MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structvtxvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structvtxvallem 28956
Description: Lemma for structvtxval 28957 and structiedg0val 28958. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structvtxvallem ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structvtxvallem
StepHypRef Expression
1 fvexd 6916 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
2 structvtxvallem.s . . 3 𝑆 ∈ ℕ
32a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 simpl 481 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉𝑋)
5 simpr 483 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐸𝑌)
6 structvtxvallem.g . . . 4 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
7 prex 5438 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2822 . . 3 𝐺 ∈ V
98a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐺 ∈ V)
10 basendxnn 17223 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
1110nnrei 12273 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ ℝ
12 structvtxvallem.b . . . 4 (Base‘ndx) < 𝑆
1311, 12ltneii 11377 . . 3 (Base‘ndx) ≠ 𝑆
1413a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
156eqimss2i 4041 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
1615a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
171, 3, 4, 5, 9, 14, 16hashdmpropge2 14502 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  wss 3947  {cpr 4635  cop 4639   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  cfv 6554   < clt 11298  cle 11299  cn 12264  2c2 12319  chash 14347  ndxcnx 17195  Basecbs 17213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214
This theorem is referenced by:  structvtxval  28957  structiedg0val  28958
  Copyright terms: Public domain W3C validator