MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1ndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzm1ndvds 16139
Description: No number between 1 and 𝑀 − 1 divides 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzm1ndvds ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)

Proof of Theorem fzm1ndvds
StepHypRef Expression
1 elfzle2 13374 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
21adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
3 elfzelz 13370 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 nnz 12456 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 zltlem1 12487 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
84, 6, 7syl2anc 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
92, 8mpbird 257 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 < 𝑀)
10 elfznn 13399 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110adantl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnred 12102 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 nnre 12094 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
1512, 14ltnled 11236 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
169, 15mpbid 231 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)
17 dvdsle 16127 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
186, 11, 17syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
1916, 18mtod 197 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cr 10984  1c1 10986   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319  cn 12087  cz 12433  ...cfz 13353  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  16594  reumodprminv  16611  wilthlem1  26339  wilthlem2  26340  wilthlem3  26341  lgseisenlem1  26645  lgseisenlem2  26646  lgseisenlem3  26647  lgsquadlem3  26652  etransclem44  44241
  Copyright terms: Public domain W3C validator