Theorem wwlksnred 27664

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnred	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11931	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 27610	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 27608	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simp1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		nn0p1nn 11930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	1	nn0red 11950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11	10	lep1d 11565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12	11	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13		breq2 5063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14	13	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
15	12, 14	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		pfxn0 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
18	17	3exp 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
19	18	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
20	19	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅))
21	20	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
22		pfxcl 14033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23	22	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
27	1	nn0cnd 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	pncand 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
30	26, 29	sylan9eq 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
31	30	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
32	31	raleqdv 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	32	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		nn0z 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		nn0z 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37		nn0re 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
39	34, 36, 38	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
40	39	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41		eluz2 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
42	40, 41	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
43		fzoss2 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45		ssralv 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
48		nn0fz0 12999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
49	1, 48	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
50	49	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51		fzelp1 12953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
54	53	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
55	54	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
56	55	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
57	52, 56	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
58	57	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
59		fzossfzop1 13109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
60	59	sseld 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
61	60	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
62	61	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63		pfxfv 14038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
64	47, 58, 62, 63	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
65	64	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖))
66		fzofzp1 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
67	66	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68		fzval3 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
69	68	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
70	34, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
71	70	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
72	71	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
74	67, 73	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75		pfxfv 14038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
76	47, 58, 74, 75	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
77	76	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)))
78	65, 77	preq12d 4671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))})
79	78	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
80	79	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
81	80	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
82	46, 81	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
83	33, 82	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84	83	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
85		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
86	85, 28	pncand 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	86	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
88	87	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
89	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
90	89	raleqdv 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
91	84, 90	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
92		pfxlen 14039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
93	57, 92	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
94	93	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
95	94	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
96	95	raleqdv 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	91, 97	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99	98	exp31 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
101	100	imp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
102	101	3adant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
103	102	expdimp 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
104	103	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
105	4, 5	iswwlks 27608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	21, 25, 104, 105	syl3anbrc 1339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
107		peano2nn0 11931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	1, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
109		elfz2nn0 12992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
110	1, 108, 11, 109	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111	110	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112	111, 55	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
113	112	anim2i 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
114	113	exp32 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
115	114	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
116	115	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
117	116	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
118	117, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119		iswwlksn 27610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120	119	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121	106, 118, 120	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122	121	expcom 416	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
123	6, 122	sylanb 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124	123	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
125	3, 124	sylbid 242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {cpr 4563   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855   prefix cpfx 14026  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826  WWalkscwwlks 27597   WWalksN cwwlksn 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603

This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  27666  wwlksnredwwlkn  27667