Theorem wwlksnred 29879

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnred	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12546	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 29825	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 29823	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		nn0p1nn 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	1	nn0red 12568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11	10	lep1d 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
15	12, 14	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		pfxn0 14709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
18	17	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
20	19	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅))
21	20	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
22		pfxcl 14700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
27	1	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	pncand 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
30	26, 29	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
31	30	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
32	31	raleqdv 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		nn0z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		nn0z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
39	34, 36, 38	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
40	39	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41		eluz2 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
43		fzoss2 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45		ssralv 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
48		nn0fz0 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
49	1, 48	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
50	49	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51		fzelp1 13598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
54	53	eleq2d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
57	52, 56	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
59		fzossfzop1 13764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
60	59	sseld 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
61	60	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
62	61	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63		pfxfv 14705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
64	47, 58, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
65	64	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖))
66		fzofzp1 13785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68		fzval3 13755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
69	68	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
70	34, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
71	70	eleq2d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
72	71	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
74	67, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75		pfxfv 14705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
76	47, 58, 74, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
77	76	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)))
78	65, 77	preq12d 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))})
79	78	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
80	79	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
81	80	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
82	46, 81	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
83	33, 82	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84	83	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
85		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
86	85, 28	pncand 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	86	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
88	87	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
90	89	raleqdv 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
91	84, 90	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
92		pfxlen 14706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
93	57, 92	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
94	93	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
95	94	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
96	95	raleqdv 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	91, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99	98	exp31 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
101	100	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
102	101	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
103	102	expdimp 452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
104	103	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
105	4, 5	iswwlks 29823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	21, 25, 104, 105	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
107		peano2nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	1, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
109		elfz2nn0 13640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
110	1, 108, 11, 109	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112	111, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
113	112	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
114	113	exp32 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
115	114	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
116	115	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
117	116	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
118	117, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119		iswwlksn 29825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120	119	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121	106, 118, 120	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122	121	expcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
123	6, 122	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124	123	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
125	3, 124	sylbid 240	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536   prefix cpfx 14693  Vtxcvtx 28980  Edgcedg 29031  WWalkscwwlks 29812   WWalksN cwwlksn 29813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-wwlks 29817  df-wwlksn 29818

This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  29881  wwlksnredwwlkn  29882