Theorem hashdmpropge2 14496

Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashdmpropge2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
hashdmpropge2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
hashdmpropge2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
hashdmpropge2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
hashdmpropge2.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
hashdmpropge2.s	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hashdmpropge2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍)
2	1	dmexd 7884	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3		hashdmpropge2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		hashdmpropge2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5		dmpropg 6202	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7		hashdmpropge2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8		dmss 5878	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
10	6, 9	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11		hashdmpropge2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		hashdmpropge2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
13		prssg 4777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
14	11, 12, 13	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15		hashdmpropge2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
17		neeq2 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	16, 17	rspc2ev 3594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	3expa 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
21	15, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
22	14, 21	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏)
24		hashge2el2difr 14494	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹∃𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
25	2, 23, 24	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521   ≤ cle 11217  2c2 12272  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  structvtxvallem  29221  structgrssvtxlem  29224