Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eldif 3972 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})) |
2 | | elsng 4644 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 = 𝑀)) |
3 | 2 | necon3bbid 2975 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ 𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 ≠ 𝑀)) |
4 | | fzne1 13640 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) |
5 | 3, 4 | sylbida 592 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) |
6 | | eluzel2 12880 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ) |
7 | 6 | uzidd 12891 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
8 | | peano2uz 12940 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
9 | | fzss1 13599 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)) |
10 | 7, 8, 9 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)) |
11 | 10 | sselda 3994 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) |
12 | | elfz2 13550 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁))) |
13 | 6 | zred 12719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ) |
14 | 13 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑀 + 1) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝑥 ∈
ℤ) ∧ ((𝑀 + 1)
≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
15 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈
ℤ) |
16 | | zltp1le 12664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥)) |
17 | 6, 15, 16 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥)) |
18 | 17 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)) |
19 | 18 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))) |
20 | 19 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)))) |
21 | 20 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < 𝑥)))) |
22 | 21 | imp42 426 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑀 + 1) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝑥 ∈
ℤ) ∧ ((𝑀 + 1)
≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 < 𝑥) |
23 | 14, 22 | gtned 11393 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑀 + 1) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝑥 ∈
ℤ) ∧ ((𝑀 + 1)
≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ≠ 𝑀) |
24 | 23 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀)) |
25 | 12, 24 | sylbi 217 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀)) |
26 | 25 | impcom 407 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑀) |
27 | | nelsn 4670 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) |
29 | 11, 28 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})) |
30 | 29 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))) |
31 | 5, 30 | impbid2 226 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) |
32 | 1, 31 | bitrid 283 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) |
33 | 32 | eqrdv 2732 |
1
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁)) |