MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnred Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wwlksnred 29135
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnred (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Proof of Theorem wwlksnred
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12508 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 iswwlksn 29081 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2732 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5iswwlks 29079 . . . 4 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
8 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
983ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
101nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
16 pfxn0 14632 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
177, 9, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
18173exp 1119 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)))
19183ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)))
2019imp 407 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…))
2120impcom 408 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ…)
22 pfxcl 14623 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
23223ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
26 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1))
271nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
28 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
2927, 28pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
3026, 29sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3231raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
34 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
35 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
37 nn0re 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3837lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
3934, 36, 383jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
4039ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
41 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
43 fzoss2 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
45 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
47 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
48 nn0fz0 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
491, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5049ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
51 fzelp1 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
53 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5453eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
5752, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
59 fzossfzop1 13706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
6059sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6160ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6261imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
63 pfxfv 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
6447, 58, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
6564eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–))
66 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
68 fzval3 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
6968eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7034, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7170eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7271ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7467, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
75 pfxfv 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
7647, 58, 74, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
7776eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1)))
7865, 77preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))})
7978eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8079biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8180ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8246, 81syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8333, 82sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8483imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
85 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8685, 28pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
8786oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
8887ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
9089raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9184, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
92 pfxlen 14629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9357, 92syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
9493oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
9695raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9891, 97mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9998exp31 420 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
10099com23 86 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
101100imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1021013adant1 1130 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
103102expdimp 453 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
104103impcom 408 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1054, 5iswwlks 29079 . . . . . . 7 ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) βˆ’ 1)){((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜π‘–), ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
10621, 25, 104, 105syl3anbrc 1343 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
107 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
1081, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
109 elfz2nn0 13588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
1101, 108, 11, 109syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
112111, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
113112anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
114113exp32 421 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))))
1151143ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))))
116115imp 407 . . . . . . . 8 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
117116impcom 408 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
118117, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
119 iswwlksn 29081 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
120119adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
121106, 118, 120mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
122121expcom 414 . . . 4 (((π‘Š β‰  βˆ… ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1236, 122sylanb 581 . . 3 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
124123com12 32 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
1253, 124sylbid 239 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   prefix cpfx 14616  Vtxcvtx 28245  Edgcedg 28296  WWalkscwwlks 29068   WWalksN cwwlksn 29069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074
This theorem is referenced by:  wwlksnextbi  29137  wwlksnredwwlkn  29138
  Copyright terms: Public domain W3C validator