![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > idresefmnd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set ๐ด as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on ๐ด to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on ๐ด. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
idressubmefmnd.g | โข ๐บ = (EndoFMndโ๐ด) |
idresefmnd.e | โข ๐ธ = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) |
Ref | Expression |
---|---|
idresefmnd | โข (๐ด โ ๐ โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | idressubmefmnd.g | . . 3 โข ๐บ = (EndoFMndโ๐ด) | |
2 | 1 | idressubmefmnd 18709 | . 2 โข (๐ด โ ๐ โ {( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ)) |
3 | 1 | efmndmnd 18700 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ โ ๐บ โ Mnd) |
4 | eqid 2737 | . . . . 5 โข (Baseโ๐บ) = (Baseโ๐บ) | |
5 | eqid 2737 | . . . . 5 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
6 | eqid 2737 | . . . . 5 โข (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) | |
7 | 4, 5, 6 | issubm2 18616 | . . . 4 โข (๐บ โ Mnd โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd))) |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd))) |
9 | snex 5389 | . . . . . . 7 โข {( I โพ ๐ด)} โ V | |
10 | idresefmnd.e | . . . . . . . 8 โข ๐ธ = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) | |
11 | 10, 4 | ressbas 17119 | . . . . . . 7 โข ({( I โพ ๐ด)} โ V โ ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) = (Baseโ๐ธ)) |
12 | 9, 11 | mp1i 13 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) = (Baseโ๐ธ)) |
13 | inss2 4190 | . . . . . 6 โข ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) โ (Baseโ๐บ) | |
14 | 12, 13 | eqsstrrdi 4000 | . . . . 5 โข (๐ด โ ๐ โ (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)) |
15 | 10 | eqcomi 2746 | . . . . . . . 8 โข (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) = ๐ธ |
16 | 15 | eleq1i 2829 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd โ ๐ธ โ Mnd) |
17 | 16 | biimpi 215 | . . . . . 6 โข ((๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd โ ๐ธ โ Mnd) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1136 | . . . . 5 โข (({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd) โ ๐ธ โ Mnd) |
19 | 14, 18 | anim12ci 615 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd)) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
20 | 19 | ex 414 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)))) |
21 | 8, 20 | sylbid 239 | . 2 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)))) |
22 | 2, 21 | mpd 15 | 1 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3446 โฉ cin 3910 โ wss 3911 {csn 4587 I cid 5531 โพ cres 5636 โcfv 6497 (class class class)co 7358 Basecbs 17084 โพs cress 17113 0gc0g 17322 Mndcmnd 18557 SubMndcsubmnd 18601 EndoFMndcefmnd 18679 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8649 df-map 8768 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-4 12219 df-5 12220 df-6 12221 df-7 12222 df-8 12223 df-9 12224 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-fz 13426 df-struct 17020 df-sets 17037 df-slot 17055 df-ndx 17067 df-base 17085 df-ress 17114 df-plusg 17147 df-tset 17153 df-0g 17324 df-mgm 18498 df-sgrp 18547 df-mnd 18558 df-submnd 18603 df-efmnd 18680 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |