Theorem lep1d 12226

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13794  modltm1p1mod  13974  facubnd  14349  swrds2  14989  lo1bddrp  15571  mulcn2  15642  harmonic  15907  expcnv  15912  prmfac1  16767  eulerthlem2  16829  telgsumfzs  20031  nlmvscnlem2  24727  nghmcn  24787  ipcnlem2  25297  ovolicc2lem3  25573  ovolicopnf  25578  dyadf  25645  dyadovol  25647  dyadmaxlem  25651  volsup2  25659  mbfi1fseqlem5  25774  itg2gt0  25815  itg2cnlem1  25816  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumabs  26083  dvfsumlem3  26089  leibpi  27003  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  zetacvg  27076  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem5  27146  basellem6  27147  ppip1le  27222  bcmono  27339  rplogsumlem2  27547  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem5  27643  pntlemk  27668  pntleml  27673  crctcshwlkn0lem3  29845  crctcshwlkn0lem5  29847  wwlksnred  29925  wwlksnextproplem1  29942  wwlksnextproplem2  29943  wwlksnextproplem3  29944  clwlkclwwlkf1lem2  30037  clwwlkf  30079  clwwlkf1  30081  wwlksubclwwlk  30090  eupth2lems  30270  numclwlk2lem2f  30409  pmtrto1cl  33092  psgnfzto1stlem  33093  fzto1st  33096  psgnfzto1st  33098  sxbrsigalem2  34251  dstfrvclim1  34442  fsum2dsub  34584  breprexplemc  34609  poimirlem7  37587  poimirlem15  37595  rrntotbnd  37796  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  2np3bcnp1  42101  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  sticksstones22  42125  metakunt12  42173  jm2.17a  42917  hbt  43087  fmul01lt1lem1  45505  sumnnodd  45551  itgspltprt  45900  stoweidlem20  45941  stoweidlem26  45947  fzopredsuc  47238  smonoord  47245  lighneallem4a  47482