Theorem lep1d 12132

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  ℝcr 11096  1c1 11098   + caddc 11100   ≤ cle 11236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13697  modltm1p1mod  13875  facubnd  14247  swrds2  14878  lo1bddrp  15456  mulcn2  15527  harmonic  15792  expcnv  15797  prmfac1  16645  eulerthlem2  16702  telgsumfzs  19840  nlmvscnlem2  24171  nghmcn  24231  ipcnlem2  24730  ovolicc2lem3  25005  ovolicopnf  25010  dyadf  25077  dyadovol  25079  dyadmaxlem  25083  volsup2  25091  mbfi1fseqlem5  25206  itg2gt0  25247  itg2cnlem1  25248  dvfsumle  25507  dvfsumabs  25509  dvfsumlem3  25514  leibpi  26414  efrlim  26441  zetacvg  26486  lgamgulmlem3  26502  lgamgulmlem5  26504  basellem2  26553  basellem3  26554  basellem5  26556  basellem6  26557  ppip1le  26632  bcmono  26747  rplogsumlem2  26955  dchrisumlem1  26959  dchrisumlem2  26960  dchrisumlem3  26961  selberg2lem  27020  logdivbnd  27026  pntrlog2bndlem2  27048  pntrlog2bndlem5  27051  pntlemk  27076  pntleml  27081  crctcshwlkn0lem3  29033  crctcshwlkn0lem5  29035  wwlksnred  29113  wwlksnextproplem1  29130  wwlksnextproplem2  29131  wwlksnextproplem3  29132  clwlkclwwlkf1lem2  29225  clwwlkf  29267  clwwlkf1  29269  wwlksubclwwlk  29278  eupth2lems  29458  numclwlk2lem2f  29597  pmtrto1cl  32229  psgnfzto1stlem  32230  fzto1st  32233  psgnfzto1st  32235  sxbrsigalem2  33216  dstfrvclim1  33407  fsum2dsub  33550  breprexplemc  33575  poimirlem7  36400  poimirlem15  36408  rrntotbnd  36610  aks4d1p1p7  40845  aks4d1p1p5  40846  aks4d1p1  40847  2np3bcnp1  40866  sticksstones6  40873  sticksstones7  40874  sticksstones10  40877  sticksstones12a  40879  sticksstones12  40880  sticksstones22  40890  metakunt12  40902  jm2.17a  41570  hbt  41743  fmul01lt1lem1  44173  sumnnodd  44219  itgspltprt  44568  stoweidlem20  44609  stoweidlem26  44615  fzopredsuc  45904  smonoord  45912  lighneallem4a  46149