Theorem lep1d 12121

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13711  modltm1p1mod  13895  facubnd  14272  swrds2  14913  lo1bddrp  15498  mulcn2  15569  harmonic  15832  expcnv  15837  prmfac1  16697  eulerthlem2  16759  telgsumfzs  19926  nlmvscnlem2  24580  nghmcn  24640  ipcnlem2  25151  ovolicc2lem3  25427  ovolicopnf  25432  dyadf  25499  dyadovol  25501  dyadmaxlem  25505  volsup2  25513  mbfi1fseqlem5  25627  itg2gt0  25668  itg2cnlem1  25669  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumabs  25936  dvfsumlem3  25942  leibpi  26859  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  zetacvg  26932  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem5  26950  basellem2  26999  basellem3  27000  basellem5  27002  basellem6  27003  ppip1le  27078  bcmono  27195  rplogsumlem2  27403  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  selberg2lem  27468  logdivbnd  27474  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem5  27499  pntlemk  27524  pntleml  27529  crctcshwlkn0lem3  29749  crctcshwlkn0lem5  29751  wwlksnred  29829  wwlksnextproplem1  29846  wwlksnextproplem2  29847  wwlksnextproplem3  29848  clwlkclwwlkf1lem2  29941  clwwlkf  29983  clwwlkf1  29985  wwlksubclwwlk  29994  eupth2lems  30174  numclwlk2lem2f  30313  pmtrto1cl  33063  psgnfzto1stlem  33064  fzto1st  33067  psgnfzto1st  33069  constrresqrtcl  33774  sxbrsigalem2  34284  dstfrvclim1  34476  fsum2dsub  34605  breprexplemc  34630  poimirlem7  37628  poimirlem15  37636  rrntotbnd  37837  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p1  42071  2np3bcnp1  42139  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  sticksstones22  42163  jm2.17a  42956  hbt  43126  fmul01lt1lem1  45589  sumnnodd  45635  itgspltprt  45984  stoweidlem20  46025  stoweidlem26  46031  fzopredsuc  47328  smonoord  47376  lighneallem4a  47613