Theorem lep1d 12114

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13704  modltm1p1mod  13888  facubnd  14265  swrds2  14906  lo1bddrp  15491  mulcn2  15562  harmonic  15825  expcnv  15830  prmfac1  16690  eulerthlem2  16752  telgsumfzs  19919  nlmvscnlem2  24573  nghmcn  24633  ipcnlem2  25144  ovolicc2lem3  25420  ovolicopnf  25425  dyadf  25492  dyadovol  25494  dyadmaxlem  25498  volsup2  25506  mbfi1fseqlem5  25620  itg2gt0  25661  itg2cnlem1  25662  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumabs  25929  dvfsumlem3  25935  leibpi  26852  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  zetacvg  26925  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  basellem2  26992  basellem3  26993  basellem5  26995  basellem6  26996  ppip1le  27071  bcmono  27188  rplogsumlem2  27396  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrisumlem3  27402  selberg2lem  27461  logdivbnd  27467  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem5  27492  pntlemk  27517  pntleml  27522  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem5  29744  wwlksnred  29822  wwlksnextproplem1  29839  wwlksnextproplem2  29840  wwlksnextproplem3  29841  clwlkclwwlkf1lem2  29934  clwwlkf  29976  clwwlkf1  29978  wwlksubclwwlk  29987  eupth2lems  30167  numclwlk2lem2f  30306  pmtrto1cl  33056  psgnfzto1stlem  33057  fzto1st  33060  psgnfzto1st  33062  constrresqrtcl  33767  sxbrsigalem2  34277  dstfrvclim1  34469  fsum2dsub  34598  breprexplemc  34623  poimirlem7  37621  poimirlem15  37629  rrntotbnd  37830  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p1  42064  2np3bcnp1  42132  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  sticksstones22  42156  jm2.17a  42949  hbt  43119  fmul01lt1lem1  45582  sumnnodd  45628  itgspltprt  45977  stoweidlem20  46018  stoweidlem26  46024  fzopredsuc  47324  smonoord  47372  lighneallem4a  47609