Theorem fzdif1 13662

Description: Split the first element of a finite set of sequential integers. More generic than fzpred 13629. Analogous to fzdif2 33248. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Proof of Theorem fzdif1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3912	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
2		elsng 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 = 𝑀))
3	2	necon3bbid 2994	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ 𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 ≠ 𝑀))
4		fzne1 13661	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
5	3, 4	sylbida 604	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
6		eluzel2 12895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		peano2uz 12953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzss1 13620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
11	10	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfz2 13570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
13	6	zred 12728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
17	6, 15, 16	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
18	17	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))
19	18	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)))
20	19	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))))
21	20	com24 96	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < 𝑥))))
22	21	imp42 432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 < 𝑥)
23	14, 22	gtned 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
24	23	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
25	12, 24	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
26	25	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
27		nelsn 4630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
29	11, 28	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
30	29	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})))
31	5, 30	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
32	1, 31	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
33	32	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  fz0dif1  13663