Theorem lep1d 12056

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13646  modltm1p1mod  13830  facubnd  14207  swrds2  14847  lo1bddrp  15432  mulcn2  15503  harmonic  15766  expcnv  15771  prmfac1  16631  eulerthlem2  16693  telgsumfzs  19868  nlmvscnlem2  24571  nghmcn  24631  ipcnlem2  25142  ovolicc2lem3  25418  ovolicopnf  25423  dyadf  25490  dyadovol  25492  dyadmaxlem  25496  volsup2  25504  mbfi1fseqlem5  25618  itg2gt0  25659  itg2cnlem1  25660  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumabs  25927  dvfsumlem3  25933  leibpi  26850  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  zetacvg  26923  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem5  26941  basellem2  26990  basellem3  26991  basellem5  26993  basellem6  26994  ppip1le  27069  bcmono  27186  rplogsumlem2  27394  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrisumlem3  27400  selberg2lem  27459  logdivbnd  27465  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem5  27490  pntlemk  27515  pntleml  27520  crctcshwlkn0lem3  29757  crctcshwlkn0lem5  29759  wwlksnred  29837  wwlksnextproplem1  29854  wwlksnextproplem2  29855  wwlksnextproplem3  29856  clwlkclwwlkf1lem2  29949  clwwlkf  29991  clwwlkf1  29993  wwlksubclwwlk  30002  eupth2lems  30182  numclwlk2lem2f  30321  pmtrto1cl  33041  psgnfzto1stlem  33042  fzto1st  33045  psgnfzto1st  33047  constrresqrtcl  33744  sxbrsigalem2  34254  dstfrvclim1  34446  fsum2dsub  34575  breprexplemc  34600  poimirlem7  37611  poimirlem15  37619  rrntotbnd  37820  aks4d1p1p7  42051  aks4d1p1p5  42052  aks4d1p1  42053  2np3bcnp1  42121  sticksstones6  42128  sticksstones7  42129  sticksstones10  42132  sticksstones12a  42134  sticksstones12  42135  sticksstones22  42145  jm2.17a  42937  hbt  43107  fmul01lt1lem1  45569  sumnnodd  45615  itgspltprt  45964  stoweidlem20  46005  stoweidlem26  46011  fzopredsuc  47311  smonoord  47359  lighneallem4a  47596