Theorem lep1d 12288

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  fzossfzop1  13918  modltm1p1mod  14106  facubnd  14485  swrds2  15134  lo1bddrp  15736  mulcn2  15807  harmonic  16072  expcnv  16077  prmfac1  16940  eulerthlem2  17003  telgsumfzs  20254  nlmvscnlem2  25059  nghmcn  25119  ipcnlem2  25620  ovolicc2lem3  25895  ovolicopnf  25900  dyadf  25967  dyadovol  25969  dyadmaxlem  25973  volsup2  25981  mbfi1fseqlem5  26095  itg2gt0  26136  itg2cnlem1  26137  dvfsumle  26396  dvfsumabs  26398  dvfsumlem3  26403  leibpi  27327  efrlim  27354  zetacvg  27399  lgamgulmlem3  27415  lgamgulmlem5  27417  basellem2  27466  basellem3  27467  basellem5  27469  basellem6  27470  ppip1le  27545  bcmono  27661  rplogsumlem2  27869  dchrisumlem1  27873  dchrisumlem2  27874  dchrisumlem3  27875  selberg2lem  27934  logdivbnd  27940  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem5  27965  pntlemk  27990  pntleml  27995  crctcshwlkn0lem3  30458  crctcshwlkn0lem5  30460  wwlksnred  30538  wwlksnextproplem1  30555  wwlksnextproplem2  30556  wwlksnextproplem3  30557  clwlkclwwlkf1lem2  30653  clwwlkf  30695  clwwlkf1  30697  wwlksubclwwlk  30706  eupth2lems  30896  numclwlk2lem2f  31035  pmtrto1cl  33759  psgnfzto1stlem  33760  fzto1st  33763  psgnfzto1st  33765  constrresqrtcl  34520  sxbrsigalem2  35029  dstfrvclim1  35221  fsum2dsub  35347  breprexplemc  35372  poimirlem7  38813  poimirlem15  38821  rrntotbnd  39036  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p1p5  43391  aks4d1p1  43392  2np3bcnp1  43460  sticksstones6  43467  sticksstones7  43468  sticksstones10  43471  sticksstones12a  43473  sticksstones12  43474  sticksstones22  43484  jm2.17a  44233  hbt  44397  fmul01lt1lem1  46869  sumnnodd  46915  itgspltprt  47262  stoweidlem20  47303  stoweidlem26  47309  fzopredsuc  48667  smonoord  48720  lighneallem4a  48966