Theorem fzdif1 13739

Description: Split the first element of a finite set of sequential integers. More generic than fzpred 13706. Analogous to fzdif2 33382. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Proof of Theorem fzdif1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4049	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
2		elsng 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 = 𝑀))
3	2	necon3bbid 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ 𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 ≠ 𝑀))
4		fzne1 13738	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
5	3, 4	sylbida 604	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
6		eluzel2 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		peano2uz 13028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzss1 13697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
11	10	sselda 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfz2 13646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
13	6	zred 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
17	6, 15, 16	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
18	17	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))
19	18	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)))
20	19	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))))
21	20	com24 96	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < 𝑥))))
22	21	imp42 432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 < 𝑥)
23	14, 22	gtned 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
24	23	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
25	12, 24	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
26	25	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
27		nelsn 4626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
29	11, 28	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
30	29	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})))
31	5, 30	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
32	1, 31	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
33	32	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  fz0dif1  13740