Theorem lep1d 12134

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13760  modltm1p1mod  13947  facubnd  14324  swrds2  14965  lo1bddrp  15564  mulcn2  15635  harmonic  15901  expcnv  15906  prmfac1  16767  eulerthlem2  16829  telgsumfzs  20047  nlmvscnlem2  24799  nghmcn  24859  ipcnlem2  25360  ovolicc2lem3  25635  ovolicopnf  25640  dyadf  25707  dyadovol  25709  dyadmaxlem  25713  volsup2  25721  mbfi1fseqlem5  25835  itg2gt0  25876  itg2cnlem1  25877  dvfsumle  26137  dvfsumabs  26139  dvfsumlem3  26144  leibpi  27061  efrlim  27088  zetacvg  27133  lgamgulmlem3  27149  lgamgulmlem5  27151  basellem2  27200  basellem3  27201  basellem5  27203  basellem6  27204  ppip1le  27279  bcmono  27395  rplogsumlem2  27603  dchrisumlem1  27607  dchrisumlem2  27608  dchrisumlem3  27609  selberg2lem  27668  logdivbnd  27674  pntrlog2bndlem2  27696  pntrlog2bndlem5  27699  pntlemk  27724  pntleml  27729  crctcshwlkn0lem3  30066  crctcshwlkn0lem5  30068  wwlksnred  30146  wwlksnextproplem1  30163  wwlksnextproplem2  30164  wwlksnextproplem3  30165  clwlkclwwlkf1lem2  30261  clwwlkf  30303  clwwlkf1  30305  wwlksubclwwlk  30314  eupth2lems  30494  numclwlk2lem2f  30633  pmtrto1cl  33327  psgnfzto1stlem  33328  fzto1st  33331  psgnfzto1st  33333  constrresqrtcl  34079  sxbrsigalem2  34588  dstfrvclim1  34780  fsum2dsub  34906  breprexplemc  34931  poimirlem7  38133  poimirlem15  38141  rrntotbnd  38342  aks4d1p1p7  42698  aks4d1p1p5  42699  aks4d1p1  42700  2np3bcnp1  42768  sticksstones6  42775  sticksstones7  42776  sticksstones10  42779  sticksstones12a  42781  sticksstones12  42782  sticksstones22  42792  jm2.17a  43544  hbt  43714  fmul01lt1lem1  46159  sumnnodd  46205  itgspltprt  46552  stoweidlem20  46593  stoweidlem26  46599  fzopredsuc  47917  smonoord  47970  lighneallem4a  48216