any finite ordered set has an order isomorphism to a one-based finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1iso	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑅,𝑓

Proof of Theorem fz1iso

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})) = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (ω ∩ (◡(rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)‘((♯‘𝐴) + 1))) = (ω ∩ (◡(rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)‘((♯‘𝐴) + 1)))
4		eqid 2737	. 2 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	fz1isolem 14385	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   Or wor 5529  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8339  Fincfn 8884  OrdIsocoi 9415  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167  ℕcn 12146  ...cfz 13424  ♯chash 14254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255

This theorem is referenced by:  summolem2  15640  zsum  15642  prodmolem2  15859  zprod  15861  gsumval3  19840  erdsze2lem1  35391  sticksstones3  42579  fzisoeu  45736