Theorem hashge2el2difr 14546

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 14409	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2		hasheq0 14427	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3315	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 4308	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
8	2, 7	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
9	8	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10		hash1snb 14484	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		rexeq 3315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
12	11	rexeqbi1dv 3330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
14		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
15	14	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
16	13, 15	rexsn 4643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
17		neeq2 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
18	13, 17	rexsn 4643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
19	16, 18	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	12, 19	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
21		equid 2045	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
22		eqneqall 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
24	20, 23	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
25	24	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
26	10, 25	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
27	26	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28		hashnn0pnf 14406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29		1z 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		nn0z 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31		zltp1le 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
32	31	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
33	29, 30, 32	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34		df-2 12327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
36	33, 35	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37		2re 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	rexri 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
39		pnfge 13181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
42	40, 41	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
43	42	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
44	36, 43	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
45	28, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
46	45	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
47	46	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
48	47	ex 418	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
49	9, 27, 48	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
50	1, 49	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
51	50	imp 412	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  hashge2el2difb  14547  hashdmpropge2  14548