Theorem hashdmpropge2 14503

Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashdmpropge2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
hashdmpropge2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
hashdmpropge2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
hashdmpropge2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
hashdmpropge2.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
hashdmpropge2.s	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hashdmpropge2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
2	1	dmexd 7906	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3		hashdmpropge2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		hashdmpropge2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		dmpropg 6215	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7		hashdmpropge2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8		dmss 5893	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
10	6, 9	eqsstrrd 3999	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11		hashdmpropge2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		hashdmpropge2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
13		prssg 4799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15		hashdmpropge2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16		neeq1 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
17		neeq2 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	16, 17	rspc2ev 3618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
22	14, 21	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
24		hashge2el2difr 14501	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
25	2, 23, 24	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  ‘cfv 6540   ≤ cle 11277  2c2 12302  ♯chash 14350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-hash 14351

This theorem is referenced by:  structvtxvallem  28964  structgrssvtxlem  28967