Theorem wwlksnred 27382

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnred	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksnred

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11752	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 27327	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 27325	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simp1 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		nn0p1nn 11751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10	1	nn0red 11771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11	10	lep1d 11374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12	11	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13		breq2 4934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14	13	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
15	12, 14	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		pfxn0 13871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
18	17	3exp 1099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
19	18	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)))
20	19	imp 398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅))
21	20	impcom 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅)
22		pfxcl 13862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
23	22	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	23	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		oveq1 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
27	1	nn0cnd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
28		1cnd 10436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	pncand 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
30	26, 29	sylan9eq 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
31	30	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
32	31	raleqdv 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	32	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		nn0z 11821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		nn0z 11821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
37		nn0re 11720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
39	34, 36, 38	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
40	39	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
41		eluz2 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
42	40, 41	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
43		fzoss2 12883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
45		ssralv 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47		simpll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
48		nn0fz0 12824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
49	1, 48	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
50	49	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51		fzelp1 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53		oveq2 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
54	53	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
55	54	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
56	55	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
57	52, 56	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
58	57	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
59		fzossfzop1 12933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
60	59	sseld 3859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
61	60	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
62	61	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63		pfxfv 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
64	47, 58, 62, 63	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
65	64	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖))
66		fzofzp1 12952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
67	66	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68		fzval3 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
69	68	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
70	34, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
71	70	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
72	71	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
73	72	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
74	67, 73	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75		pfxfv 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
76	47, 58, 74, 75	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
77	76	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1)))
78	65, 77	preq12d 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))})
79	78	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
80	79	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
81	80	ralimdva 3127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
82	46, 81	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
83	33, 82	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84	83	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
85		nn0cn 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
86	85, 28	pncand 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	86	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
88	87	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
89	88	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
90	89	raleqdv 3355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
91	84, 90	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
92		pfxlen 13868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
93	57, 92	syldan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
94	93	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
95	94	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
96	95	raleqdv 3355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	96	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	91, 97	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
99	98	exp31 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
101	100	imp 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
102	101	3adant1 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
103	102	expdimp 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
104	103	impcom 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
105	4, 5	iswwlks 27325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) − 1)){((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘𝑖), ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	21, 25, 104, 105	syl3anbrc 1323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
107		peano2nn0 11752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
108	1, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
109		elfz2nn0 12817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
110	1, 108, 11, 109	syl3anbrc 1323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111	110	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112	111, 55	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
113	112	anim2i 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
114	113	exp32 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
115	114	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))))
116	115	imp 398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
117	116	impcom 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
118	117, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119		iswwlksn 27327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120	119	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121	106, 118, 120	mpbir2and 700	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122	121	expcom 406	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
123	6, 122	sylanb 573	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124	123	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
125	3, 124	sylbid 232	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088   ⊆ wss 3831  ∅c0 4180  {cpr 4444   class class class wbr 4930  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   ≤ cle 10477   − cmin 10672  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061  ...cfz 12711  ..^cfzo 12852  ♯chash 13508  Word cword 13675   prefix cpfx 13855  Vtxcvtx 26487  Edgcedg 26538  WWalkscwwlks 27314   WWalksN cwwlksn 27315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-hash 13509  df-word 13676  df-substr 13807  df-pfx 13856  df-wwlks 27319  df-wwlksn 27320

This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  27385  wwlksnredwwlkn  27387