Theorem hashdmpropge2 14390

Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashdmpropge2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
hashdmpropge2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
hashdmpropge2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
hashdmpropge2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
hashdmpropge2.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
hashdmpropge2.s	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hashdmpropge2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
2	1	dmexd 7833	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3		hashdmpropge2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		hashdmpropge2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		dmpropg 6162	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7		hashdmpropge2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8		dmss 5841	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
10	6, 9	eqsstrrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11		hashdmpropge2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		hashdmpropge2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
13		prssg 4768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15		hashdmpropge2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16		neeq1 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
17		neeq2 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	16, 17	rspc2ev 3585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
22	14, 21	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
24		hashge2el2difr 14388	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
25	2, 23, 24	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {cpr 4575  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481   ≤ cle 11147  2c2 12180  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  structvtxvallem  28998  structgrssvtxlem  29001