Theorem lep1d 12071

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13657  modltm1p1mod  13844  facubnd  14221  swrds2  14861  lo1bddrp  15446  mulcn2  15517  harmonic  15780  expcnv  15785  prmfac1  16645  eulerthlem2  16707  telgsumfzs  19916  nlmvscnlem2  24627  nghmcn  24687  ipcnlem2  25198  ovolicc2lem3  25474  ovolicopnf  25479  dyadf  25546  dyadovol  25548  dyadmaxlem  25552  volsup2  25560  mbfi1fseqlem5  25674  itg2gt0  25715  itg2cnlem1  25716  dvfsumle  25980  dvfsumleOLD  25981  dvfsumabs  25983  dvfsumlem3  25989  leibpi  26906  efrlim  26933  efrlimOLD  26934  zetacvg  26979  lgamgulmlem3  26995  lgamgulmlem5  26997  basellem2  27046  basellem3  27047  basellem5  27049  basellem6  27050  ppip1le  27125  bcmono  27242  rplogsumlem2  27450  dchrisumlem1  27454  dchrisumlem2  27455  dchrisumlem3  27456  selberg2lem  27515  logdivbnd  27521  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem5  27546  pntlemk  27571  pntleml  27576  crctcshwlkn0lem3  29834  crctcshwlkn0lem5  29836  wwlksnred  29914  wwlksnextproplem1  29931  wwlksnextproplem2  29932  wwlksnextproplem3  29933  clwlkclwwlkf1lem2  30029  clwwlkf  30071  clwwlkf1  30073  wwlksubclwwlk  30082  eupth2lems  30262  numclwlk2lem2f  30401  pmtrto1cl  33130  psgnfzto1stlem  33131  fzto1st  33134  psgnfzto1st  33136  constrresqrtcl  33883  sxbrsigalem2  34392  dstfrvclim1  34584  fsum2dsub  34713  breprexplemc  34738  poimirlem7  37767  poimirlem15  37775  rrntotbnd  37976  aks4d1p1p7  42267  aks4d1p1p5  42268  aks4d1p1  42269  2np3bcnp1  42337  sticksstones6  42344  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  sticksstones22  42361  jm2.17a  43144  hbt  43314  fmul01lt1lem1  45772  sumnnodd  45818  itgspltprt  46165  stoweidlem20  46206  stoweidlem26  46212  fzopredsuc  47511  smonoord  47559  lighneallem4a  47796