Theorem lep1d 12045

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  1c1 10999   + caddc 11001   ≤ cle 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13635  modltm1p1mod  13822  facubnd  14199  swrds2  14839  lo1bddrp  15424  mulcn2  15495  harmonic  15758  expcnv  15763  prmfac1  16623  eulerthlem2  16685  telgsumfzs  19894  nlmvscnlem2  24593  nghmcn  24653  ipcnlem2  25164  ovolicc2lem3  25440  ovolicopnf  25445  dyadf  25512  dyadovol  25514  dyadmaxlem  25518  volsup2  25526  mbfi1fseqlem5  25640  itg2gt0  25681  itg2cnlem1  25682  dvfsumle  25946  dvfsumleOLD  25947  dvfsumabs  25949  dvfsumlem3  25955  leibpi  26872  efrlim  26899  efrlimOLD  26900  zetacvg  26945  lgamgulmlem3  26961  lgamgulmlem5  26963  basellem2  27012  basellem3  27013  basellem5  27015  basellem6  27016  ppip1le  27091  bcmono  27208  rplogsumlem2  27416  dchrisumlem1  27420  dchrisumlem2  27421  dchrisumlem3  27422  selberg2lem  27481  logdivbnd  27487  pntrlog2bndlem2  27509  pntrlog2bndlem5  27512  pntlemk  27537  pntleml  27542  crctcshwlkn0lem3  29783  crctcshwlkn0lem5  29785  wwlksnred  29863  wwlksnextproplem1  29880  wwlksnextproplem2  29881  wwlksnextproplem3  29882  clwlkclwwlkf1lem2  29975  clwwlkf  30017  clwwlkf1  30019  wwlksubclwwlk  30028  eupth2lems  30208  numclwlk2lem2f  30347  pmtrto1cl  33058  psgnfzto1stlem  33059  fzto1st  33062  psgnfzto1st  33064  constrresqrtcl  33780  sxbrsigalem2  34289  dstfrvclim1  34481  fsum2dsub  34610  breprexplemc  34635  poimirlem7  37646  poimirlem15  37654  rrntotbnd  37855  aks4d1p1p7  42086  aks4d1p1p5  42087  aks4d1p1  42088  2np3bcnp1  42156  sticksstones6  42163  sticksstones7  42164  sticksstones10  42167  sticksstones12a  42169  sticksstones12  42170  sticksstones22  42180  jm2.17a  42972  hbt  43142  fmul01lt1lem1  45603  sumnnodd  45649  itgspltprt  45996  stoweidlem20  46037  stoweidlem26  46043  fzopredsuc  47333  smonoord  47381  lighneallem4a  47618