Theorem lep1d 12087

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11996	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13698  modltm1p1mod  13885  facubnd  14262  swrds2  14902  lo1bddrp  15487  mulcn2  15558  harmonic  15824  expcnv  15829  prmfac1  16690  eulerthlem2  16752  telgsumfzs  19964  nlmvscnlem2  24650  nghmcn  24710  ipcnlem2  25211  ovolicc2lem3  25486  ovolicopnf  25491  dyadf  25558  dyadovol  25560  dyadmaxlem  25564  volsup2  25572  mbfi1fseqlem5  25686  itg2gt0  25727  itg2cnlem1  25728  dvfsumle  25988  dvfsumabs  25990  dvfsumlem3  25995  leibpi  26906  efrlim  26933  zetacvg  26978  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  basellem2  27045  basellem3  27046  basellem5  27048  basellem6  27049  ppip1le  27124  bcmono  27240  rplogsumlem2  27448  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem5  27544  pntlemk  27569  pntleml  27574  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem5  29882  wwlksnred  29960  wwlksnextproplem1  29977  wwlksnextproplem2  29978  wwlksnextproplem3  29979  clwlkclwwlkf1lem2  30075  clwwlkf  30117  clwwlkf1  30119  wwlksubclwwlk  30128  eupth2lems  30308  numclwlk2lem2f  30447  pmtrto1cl  33160  psgnfzto1stlem  33161  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166  constrresqrtcl  33921  sxbrsigalem2  34430  dstfrvclim1  34622  fsum2dsub  34751  breprexplemc  34776  poimirlem7  37948  poimirlem15  37956  rrntotbnd  38157  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  2np3bcnp1  42583  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones22  42607  jm2.17a  43388  hbt  43558  fmul01lt1lem1  46014  sumnnodd  46060  itgspltprt  46407  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  fzopredsuc  47772  smonoord  47825  lighneallem4a  48071