Theorem structvtxvallem 29407

Description: Lemma for structvtxval 29408 and structiedg0val 29409. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structvtxvallem	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structvtxvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6903	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
2		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
5		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑌)
6		structvtxvallem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
7		prex 5414	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ V)
10		basendxnn 17304	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
11	10	nnrei 12260	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
12		structvtxvallem.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
13	11, 12	ltneii 11341	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝑆
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
15	6	eqimss2i 4001	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
17	1, 3, 4, 5, 9, 14, 16	hashdmpropge2 14540	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  2c2 12313  ♯chash 14386  ndxcnx 17278  Basecbs 17294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295

This theorem is used by:  structvtxval  29408  structiedg0val  29409