MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval2lem3 29689
Description: Lemma for ipval3 29693. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval2lem3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ipval2lem3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsid 29611 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
43oveq2d 7374 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡))
54fveq2d 6847 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)))
65oveq1d 7373 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
763adant2 1132 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
8 ax-1cn 11114 . . 3 1 ∈ β„‚
9 dipfval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
10 dipfval.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
11 dipfval.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
121, 9, 2, 10, 11ipval2lem2 29688 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
138, 12mpan2 690 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
147, 13eqeltrrd 2835 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057  2c2 12213  β†‘cexp 13973  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  Β·π‘–OLDcdip 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-exp 13974  df-grpo 29477  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584
This theorem is referenced by:  ipval2  29691  dipcj  29698  dip0r  29701
  Copyright terms: Public domain W3C validator