Theorem fzm1ndvds 16536

Description: No number from 1 to 𝑀 − 1 is a multiple of 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ndvds	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fzm1ndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
3		elfzelz 13696	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		nnz 12754	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		zltlem1 12789	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
9	2, 8	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 < 𝑀)
10		elfznn 13727	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnred 12390	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		nnre 12382	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	12, 14	ltnled 11496	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
16	9, 15	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
17		dvdsle 16524	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
18	6, 11, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
19	16, 18	mtod 201	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℤcz 12733  ...cfz 13679   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-dvds 16467

This theorem is used by:  prmdivdiv  17008  reumodprminv  17026  wilthlem1  27452  wilthlem2  27453  wilthlem3  27454  lgseisenlem1  27759  lgseisenlem2  27760  lgseisenlem3  27761  lgsquadlem3  27766  aks6d1c5lem1  43452  etransclem44  47561  difltmodne  48691  gpg3kgrtriexlem5  49458