Theorem hashdmpropge2 14197

Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashdmpropge2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
hashdmpropge2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
hashdmpropge2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
hashdmpropge2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
hashdmpropge2.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
hashdmpropge2.s	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hashdmpropge2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
2	1	dmexd 7752	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3		hashdmpropge2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		hashdmpropge2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		dmpropg 6118	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7		hashdmpropge2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8		dmss 5811	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
10	6, 9	eqsstrrd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11		hashdmpropge2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		hashdmpropge2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
13		prssg 4752	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15		hashdmpropge2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
17		neeq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	16, 17	rspc2ev 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
22	14, 21	sylbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
24		hashge2el2difr 14195	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
25	2, 23, 24	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  structvtxvallem  27390  structgrssvtxlem  27393