Theorem lep1d 11425

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  1c1 10391   + caddc 10393   ≤ cle 10529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  12969  modltm1p1mod  13145  facubnd  13514  swrds2  14142  lo1bddrp  14720  mulcn2  14790  harmonic  15051  expcnv  15056  prmfac1  15896  eulerthlem2  15952  telgsumfzs  18830  nlmvscnlem2  22981  nghmcn  23041  ipcnlem2  23534  ovolicc2lem3  23807  ovolicopnf  23812  dyadf  23879  dyadovol  23881  dyadmaxlem  23885  volsup2  23893  mbfi1fseqlem5  24007  itg2gt0  24048  itg2cnlem1  24049  dvfsumle  24305  dvfsumabs  24307  dvfsumlem3  24312  leibpi  25206  efrlim  25233  zetacvg  25278  lgamgulmlem3  25294  lgamgulmlem5  25296  basellem2  25345  basellem3  25346  basellem5  25348  basellem6  25349  ppip1le  25424  bcmono  25539  rplogsumlem2  25747  dchrisumlem1  25751  dchrisumlem2  25752  dchrisumlem3  25753  selberg2lem  25812  logdivbnd  25818  pntrlog2bndlem2  25840  pntrlog2bndlem5  25843  pntlemk  25868  pntleml  25873  crctcshwlkn0lem3  27276  crctcshwlkn0lem5  27278  wwlksnred  27356  wwlksnextproplem1  27374  wwlksnextproplem2  27375  wwlksnextproplem3  27376  clwlkclwwlkf1lem2  27469  clwwlkf  27512  clwwlkf1  27514  wwlksubclwwlk  27523  eupth2lems  27703  numclwlk2lem2f  27844  pmtrto1cl  30659  psgnfzto1stlem  30660  fzto1st  30663  psgnfzto1st  30665  sxbrsigalem2  31157  dstfrvclim1  31348  fsum2dsub  31491  breprexplemc  31516  poimirlem7  34451  poimirlem15  34459  rrntotbnd  34667  jm2.17a  39063  hbt  39236  fmul01lt1lem1  41428  sumnnodd  41474  itgspltprt  41827  stoweidlem20  41869  stoweidlem26  41875  fzopredsuc  43061  smonoord  43069  lighneallem4a  43277