Theorem lep1d 12073

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lep1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lep1 11982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  fzossfzop1  13659  modltm1p1mod  13846  facubnd  14223  swrds2  14863  lo1bddrp  15448  mulcn2  15519  harmonic  15782  expcnv  15787  prmfac1  16647  eulerthlem2  16709  telgsumfzs  19918  nlmvscnlem2  24629  nghmcn  24689  ipcnlem2  25200  ovolicc2lem3  25476  ovolicopnf  25481  dyadf  25548  dyadovol  25550  dyadmaxlem  25554  volsup2  25562  mbfi1fseqlem5  25676  itg2gt0  25717  itg2cnlem1  25718  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumabs  25985  dvfsumlem3  25991  leibpi  26908  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  zetacvg  26981  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem5  26999  basellem2  27048  basellem3  27049  basellem5  27051  basellem6  27052  ppip1le  27127  bcmono  27244  rplogsumlem2  27452  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem5  27548  pntlemk  27573  pntleml  27578  crctcshwlkn0lem3  29885  crctcshwlkn0lem5  29887  wwlksnred  29965  wwlksnextproplem1  29982  wwlksnextproplem2  29983  wwlksnextproplem3  29984  clwlkclwwlkf1lem2  30080  clwwlkf  30122  clwwlkf1  30124  wwlksubclwwlk  30133  eupth2lems  30313  numclwlk2lem2f  30452  pmtrto1cl  33181  psgnfzto1stlem  33182  fzto1st  33185  psgnfzto1st  33187  constrresqrtcl  33934  sxbrsigalem2  34443  dstfrvclim1  34635  fsum2dsub  34764  breprexplemc  34789  poimirlem7  37828  poimirlem15  37836  rrntotbnd  38037  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  2np3bcnp1  42398  sticksstones6  42405  sticksstones7  42406  sticksstones10  42409  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  sticksstones22  42422  jm2.17a  43202  hbt  43372  fmul01lt1lem1  45830  sumnnodd  45876  itgspltprt  46223  stoweidlem20  46264  stoweidlem26  46270  fzopredsuc  47569  smonoord  47617  lighneallem4a  47854