Theorem lep1d 12081

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13692  modltm1p1mod  13879  facubnd  14256  swrds2  14896  lo1bddrp  15481  mulcn2  15552  harmonic  15818  expcnv  15823  prmfac1  16684  eulerthlem2  16746  telgsumfzs  19958  nlmvscnlem2  24663  nghmcn  24723  ipcnlem2  25224  ovolicc2lem3  25499  ovolicopnf  25504  dyadf  25571  dyadovol  25573  dyadmaxlem  25577  volsup2  25585  mbfi1fseqlem5  25699  itg2gt0  25740  itg2cnlem1  25741  dvfsumle  26001  dvfsumabs  26003  dvfsumlem3  26008  leibpi  26922  efrlim  26949  efrlimOLD  26950  zetacvg  26995  lgamgulmlem3  27011  lgamgulmlem5  27013  basellem2  27062  basellem3  27063  basellem5  27065  basellem6  27066  ppip1le  27141  bcmono  27257  rplogsumlem2  27465  dchrisumlem1  27469  dchrisumlem2  27470  dchrisumlem3  27471  selberg2lem  27530  logdivbnd  27536  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem5  27561  pntlemk  27586  pntleml  27591  crctcshwlkn0lem3  29898  crctcshwlkn0lem5  29900  wwlksnred  29978  wwlksnextproplem1  29995  wwlksnextproplem2  29996  wwlksnextproplem3  29997  clwlkclwwlkf1lem2  30093  clwwlkf  30135  clwwlkf1  30137  wwlksubclwwlk  30146  eupth2lems  30326  numclwlk2lem2f  30465  pmtrto1cl  33178  psgnfzto1stlem  33179  fzto1st  33182  psgnfzto1st  33184  constrresqrtcl  33940  sxbrsigalem2  34449  dstfrvclim1  34641  fsum2dsub  34770  breprexplemc  34795  poimirlem7  37965  poimirlem15  37973  rrntotbnd  38174  aks4d1p1p7  42530  aks4d1p1p5  42531  aks4d1p1  42532  2np3bcnp1  42600  sticksstones6  42607  sticksstones7  42608  sticksstones10  42611  sticksstones12a  42613  sticksstones12  42614  sticksstones22  42624  jm2.17a  43409  hbt  43579  fmul01lt1lem1  46035  sumnnodd  46081  itgspltprt  46428  stoweidlem20  46469  stoweidlem26  46475  fzopredsuc  47787  smonoord  47840  lighneallem4a  48086