Theorem hashge2el2difr 14506

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 14369	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2		hasheq0 14387	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 4316	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 124	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
8	2, 7	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
9	8	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10		hash1snb 14444	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		rexeq 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
12	11	rexeqbi1dv 3334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
14		neeq1 3022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
15	14	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
16	13, 15	rexsn 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
17		neeq2 3023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
18	13, 17	rexsn 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
19	16, 18	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	12, 19	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
21		equid 2035	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
22		eqneqall 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
24	20, 23	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
25	24	exlimiv 1953	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
26	10, 25	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
27	26	com12 33	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28		hashnn0pnf 14366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29		1z 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		nn0z 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31		zltp1le 12632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
32	31	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
33	29, 30, 32	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34		df-2 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
36	33, 35	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37		2re 12303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	rexri 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
39		pnfge 13143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41		breq2 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
42	40, 41	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
43	42	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
44	36, 43	jaoi 870	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
45	28, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
46	45	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
47	46	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
48	47	ex 417	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
49	9, 27, 48	3jaoi 1450	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
50	1, 49	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
51	50	imp 411	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  2c2 12283  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14507  hashdmpropge2  14508