Theorem hashge2el2difr 14630

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 14493	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2		hasheq0 14511	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3315	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 4307	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
8	2, 7	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
9	8	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10		hash1snb 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		rexeq 3315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
12	11	rexeqbi1dv 3330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
14		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
15	14	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
16	13, 15	rexsn 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
17		neeq2 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
18	13, 17	rexsn 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
19	16, 18	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	12, 19	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
21		equid 2044	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
22		eqneqall 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
24	20, 23	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
25	24	exlimiv 1962	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
26	10, 25	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
27	26	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28		hashnn0pnf 14490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29		1z 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		nn0z 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31		zltp1le 12750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
32	31	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
33	29, 30, 32	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34		df-2 12409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
36	33, 35	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37		2re 12421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	rexri 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
39		pnfge 13263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41		breq2 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
42	40, 41	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
43	42	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
44	36, 43	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
45	28, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
46	45	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
47	46	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
48	47	ex 418	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
49	9, 27, 48	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
50	1, 49	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
51	50	imp 412	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ♯chash 14478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479

This theorem is used by:  hashge2el2difb  14631  hashdmpropge2  14632