Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2difr 13838
 Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 13704 . . 3 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2 hasheq0 13723 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3 rexeq 3359 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦))
4 rex0 4271 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦
5 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
73, 6sylbid 243 . . . . . 6 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
82, 7syl6bi 256 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
98com12 32 . . . 4 ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10 hash1snb 13779 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11 rexeq 3359 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
1211rexeqbi1dv 3357 . . . . . . . . 9 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
13 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
14 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
1514rexbidv 3256 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦))
1613, 15rexsn 4580 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦)
17 neeq2 3050 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧𝑦𝑧𝑧))
1813, 17rexsn 4580 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦𝑧𝑧)
1916, 18bitri 278 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦𝑧𝑧)
2012, 19syl6bb 290 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑧))
21 equid 2019 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
22 eqneqall 2998 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑧 → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2420, 23sylbid 243 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2524exlimiv 1931 . . . . . 6 (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2610, 25syl6bi 256 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
2726com12 32 . . . 4 ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28 hashnn0pnf 13701 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29 1z 12003 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
30 nn0z 11996 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31 zltp1le 12023 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
3231biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
3329, 30, 32sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34 df-2 11691 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5038 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
3633, 35syl6ibr 255 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37 2re 11702 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
3837rexri 10691 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
39 pnfge 12516 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41 breq2 5035 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
4240, 41mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
4342a1d 25 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4436, 43jaoi 854 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4528, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4645impcom 411 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
4746a1d 25 . . . . 5 ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
4847ex 416 . . . 4 (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
499, 27, 483jaoi 1424 . . 3 (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
501, 49mpcom 38 . 2 (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
5150imp 410 1 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  2c2 11683  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ♯chash 13689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690 This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13839  hashdmpropge2  13840
 Copyright terms: Public domain W3C validator