Theorem lep1d 12053

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11962	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13643  modltm1p1mod  13830  facubnd  14207  swrds2  14847  lo1bddrp  15432  mulcn2  15503  harmonic  15766  expcnv  15771  prmfac1  16631  eulerthlem2  16693  telgsumfzs  19901  nlmvscnlem2  24600  nghmcn  24660  ipcnlem2  25171  ovolicc2lem3  25447  ovolicopnf  25452  dyadf  25519  dyadovol  25521  dyadmaxlem  25525  volsup2  25533  mbfi1fseqlem5  25647  itg2gt0  25688  itg2cnlem1  25689  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumabs  25956  dvfsumlem3  25962  leibpi  26879  efrlim  26906  efrlimOLD  26907  zetacvg  26952  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem5  26970  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem5  27022  basellem6  27023  ppip1le  27098  bcmono  27215  rplogsumlem2  27423  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrisumlem3  27429  selberg2lem  27488  logdivbnd  27494  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem5  27519  pntlemk  27544  pntleml  27549  crctcshwlkn0lem3  29790  crctcshwlkn0lem5  29792  wwlksnred  29870  wwlksnextproplem1  29887  wwlksnextproplem2  29888  wwlksnextproplem3  29889  clwlkclwwlkf1lem2  29985  clwwlkf  30027  clwwlkf1  30029  wwlksubclwwlk  30038  eupth2lems  30218  numclwlk2lem2f  30357  pmtrto1cl  33068  psgnfzto1stlem  33069  fzto1st  33072  psgnfzto1st  33074  constrresqrtcl  33790  sxbrsigalem2  34299  dstfrvclim1  34491  fsum2dsub  34620  breprexplemc  34645  poimirlem7  37677  poimirlem15  37685  rrntotbnd  37886  aks4d1p1p7  42177  aks4d1p1p5  42178  aks4d1p1  42179  2np3bcnp1  42247  sticksstones6  42254  sticksstones7  42255  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  sticksstones22  42271  jm2.17a  43063  hbt  43233  fmul01lt1lem1  45694  sumnnodd  45740  itgspltprt  46087  stoweidlem20  46128  stoweidlem26  46134  fzopredsuc  47433  smonoord  47481  lighneallem4a  47718