Theorem lep1d 12146

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13772  modltm1p1mod  13959  facubnd  14336  swrds2  14977  lo1bddrp  15576  mulcn2  15647  harmonic  15913  expcnv  15918  prmfac1  16779  eulerthlem2  16841  telgsumfzs  20059  nlmvscnlem2  24811  nghmcn  24871  ipcnlem2  25372  ovolicc2lem3  25647  ovolicopnf  25652  dyadf  25719  dyadovol  25721  dyadmaxlem  25725  volsup2  25733  mbfi1fseqlem5  25847  itg2gt0  25888  itg2cnlem1  25889  dvfsumle  26149  dvfsumabs  26151  dvfsumlem3  26156  leibpi  27073  efrlim  27100  zetacvg  27145  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem5  27163  basellem2  27212  basellem3  27213  basellem5  27215  basellem6  27216  ppip1le  27291  bcmono  27407  rplogsumlem2  27615  dchrisumlem1  27619  dchrisumlem2  27620  dchrisumlem3  27621  selberg2lem  27680  logdivbnd  27686  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem5  27711  pntlemk  27736  pntleml  27741  crctcshwlkn0lem3  30102  crctcshwlkn0lem5  30104  wwlksnred  30182  wwlksnextproplem1  30199  wwlksnextproplem2  30200  wwlksnextproplem3  30201  clwlkclwwlkf1lem2  30297  clwwlkf  30339  clwwlkf1  30341  wwlksubclwwlk  30350  eupth2lems  30530  numclwlk2lem2f  30669  pmtrto1cl  33360  psgnfzto1stlem  33361  fzto1st  33364  psgnfzto1st  33366  constrresqrtcl  34112  sxbrsigalem2  34621  dstfrvclim1  34813  fsum2dsub  34939  breprexplemc  34964  poimirlem7  38166  poimirlem15  38174  rrntotbnd  38375  aks4d1p1p7  42731  aks4d1p1p5  42732  aks4d1p1  42733  2np3bcnp1  42801  sticksstones6  42808  sticksstones7  42809  sticksstones10  42812  sticksstones12a  42814  sticksstones12  42815  sticksstones22  42825  jm2.17a  43579  hbt  43749  fmul01lt1lem1  46192  sumnnodd  46238  itgspltprt  46585  stoweidlem20  46626  stoweidlem26  46632  fzopredsuc  47950  smonoord  48003  lighneallem4a  48249