Theorem lep1d 12199

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 12108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13782  modltm1p1mod  13964  facubnd  14339  swrds2  14979  lo1bddrp  15561  mulcn2  15632  harmonic  15895  expcnv  15900  prmfac1  16757  eulerthlem2  16819  telgsumfzs  20007  nlmvscnlem2  24706  nghmcn  24766  ipcnlem2  25278  ovolicc2lem3  25554  ovolicopnf  25559  dyadf  25626  dyadovol  25628  dyadmaxlem  25632  volsup2  25640  mbfi1fseqlem5  25754  itg2gt0  25795  itg2cnlem1  25796  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumabs  26063  dvfsumlem3  26069  leibpi  26985  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  zetacvg  27058  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem5  27076  basellem2  27125  basellem3  27126  basellem5  27128  basellem6  27129  ppip1le  27204  bcmono  27321  rplogsumlem2  27529  dchrisumlem1  27533  dchrisumlem2  27534  dchrisumlem3  27535  selberg2lem  27594  logdivbnd  27600  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem5  27625  pntlemk  27650  pntleml  27655  crctcshwlkn0lem3  29832  crctcshwlkn0lem5  29834  wwlksnred  29912  wwlksnextproplem1  29929  wwlksnextproplem2  29930  wwlksnextproplem3  29931  clwlkclwwlkf1lem2  30024  clwwlkf  30066  clwwlkf1  30068  wwlksubclwwlk  30077  eupth2lems  30257  numclwlk2lem2f  30396  pmtrto1cl  33119  psgnfzto1stlem  33120  fzto1st  33123  psgnfzto1st  33125  sxbrsigalem2  34288  dstfrvclim1  34480  fsum2dsub  34622  breprexplemc  34647  poimirlem7  37634  poimirlem15  37642  rrntotbnd  37843  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p1  42077  2np3bcnp1  42145  sticksstones6  42152  sticksstones7  42153  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  sticksstones22  42169  metakunt12  42217  jm2.17a  42972  hbt  43142  fmul01lt1lem1  45599  sumnnodd  45645  itgspltprt  45994  stoweidlem20  46035  stoweidlem26  46041  fzopredsuc  47335  smonoord  47358  lighneallem4a  47595