Theorem fzm1ndvds 16131

Description: No number between 1 and 𝑀 − 1 divides 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ndvds	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fzm1ndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13362	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
3		elfzelz 13358	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		nnz 12444	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		zltlem1 12475	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
9	2, 8	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 < 𝑀)
10		elfznn 13387	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnred 12090	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		nnre 12082	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	12, 14	ltnled 11224	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
16	9, 15	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
17		dvdsle 16119	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
18	6, 11, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
19	16, 18	mtod 197	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5093  (class class class)co 7338  ℝcr 10972  1c1 10974   < clt 11111   ≤ cle 11112   − cmin 11307  ℕcn 12075  ℤcz 12421  ...cfz 13341   ∥ cdvds 16063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-dvds 16064

This theorem is referenced by:  prmdivdiv  16586  reumodprminv  16603  wilthlem1  26324  wilthlem2  26325  wilthlem3  26326  lgseisenlem1  26630  lgseisenlem2  26631  lgseisenlem3  26632  lgsquadlem3  26637  etransclem44  44207