Theorem fzdif1 13554

Description: Split the first element of a finite set of sequential integers. More generic than fzpred 13521. Analogous to fzdif2 32882. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Proof of Theorem fzdif1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3900	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
2		elsng 4582	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 = 𝑀))
3	2	necon3bbid 2970	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ 𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 ≠ 𝑀))
4		fzne1 13553	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
5	3, 4	sylbida 593	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
6		eluzel2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		peano2uz 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzss1 13512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
11	10	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfz2 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
13	6	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
17	6, 15, 16	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
18	17	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)))
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))))
21	20	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < 𝑥))))
22	21	imp42 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 < 𝑥)
23	14, 22	gtned 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
24	23	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
25	12, 24	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
26	25	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
27		nelsn 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
29	11, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})))
31	5, 30	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
32	1, 31	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
33	32	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13555