Theorem idresefmnd 18853

Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set 𝐴 as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on 𝐴 to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idressubmefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
idresefmnd.e	⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})

Assertion

Ref	Expression
idresefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idresefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idressubmefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	idressubmefmnd 18852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺))
3	1	efmndmnd 18843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
7	4, 5, 6	issubm2 18758	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
8	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
9		snex 5427	. . . . . . 7 ⊢ {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
10		idresefmnd.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
11	10, 4	ressbas 17212	. . . . . . 7 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
12	9, 11	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
13		inss2 4224	. . . . . 6 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
14	12, 13	eqsstrrdi 4028	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
15	10	eqcomi 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
16	15	eleq1i 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd ↔ 𝐸 ∈ Mnd)
17	16	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd → 𝐸 ∈ Mnd)
18	17	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → 𝐸 ∈ Mnd)
19	14, 18	anim12ci 612	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
20	19	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
21	8, 20	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
22	2, 21	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  {csn 4624   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206  0_gc0g 17418  Mndcmnd 18691  SubMndcsubmnd 18736  EndoFMndcefmnd 18822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-tset 17249  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-efmnd 18823

This theorem is referenced by: (None)