Theorem ipval2lem3 29421

Description: Lemma for ipval3 29425. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval2lem3	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dipfval.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
3	1, 2	nvsid 29343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
4	3	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(1𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
5	4	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)))
6	5	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
7	6	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
8		ax-1cn 11039	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		dipfval.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		dipfval.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
11		dipfval.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	1, 9, 2, 10, 11	ipval2lem2 29420	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
13	8, 12	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
14	7, 13	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  ℂcc 10979  ℝcr 10980  1c1 10982  2c2 12138  ↑cexp 13892  NrmCVeccnv 29300   +_𝑣 cpv 29301  BaseSetcba 29302   ·_𝑠OLD cns 29303  norm_CVcnmcv 29306  ·_𝑖OLDcdip 29416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-seq 13832  df-exp 13893  df-grpo 29209  df-ablo 29261  df-vc 29275  df-nv 29308  df-va 29311  df-ba 29312  df-sm 29313  df-0v 29314  df-nmcv 29316

This theorem is referenced by:  ipval2  29423  dipcj  29430  dip0r  29433