Theorem lep1d 12085

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13671  modltm1p1mod  13858  facubnd  14235  swrds2  14875  lo1bddrp  15460  mulcn2  15531  harmonic  15794  expcnv  15799  prmfac1  16659  eulerthlem2  16721  telgsumfzs  19930  nlmvscnlem2  24641  nghmcn  24701  ipcnlem2  25212  ovolicc2lem3  25488  ovolicopnf  25493  dyadf  25560  dyadovol  25562  dyadmaxlem  25566  volsup2  25574  mbfi1fseqlem5  25688  itg2gt0  25729  itg2cnlem1  25730  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumabs  25997  dvfsumlem3  26003  leibpi  26920  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  zetacvg  26993  lgamgulmlem3  27009  lgamgulmlem5  27011  basellem2  27060  basellem3  27061  basellem5  27063  basellem6  27064  ppip1le  27139  bcmono  27256  rplogsumlem2  27464  dchrisumlem1  27468  dchrisumlem2  27469  dchrisumlem3  27470  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem5  27560  pntlemk  27585  pntleml  27590  crctcshwlkn0lem3  29897  crctcshwlkn0lem5  29899  wwlksnred  29977  wwlksnextproplem1  29994  wwlksnextproplem2  29995  wwlksnextproplem3  29996  clwlkclwwlkf1lem2  30092  clwwlkf  30134  clwwlkf1  30136  wwlksubclwwlk  30145  eupth2lems  30325  numclwlk2lem2f  30464  pmtrto1cl  33193  psgnfzto1stlem  33194  fzto1st  33197  psgnfzto1st  33199  constrresqrtcl  33955  sxbrsigalem2  34464  dstfrvclim1  34656  fsum2dsub  34785  breprexplemc  34810  poimirlem7  37878  poimirlem15  37886  rrntotbnd  38087  aks4d1p1p7  42444  aks4d1p1p5  42445  aks4d1p1  42446  2np3bcnp1  42514  sticksstones6  42521  sticksstones7  42522  sticksstones10  42525  sticksstones12a  42527  sticksstones12  42528  sticksstones22  42538  jm2.17a  43317  hbt  43487  fmul01lt1lem1  45944  sumnnodd  45990  itgspltprt  46337  stoweidlem20  46378  stoweidlem26  46384  fzopredsuc  47683  smonoord  47731  lighneallem4a  47968