Theorem fzdif1 13554

Description: Split the first element of a finite set of sequential integers. More generic than fzpred 13521. Analogous to fzdif2 32886. (Contributed by AV, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Proof of Theorem fzdif1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3895	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
2		elsng 4572	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 = 𝑀))
3	2	necon3bbid 2973	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (¬ 𝑥 ∈ {𝑀} ↔ 𝑥 ≠ 𝑀))
4		fzne1 13553	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
5	3, 4	sylbida 599	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) → 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
6		eluzel2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		peano2uz 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzss1 13512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
11	10	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
12		elfz2 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
13	6	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15		simp3 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		zltp1le 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
17	6, 15, 16	syl2anr 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 < 𝑥 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑥))
18	17	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥)))
20	19	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑁 → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → 𝑀 < 𝑥))))
21	20	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < 𝑥))))
22	21	imp42 428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 < 𝑥)
23	14, 22	gtned 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
24	23	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
25	12, 24	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀))
26	25	impcom 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ≠ 𝑀)
27		nelsn 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})
29	11, 28	jca 517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}))
30	29	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀})))
31	5, 30	impbid2 228	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
32	1, 31	bitrid 285	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
33	32	eqrdv 2739	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑀}) = ((𝑀 + 1)...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  {csn 4558   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fz0dif1  13555