Theorem lep1d 12090

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13680  modltm1p1mod  13864  facubnd  14241  swrds2  14882  lo1bddrp  15467  mulcn2  15538  harmonic  15801  expcnv  15806  prmfac1  16666  eulerthlem2  16728  telgsumfzs  19895  nlmvscnlem2  24549  nghmcn  24609  ipcnlem2  25120  ovolicc2lem3  25396  ovolicopnf  25401  dyadf  25468  dyadovol  25470  dyadmaxlem  25474  volsup2  25482  mbfi1fseqlem5  25596  itg2gt0  25637  itg2cnlem1  25638  dvfsumle  25902  dvfsumleOLD  25903  dvfsumabs  25905  dvfsumlem3  25911  leibpi  26828  efrlim  26855  efrlimOLD  26856  zetacvg  26901  lgamgulmlem3  26917  lgamgulmlem5  26919  basellem2  26968  basellem3  26969  basellem5  26971  basellem6  26972  ppip1le  27047  bcmono  27164  rplogsumlem2  27372  dchrisumlem1  27376  dchrisumlem2  27377  dchrisumlem3  27378  selberg2lem  27437  logdivbnd  27443  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem5  27468  pntlemk  27493  pntleml  27498  crctcshwlkn0lem3  29715  crctcshwlkn0lem5  29717  wwlksnred  29795  wwlksnextproplem1  29812  wwlksnextproplem2  29813  wwlksnextproplem3  29814  clwlkclwwlkf1lem2  29907  clwwlkf  29949  clwwlkf1  29951  wwlksubclwwlk  29960  eupth2lems  30140  numclwlk2lem2f  30279  pmtrto1cl  33029  psgnfzto1stlem  33030  fzto1st  33033  psgnfzto1st  33035  constrresqrtcl  33740  sxbrsigalem2  34250  dstfrvclim1  34442  fsum2dsub  34571  breprexplemc  34596  poimirlem7  37594  poimirlem15  37602  rrntotbnd  37803  aks4d1p1p7  42035  aks4d1p1p5  42036  aks4d1p1  42037  2np3bcnp1  42105  sticksstones6  42112  sticksstones7  42113  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  sticksstones12  42119  sticksstones22  42129  jm2.17a  42922  hbt  43092  fmul01lt1lem1  45555  sumnnodd  45601  itgspltprt  45950  stoweidlem20  45991  stoweidlem26  45997  fzopredsuc  47297  smonoord  47345  lighneallem4a  47582