Theorem lep1d 12141

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13706  modltm1p1mod  13884  facubnd  14256  swrds2  14887  lo1bddrp  15465  mulcn2  15536  harmonic  15801  expcnv  15806  prmfac1  16654  eulerthlem2  16711  telgsumfzs  19851  nlmvscnlem2  24193  nghmcn  24253  ipcnlem2  24752  ovolicc2lem3  25027  ovolicopnf  25032  dyadf  25099  dyadovol  25101  dyadmaxlem  25105  volsup2  25113  mbfi1fseqlem5  25228  itg2gt0  25269  itg2cnlem1  25270  dvfsumle  25529  dvfsumabs  25531  dvfsumlem3  25536  leibpi  26436  efrlim  26463  zetacvg  26508  lgamgulmlem3  26524  lgamgulmlem5  26526  basellem2  26575  basellem3  26576  basellem5  26578  basellem6  26579  ppip1le  26654  bcmono  26769  rplogsumlem2  26977  dchrisumlem1  26981  dchrisumlem2  26982  dchrisumlem3  26983  selberg2lem  27042  logdivbnd  27048  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem5  27073  pntlemk  27098  pntleml  27103  crctcshwlkn0lem3  29055  crctcshwlkn0lem5  29057  wwlksnred  29135  wwlksnextproplem1  29152  wwlksnextproplem2  29153  wwlksnextproplem3  29154  clwlkclwwlkf1lem2  29247  clwwlkf  29289  clwwlkf1  29291  wwlksubclwwlk  29300  eupth2lems  29480  numclwlk2lem2f  29619  pmtrto1cl  32245  psgnfzto1stlem  32246  fzto1st  32249  psgnfzto1st  32251  sxbrsigalem2  33273  dstfrvclim1  33464  fsum2dsub  33607  breprexplemc  33632  gg-dvfsumle  35170  poimirlem7  36483  poimirlem15  36491  rrntotbnd  36692  aks4d1p1p7  40927  aks4d1p1p5  40928  aks4d1p1  40929  2np3bcnp1  40948  sticksstones6  40955  sticksstones7  40956  sticksstones10  40959  sticksstones12a  40961  sticksstones12  40962  sticksstones22  40972  metakunt12  40984  jm2.17a  41684  hbt  41857  fmul01lt1lem1  44286  sumnnodd  44332  itgspltprt  44681  stoweidlem20  44722  stoweidlem26  44728  fzopredsuc  46017  smonoord  46025  lighneallem4a  46262