Theorem lep1d 12090

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13680  modltm1p1mod  13864  facubnd  14241  swrds2  14882  lo1bddrp  15467  mulcn2  15538  harmonic  15801  expcnv  15806  prmfac1  16666  eulerthlem2  16728  telgsumfzs  19903  nlmvscnlem2  24606  nghmcn  24666  ipcnlem2  25177  ovolicc2lem3  25453  ovolicopnf  25458  dyadf  25525  dyadovol  25527  dyadmaxlem  25531  volsup2  25539  mbfi1fseqlem5  25653  itg2gt0  25694  itg2cnlem1  25695  dvfsumle  25959  dvfsumleOLD  25960  dvfsumabs  25962  dvfsumlem3  25968  leibpi  26885  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  zetacvg  26958  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem5  26976  basellem2  27025  basellem3  27026  basellem5  27028  basellem6  27029  ppip1le  27104  bcmono  27221  rplogsumlem2  27429  dchrisumlem1  27433  dchrisumlem2  27434  dchrisumlem3  27435  selberg2lem  27494  logdivbnd  27500  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem5  27525  pntlemk  27550  pntleml  27555  crctcshwlkn0lem3  29792  crctcshwlkn0lem5  29794  wwlksnred  29872  wwlksnextproplem1  29889  wwlksnextproplem2  29890  wwlksnextproplem3  29891  clwlkclwwlkf1lem2  29984  clwwlkf  30026  clwwlkf1  30028  wwlksubclwwlk  30037  eupth2lems  30217  numclwlk2lem2f  30356  pmtrto1cl  33071  psgnfzto1stlem  33072  fzto1st  33075  psgnfzto1st  33077  constrresqrtcl  33760  sxbrsigalem2  34270  dstfrvclim1  34462  fsum2dsub  34591  breprexplemc  34616  poimirlem7  37614  poimirlem15  37622  rrntotbnd  37823  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p1  42057  2np3bcnp1  42125  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones22  42149  jm2.17a  42942  hbt  43112  fmul01lt1lem1  45575  sumnnodd  45621  itgspltprt  45970  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  fzopredsuc  47317  smonoord  47365  lighneallem4a  47602