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Theorem wwlksnred 29922
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnred (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12564 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 iswwlksn 29868 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2735 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2735 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
64, 5iswwlks 29866 . . . 4 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
983ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
101nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16 pfxn0 14721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
177, 9, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
18173exp 1118 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
19183ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
2019imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅))
2120impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
22 pfxcl 14712 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23223ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
271nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
3026, 29sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3231raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
35 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3837lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
3934, 36, 383jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4039ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41 eluz2 12882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4240, 41sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
43 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45 ssralv 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
48 nn0fz0 13662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
491, 48sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5049ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51 fzelp1 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5453eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
59 fzossfzop1 13779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
6059sseld 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6160ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6261imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63 pfxfv 14717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6447, 58, 62, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊𝑖))
6564eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊𝑖) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖))
66 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68 fzval3 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
6968eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7170eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7271ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7467, 73mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75 pfxfv 14717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7647, 58, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
7776eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)))
7865, 77preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))})
7978eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8079biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8180ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8246, 81syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8333, 82sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8483imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
85 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8685, 28pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8786oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
8887ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9089raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9184, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
92 pfxlen 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9357, 92syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9493oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
9695raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9891, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9998exp31 419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
10099com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
101100imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1021013adant1 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
103102expdimp 452 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
104103impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1054, 5iswwlks 29866 . . . . . . 7 ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10621, 25, 104, 105syl3anbrc 1342 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
107 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
1081, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
109 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1101, 108, 11, 109syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112111, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
113112anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
114113exp32 420 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
1151143ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
116115imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
117116impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
118117, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119 iswwlksn 29868 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120119adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121106, 118, 120mpbir2and 713 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122121expcom 413 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1236, 122sylanb 581 . . 3 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124123com12 32 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1253, 124sylbid 240 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   prefix cpfx 14705  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  WWalkscwwlks 29855   WWalksN cwwlksn 29856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861
This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  29924  wwlksnredwwlkn  29925
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