Theorem hashdmpropge2 14404

Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashdmpropge2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
hashdmpropge2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
hashdmpropge2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
hashdmpropge2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
hashdmpropge2.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
hashdmpropge2.s	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hashdmpropge2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
2	1	dmexd 7843	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3		hashdmpropge2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		hashdmpropge2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		dmpropg 6171	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7		hashdmpropge2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8		dmss 5849	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
10	6, 9	eqsstrrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11		hashdmpropge2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		hashdmpropge2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
13		prssg 4773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15		hashdmpropge2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
17		neeq2 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	16, 17	rspc2ev 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
22	14, 21	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
24		hashge2el2difr 14402	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
25	2, 23, 24	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  {cpr 4580  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  ‘cfv 6490   ≤ cle 11165  2c2 12198  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  structvtxvallem  29042  structgrssvtxlem  29045