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Theorem wwlksnred 27092

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
wwlksnred	⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11580	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
2		iswwlksn 27022	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 27020	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simp1 1166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		nn0p1nn 11579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant3 1165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	1	nn0red 11599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11	10	lep1d 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12	11	3ad2ant3 1165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13		breq2 4813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14	13	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
15	12, 14	mpbird 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		swrdn0OLD 13632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
18	17	3exp 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
19	18	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
20	19	imp 395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
21	20	impcom 396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
22		swrdcl 13620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23	22	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	23	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
27	1	nn0cnd 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28		1cnd 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	pncand 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
30	26, 29	sylan9eq 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
31	30	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
32	31	raleqdv 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	32	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		nn0z 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
35		nn0z 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37		nn0re 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
39	34, 36, 38	3jca 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
40	39	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41		eluz2 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
42	40, 41	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
43		fzoss2 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45		ssralv 3826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49		nn0fz0 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
50	1, 49	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51	50	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
52		fzelp1 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
54		oveq2 6850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
55	54	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
56	55	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
57	56	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
58	53, 57	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
59	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
60		fzossfzop1 12754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
61	60	sseld 3760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
62	61	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
63	62	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
64		swrd0fvOLD 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
65	48, 59, 63, 64	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
66	65	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖))
67		fzofzp1 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68	67	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
69		fzval3 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
70	69	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
71	34, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
72	71	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73	72	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
74	73	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
75	68, 74	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
76		swrd0fvOLD 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
77	48, 59, 75, 76	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
78	77	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)))
79	66, 78	preq12d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))})
80	79	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
81	80	biimpd 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
82	81	ralimdva 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
83	46, 82	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84	33, 83	sylbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
85	84	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
86		nn0cn 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
87	86, 28	pncand 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
88	87	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
89	88	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
90	89	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
91	90	raleqdv 3292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
92	85, 91	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
93	1	ad2antll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
94		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
95	94	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
96		swrd0len0OLD 13638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
97	47, 93, 95, 96	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
98	97	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
99	98	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
100	99	raleqdv 3292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
101	100	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
102	92, 101	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
103	102	exp31 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
105	104	imp 395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	105	3adant1 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	106	expdimp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108	107	impcom 396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
109	4, 5	iswwlks 27020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
110	21, 25, 108, 109	syl3anbrc 1443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
111		peano2nn0 11580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀)
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀)
113		elfz2nn0 12638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
114	1, 112, 11, 113	syl3anbrc 1443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
115	114	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
116	115, 56	mpbird 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
117	116	anim2i 610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
118	117	exp32 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
119	118	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
120	119	imp 395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
121	120	impcom 396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
122		swrd0lenOLD 13623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
123	121, 122	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
124		iswwlksn 27022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
125	124	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
126	110, 123, 125	mpbir2and 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
127	126	expcom 402	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
128	6, 127	sylanb 576	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
129	128	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
130	3, 129	sylbid 231	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 197 ∧ wa 384 ∧ w3a 1107 = wceq 1652 ∈ wcel 2155 ≠ wne 2937 ∀wral 3055 ⊆ wss 3732 ∅c0 4079 {cpr 4336 ⟨cop 4340 class class class wbr 4809 ‘cfv 6068 (class class class)co 6842 0cc0 10189 1c1 10190 + caddc 10192 ≤ cle 10329 − cmin 10520 ℕcn 11274 ℕ₀cn0 11538 ℤcz 11624 ℤ_≥cuz 11886 ...cfz 12533 ..^cfzo 12673 ♯chash 13321 Word cword 13486 substr csubstr 13616 Vtxcvtx 26165 Edgcedg 26216 WWalkscwwlks 27009 WWalksN cwwlksn 27010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1890 ax-4 1904 ax-5 2005 ax-6 2069 ax-7 2105 ax-8 2157 ax-9 2164 ax-10 2183 ax-11 2198 ax-12 2211 ax-13 2352 ax-ext 2743 ax-rep 4930 ax-sep 4941 ax-nul 4949 ax-pow 5001 ax-pr 5062 ax-un 7147 ax-cnex 10245 ax-resscn 10246 ax-1cn 10247 ax-icn 10248 ax-addcl 10249 ax-addrcl 10250 ax-mulcl 10251 ax-mulrcl 10252 ax-mulcom 10253 ax-addass 10254 ax-mulass 10255 ax-distr 10256 ax-i2m1 10257 ax-1ne0 10258 ax-1rid 10259 ax-rnegex 10260 ax-rrecex 10261 ax-cnre 10262 ax-pre-lttri 10263 ax-pre-lttrn 10264 ax-pre-ltadd 10265 ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 874 df-3or 1108 df-3an 1109 df-tru 1656 df-ex 1875 df-nf 1879 df-sb 2062 df-mo 2565 df-eu 2582 df-clab 2752 df-cleq 2758 df-clel 2761 df-nfc 2896 df-ne 2938 df-nel 3041 df-ral 3060 df-rex 3061 df-reu 3062 df-rab 3064 df-v 3352 df-sbc 3597 df-csb 3692 df-dif 3735 df-un 3737 df-in 3739 df-ss 3746 df-pss 3748 df-nul 4080 df-if 4244 df-pw 4317 df-sn 4335 df-pr 4337 df-tp 4339 df-op 4341 df-uni 4595 df-int 4634 df-iun 4678 df-br 4810 df-opab 4872 df-mpt 4889 df-tr 4912 df-id 5185 df-eprel 5190 df-po 5198 df-so 5199 df-fr 5236 df-we 5238 df-xp 5283 df-rel 5284 df-cnv 5285 df-co 5286 df-dm 5287 df-rn 5288 df-res 5289 df-ima 5290 df-pred 5865 df-ord 5911 df-on 5912 df-lim 5913 df-suc 5914 df-iota 6031 df-fun 6070 df-fn 6071 df-f 6072 df-f1 6073 df-fo 6074 df-f1o 6075 df-fv 6076 df-riota 6803 df-ov 6845 df-oprab 6846 df-mpt2 6847 df-om 7264 df-1st 7366 df-2nd 7367 df-wrecs 7610 df-recs 7672 df-rdg 7710 df-1o 7764 df-oadd 7768 df-er 7947 df-map 8062 df-pm 8063 df-en 8161 df-dom 8162 df-sdom 8163 df-fin 8164 df-card 9016 df-pnf 10330 df-mnf 10331 df-xr 10332 df-ltxr 10333 df-le 10334 df-sub 10522 df-neg 10523 df-nn 11275 df-n0 11539 df-z 11625 df-uz 11887 df-fz 12534 df-fzo 12674 df-hash 13322 df-word 13487 df-substr 13617 df-wwlks 27014 df-wwlksn 27015

This theorem is referenced by: wwlksnextbi 27094 wwlksnredwwlkn 27095

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