Theorem lep1d 12248

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  fzossfzop1  13878  modltm1p1mod  14066  facubnd  14444  swrds2  15091  lo1bddrp  15692  mulcn2  15763  harmonic  16028  expcnv  16033  prmfac1  16896  eulerthlem2  16959  telgsumfzs  20203  nlmvscnlem2  25004  nghmcn  25064  ipcnlem2  25565  ovolicc2lem3  25840  ovolicopnf  25845  dyadf  25912  dyadovol  25914  dyadmaxlem  25918  volsup2  25926  mbfi1fseqlem5  26040  itg2gt0  26081  itg2cnlem1  26082  dvfsumle  26341  dvfsumabs  26343  dvfsumlem3  26348  leibpi  27270  efrlim  27297  zetacvg  27342  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem5  27360  basellem2  27409  basellem3  27410  basellem5  27412  basellem6  27413  ppip1le  27488  bcmono  27604  rplogsumlem2  27812  dchrisumlem1  27816  dchrisumlem2  27817  dchrisumlem3  27818  selberg2lem  27877  logdivbnd  27883  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem5  27908  pntlemk  27933  pntleml  27938  crctcshwlkn0lem3  30401  crctcshwlkn0lem5  30403  wwlksnred  30481  wwlksnextproplem1  30498  wwlksnextproplem2  30499  wwlksnextproplem3  30500  clwlkclwwlkf1lem2  30596  clwwlkf  30638  clwwlkf1  30640  wwlksubclwwlk  30649  eupth2lems  30839  numclwlk2lem2f  30978  pmtrto1cl  33660  psgnfzto1stlem  33661  fzto1st  33664  psgnfzto1st  33666  constrresqrtcl  34409  sxbrsigalem2  34918  dstfrvclim1  35110  fsum2dsub  35236  breprexplemc  35261  poimirlem7  38545  poimirlem15  38553  rrntotbnd  38770  aks4d1p1p7  43124  aks4d1p1p5  43125  aks4d1p1  43126  2np3bcnp1  43194  sticksstones6  43201  sticksstones7  43202  sticksstones10  43205  sticksstones12a  43207  sticksstones12  43208  sticksstones22  43218  jm2.17a  43966  hbt  44131  fmul01lt1lem1  46595  sumnnodd  46641  itgspltprt  46988  stoweidlem20  47029  stoweidlem26  47035  fzopredsuc  48393  smonoord  48446  lighneallem4a  48692