Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdmpropge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdmpropge2 13846
 Description: The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdmpropge2.a (𝜑𝐴𝑉)
hashdmpropge2.b (𝜑𝐵𝑊)
hashdmpropge2.c (𝜑𝐶𝑋)
hashdmpropge2.d (𝜑𝐷𝑌)
hashdmpropge2.f (𝜑𝐹𝑍)
hashdmpropge2.n (𝜑𝐴𝐵)
hashdmpropge2.s (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hashdmpropge2 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashdmpropge2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashdmpropge2.f . . 3 (𝜑𝐹𝑍)
21dmexd 7610 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3 hashdmpropge2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
4 hashdmpropge2.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑌)
5 dmpropg 6059 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
63, 4, 5syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
7 hashdmpropge2.s . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹)
8 dmss 5758 . . . . 5 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ 𝐹 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ dom 𝐹)
106, 9eqsstrrd 3992 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹)
11 hashdmpropge2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
12 hashdmpropge2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
13 prssg 4736 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹))
15 hashdmpropge2.n . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
16 neeq1 3076 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑏𝐴𝑏))
17 neeq2 3077 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴𝑏𝐴𝐵))
1816, 17rspc2ev 3621 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏)
19183expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏)
2019expcom 417 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏))
2115, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏))
2214, 21sylbird 263 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐹 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏))
2310, 22mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏)
24 hashge2el2difr 13844 . 2 ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐹𝑏 ∈ dom 𝐹 𝑎𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
252, 23, 24syl2anc 587 1 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  {cpr 4552  ⟨cop 4556   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ‘cfv 6343   ≤ cle 10674  2c2 11689  ♯chash 13695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696 This theorem is referenced by:  structvtxvallem  26819  structgrssvtxlem  26822
 Copyright terms: Public domain W3C validator