Theorem hashge2el2difr 14388

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 14252	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2		hasheq0 14270	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 4311	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
8	2, 7	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
9	8	com12 32	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10		hash1snb 14326	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		rexeq 3285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
12	11	rexeqbi1dv 3302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
14		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
15	14	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
16	13, 15	rexsn 4634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
17		neeq2 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
18	13, 17	rexsn 4634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
19	16, 18	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	12, 19	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
21		equid 2012	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
22		eqneqall 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
24	20, 23	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
25	24	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
26	10, 25	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28		hashnn0pnf 14249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29		1z 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		nn0z 12496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31		zltp1le 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
32	31	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
33	29, 30, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34		df-2 12191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
36	33, 35	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37		2re 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	rexri 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
39		pnfge 13032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41		breq2 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
42	40, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
43	42	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
44	36, 43	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
45	28, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
46	45	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
47	46	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
49	9, 27, 48	3jaoi 1430	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
50	1, 49	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
51	50	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14389  hashdmpropge2  14390