MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2difr 14517
Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 14381 . . 3 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2 hasheq0 14399 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3 rexeq 3320 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦))
4 rex0 4366 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦
5 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
73, 6sylbid 240 . . . . . 6 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
82, 7biimtrdi 253 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
98com12 32 . . . 4 ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10 hash1snb 14455 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11 rexeq 3320 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
1211rexeqbi1dv 3337 . . . . . . . . 9 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
13 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
14 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
1514rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦))
1613, 15rexsn 4687 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦)
17 neeq2 3002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧𝑦𝑧𝑧))
1813, 17rexsn 4687 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦𝑧𝑧)
1916, 18bitri 275 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦𝑧𝑧)
2012, 19bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑧))
21 equid 2009 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
22 eqneqall 2949 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑧 → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2420, 23sylbid 240 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2524exlimiv 1928 . . . . . 6 (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2610, 25biimtrdi 253 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
2726com12 32 . . . 4 ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28 hashnn0pnf 14378 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29 1z 12645 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
30 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
3231biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
3329, 30, 32sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34 df-2 12327 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5155 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
3633, 35imbitrrdi 252 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
3837rexri 11317 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
39 pnfge 13170 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
4240, 41mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
4342a1d 25 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4436, 43jaoi 857 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4528, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4645impcom 407 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
4746a1d 25 . . . . 5 ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4847ex 412 . . . 4 (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
499, 27, 483jaoi 1427 . . 3 (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
501, 49mpcom 38 . 2 (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
5150imp 406 1 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14518  hashdmpropge2  14519
  Copyright terms: Public domain W3C validator