Theorem structgrssvtxlem 29096

Description: Lemma for structgrssvtx 29097 and structgrssiedg 29098. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtxlem	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structgrssvtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
2		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ V)
3		structgrssvtx.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
4		structgrssvtx.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
5		structgrssvtx.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
6		structex 17077	. . 3 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
8		basendxnedgfndx 29068	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx))
10		structgrssvtx.s	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
11	1, 2, 3, 4, 7, 9, 10	hashdmpropge2 14406	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492   ≤ cle 11167  2c2 12200  ♯chash 14253   Struct cstr 17073  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  .efcedgf 29061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  29097  structgrssiedg  29098