MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnred 28879
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnred (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12460 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 iswwlksn 28825 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2737 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5iswwlks 28823 . . . 4 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
8 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
983ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
101nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
16 pfxn0 14581 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
177, 9, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
18173exp 1120 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)))
19183ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)))
2019imp 408 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…))
2120impcom 409 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
22 pfxcl 14572 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
23223ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2423adantr 482 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2524adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
26 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1))
271nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
28 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
2927, 28pncand 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
3026, 29sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
3130oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3231raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
34 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
35 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
37 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3837lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
3934, 36, 383jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
4039ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
41 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
43 fzoss2 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
45 ssralv 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
47 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
48 nn0fz0 13546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
491, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5049ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51 fzelp1 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5453eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
59 fzossfzop1 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
6059sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6160ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6261imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63 pfxfv 14577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
6447, 58, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–))
66 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68 fzval3 13648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7170eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7271ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7467, 73mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75 pfxfv 14577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
7647, 58, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
7776eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)))
7865, 77preq12d 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))})
7978eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8079biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8180ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8246, 81syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8333, 82sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8483imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
85 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8685, 28pncand 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
8786oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
8887ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
9089raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9184, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
92 pfxlen 14578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9357, 92syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9493oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
9594oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
9695raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9891, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9998exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
10099com23 86 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
101100imp 408 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1021013adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
103102expdimp 454 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
104103impcom 409 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1054, 5iswwlks 28823 . . . . . . 7 ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
10621, 25, 104, 105syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
107 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
1081, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
109 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
1101, 108, 11, 109syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112111, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
113112anim2i 618 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
114113exp32 422 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))))
1151143ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))))
116115imp 408 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
117116impcom 409 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
118117, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119 iswwlksn 28825 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120119adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121106, 118, 120mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122121expcom 415 . . . 4 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1236, 122sylanb 582 . . 3 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124123com12 32 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1253, 124sylbid 239 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   prefix cpfx 14565  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  WWalkscwwlks 28812   WWalksN cwwlksn 28813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818
This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  28881  wwlksnredwwlkn  28882
  Copyright terms: Public domain W3C validator