Theorem lep1d 12197

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12106	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13779  modltm1p1mod  13961  facubnd  14336  swrds2  14976  lo1bddrp  15558  mulcn2  15629  harmonic  15892  expcnv  15897  prmfac1  16754  eulerthlem2  16816  telgsumfzs  20022  nlmvscnlem2  24722  nghmcn  24782  ipcnlem2  25292  ovolicc2lem3  25568  ovolicopnf  25573  dyadf  25640  dyadovol  25642  dyadmaxlem  25646  volsup2  25654  mbfi1fseqlem5  25769  itg2gt0  25810  itg2cnlem1  25811  dvfsumle  26075  dvfsumleOLD  26076  dvfsumabs  26078  dvfsumlem3  26084  leibpi  27000  efrlim  27027  efrlimOLD  27028  zetacvg  27073  lgamgulmlem3  27089  lgamgulmlem5  27091  basellem2  27140  basellem3  27141  basellem5  27143  basellem6  27144  ppip1le  27219  bcmono  27336  rplogsumlem2  27544  dchrisumlem1  27548  dchrisumlem2  27549  dchrisumlem3  27550  selberg2lem  27609  logdivbnd  27615  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem5  27640  pntlemk  27665  pntleml  27670  crctcshwlkn0lem3  29842  crctcshwlkn0lem5  29844  wwlksnred  29922  wwlksnextproplem1  29939  wwlksnextproplem2  29940  wwlksnextproplem3  29941  clwlkclwwlkf1lem2  30034  clwwlkf  30076  clwwlkf1  30078  wwlksubclwwlk  30087  eupth2lems  30267  numclwlk2lem2f  30406  pmtrto1cl  33102  psgnfzto1stlem  33103  fzto1st  33106  psgnfzto1st  33108  sxbrsigalem2  34268  dstfrvclim1  34459  fsum2dsub  34601  breprexplemc  34626  poimirlem7  37614  poimirlem15  37622  rrntotbnd  37823  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  aks4d1p1  42058  2np3bcnp1  42126  sticksstones6  42133  sticksstones7  42134  sticksstones10  42137  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  sticksstones22  42150  metakunt12  42198  jm2.17a  42949  hbt  43119  fmul01lt1lem1  45540  sumnnodd  45586  itgspltprt  45935  stoweidlem20  45976  stoweidlem26  45982  fzopredsuc  47273  smonoord  47296  lighneallem4a  47533