MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structvtxvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structvtxvallem 27816
Description: Lemma for structvtxval 27817 and structiedg0val 27818. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structvtxvallem ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structvtxvallem
StepHypRef Expression
1 fvexd 6854 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
2 structvtxvallem.s . . 3 𝑆 ∈ ℕ
32a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 simpl 483 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉𝑋)
5 simpr 485 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐸𝑌)
6 structvtxvallem.g . . . 4 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
7 prex 5387 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2834 . . 3 𝐺 ∈ V
98a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐺 ∈ V)
10 basendxnn 17047 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
1110nnrei 12120 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ ℝ
12 structvtxvallem.b . . . 4 (Base‘ndx) < 𝑆
1311, 12ltneii 11226 . . 3 (Base‘ndx) ≠ 𝑆
1413a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
156eqimss2i 4001 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
1615a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
171, 3, 4, 5, 9, 14, 16hashdmpropge2 14336 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  wss 3908  {cpr 4586  cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  cfv 6493   < clt 11147  cle 11148  cn 12111  2c2 12166  chash 14184  ndxcnx 17019  Basecbs 17037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038
This theorem is referenced by:  structvtxval  27817  structiedg0val  27818
  Copyright terms: Public domain W3C validator