Theorem lep1d 11906

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13465  modltm1p1mod  13643  facubnd  14014  swrds2  14653  lo1bddrp  15234  mulcn2  15305  harmonic  15571  expcnv  15576  prmfac1  16426  eulerthlem2  16483  telgsumfzs  19590  nlmvscnlem2  23849  nghmcn  23909  ipcnlem2  24408  ovolicc2lem3  24683  ovolicopnf  24688  dyadf  24755  dyadovol  24757  dyadmaxlem  24761  volsup2  24769  mbfi1fseqlem5  24884  itg2gt0  24925  itg2cnlem1  24926  dvfsumle  25185  dvfsumabs  25187  dvfsumlem3  25192  leibpi  26092  efrlim  26119  zetacvg  26164  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem5  26182  basellem2  26231  basellem3  26232  basellem5  26234  basellem6  26235  ppip1le  26310  bcmono  26425  rplogsumlem2  26633  dchrisumlem1  26637  dchrisumlem2  26638  dchrisumlem3  26639  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem5  26729  pntlemk  26754  pntleml  26759  crctcshwlkn0lem3  28177  crctcshwlkn0lem5  28179  wwlksnred  28257  wwlksnextproplem1  28274  wwlksnextproplem2  28275  wwlksnextproplem3  28276  clwlkclwwlkf1lem2  28369  clwwlkf  28411  clwwlkf1  28413  wwlksubclwwlk  28422  eupth2lems  28602  numclwlk2lem2f  28741  pmtrto1cl  31366  psgnfzto1stlem  31367  fzto1st  31370  psgnfzto1st  31372  sxbrsigalem2  32253  dstfrvclim1  32444  fsum2dsub  32587  breprexplemc  32612  poimirlem7  35784  poimirlem15  35792  rrntotbnd  35994  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1p5  40083  aks4d1p1  40084  2np3bcnp1  40100  sticksstones6  40107  sticksstones7  40108  sticksstones10  40111  sticksstones12a  40113  sticksstones12  40114  sticksstones22  40124  metakunt12  40136  jm2.17a  40782  hbt  40955  fmul01lt1lem1  43125  sumnnodd  43171  itgspltprt  43520  stoweidlem20  43561  stoweidlem26  43567  fzopredsuc  44815  smonoord  44823  lighneallem4a  45060