Theorem hashge2el2difr 14404

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 14268	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)))
2		hasheq0 14286	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 4312	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
8	2, 7	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
9	8	com12 32	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
10		hash1snb 14342	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		rexeq 3292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
12	11	rexeqbi1dv 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13		vex 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
14		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
15	14	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
16	13, 15	rexsn 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
17		neeq2 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
18	13, 17	rexsn 4639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
19	16, 18	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	12, 19	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
21		equid 2013	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
22		eqneqall 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
24	20, 23	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
25	24	exlimiv 1931	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
26	10, 25	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
28		hashnn0pnf 14265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞))
29		1z 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		nn0z 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
31		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
32	31	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
33	29, 30, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
34		df-2 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
36	33, 35	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
37		2re 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	rexri 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
39		pnfge 13044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
41		breq2 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
42	40, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝐷))
43	42	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = +∞ → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
44	36, 43	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐷) = +∞) → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
45	28, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
46	45	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (♯‘𝐷))
47	46	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((1 < (♯‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
49	9, 27, 48	3jaoi 1430	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐷) = 0 ∨ (♯‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷))))
50	1, 49	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (♯‘𝐷)))
51	50	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14405  hashdmpropge2  14406