Theorem ipval2lem3 31334

Description: Lemma for ipval3 31338. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval2lem3	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dipfval.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
3	1, 2	nvsid 31256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
4	3	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(1𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
5	4	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)))
6	5	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
7	6	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
8		ax-1cn 11282	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		dipfval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		dipfval.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
11		dipfval.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	1, 9, 2, 10, 11	ipval2lem2 31333	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
13	8, 12	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
14	7, 13	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  1c1 11225  2c2 12421  ↑cexp 14228  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214  BaseSetcba 31215   ·_𝑠OLD cns 31216  norm_CVcnmcv 31219  ·_𝑖OLDcdip 31329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229  df-grpo 31122  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229

This theorem is used by:  ipval2  31336  dipcj  31343  dip0r  31346