Theorem lep1d 12145

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13710  modltm1p1mod  13888  facubnd  14260  swrds2  14891  lo1bddrp  15469  mulcn2  15540  harmonic  15805  expcnv  15810  prmfac1  16658  eulerthlem2  16715  telgsumfzs  19857  nlmvscnlem2  24202  nghmcn  24262  ipcnlem2  24761  ovolicc2lem3  25036  ovolicopnf  25041  dyadf  25108  dyadovol  25110  dyadmaxlem  25114  volsup2  25122  mbfi1fseqlem5  25237  itg2gt0  25278  itg2cnlem1  25279  dvfsumle  25538  dvfsumabs  25540  dvfsumlem3  25545  leibpi  26447  efrlim  26474  zetacvg  26519  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  basellem2  26586  basellem3  26587  basellem5  26589  basellem6  26590  ppip1le  26665  bcmono  26780  rplogsumlem2  26988  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem5  27084  pntlemk  27109  pntleml  27114  crctcshwlkn0lem3  29066  crctcshwlkn0lem5  29068  wwlksnred  29146  wwlksnextproplem1  29163  wwlksnextproplem2  29164  wwlksnextproplem3  29165  clwlkclwwlkf1lem2  29258  clwwlkf  29300  clwwlkf1  29302  wwlksubclwwlk  29311  eupth2lems  29491  numclwlk2lem2f  29630  pmtrto1cl  32258  psgnfzto1stlem  32259  fzto1st  32262  psgnfzto1st  32264  sxbrsigalem2  33285  dstfrvclim1  33476  fsum2dsub  33619  breprexplemc  33644  gg-dvfsumle  35182  poimirlem7  36495  poimirlem15  36503  rrntotbnd  36704  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p1  40941  2np3bcnp1  40960  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt12  40996  jm2.17a  41699  hbt  41872  fmul01lt1lem1  44300  sumnnodd  44346  itgspltprt  44695  stoweidlem20  44736  stoweidlem26  44742  fzopredsuc  46031  smonoord  46039  lighneallem4a  46276