Theorem lep1d 12171

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  1c1 11126   + caddc 11128   ≤ cle 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  fzossfzop1  13800  modltm1p1mod  13988  facubnd  14365  swrds2  15012  lo1bddrp  15613  mulcn2  15684  harmonic  15949  expcnv  15954  prmfac1  16812  eulerthlem2  16874  telgsumfzs  20117  nlmvscnlem2  24912  nghmcn  24972  ipcnlem2  25473  ovolicc2lem3  25748  ovolicopnf  25753  dyadf  25820  dyadovol  25822  dyadmaxlem  25826  volsup2  25834  mbfi1fseqlem5  25948  itg2gt0  25989  itg2cnlem1  25990  dvfsumle  26249  dvfsumabs  26251  dvfsumlem3  26256  leibpi  27180  efrlim  27207  zetacvg  27252  lgamgulmlem3  27268  lgamgulmlem5  27270  basellem2  27319  basellem3  27320  basellem5  27322  basellem6  27323  ppip1le  27398  bcmono  27514  rplogsumlem2  27722  dchrisumlem1  27726  dchrisumlem2  27727  dchrisumlem3  27728  selberg2lem  27787  logdivbnd  27793  pntrlog2bndlem2  27815  pntrlog2bndlem5  27818  pntlemk  27843  pntleml  27848  crctcshwlkn0lem3  30281  crctcshwlkn0lem5  30283  wwlksnred  30361  wwlksnextproplem1  30378  wwlksnextproplem2  30379  wwlksnextproplem3  30380  clwlkclwwlkf1lem2  30476  clwwlkf  30518  clwwlkf1  30520  wwlksubclwwlk  30529  eupth2lems  30719  numclwlk2lem2f  30858  pmtrto1cl  33540  psgnfzto1stlem  33541  fzto1st  33544  psgnfzto1st  33546  constrresqrtcl  34288  sxbrsigalem2  34798  dstfrvclim1  34990  fsum2dsub  35116  breprexplemc  35141  poimirlem7  38377  poimirlem15  38385  rrntotbnd  38587  aks4d1p1p7  42941  aks4d1p1p5  42942  aks4d1p1  42943  2np3bcnp1  43011  sticksstones6  43018  sticksstones7  43019  sticksstones10  43022  sticksstones12a  43024  sticksstones12  43025  sticksstones22  43035  jm2.17a  43802  hbt  43972  fmul01lt1lem1  46415  sumnnodd  46461  itgspltprt  46808  stoweidlem20  46849  stoweidlem26  46855  fzopredsuc  48213  smonoord  48266  lighneallem4a  48512