![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > idresefmnd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set ๐ด as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on ๐ด to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on ๐ด. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
idressubmefmnd.g | โข ๐บ = (EndoFMndโ๐ด) |
idresefmnd.e | โข ๐ธ = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) |
Ref | Expression |
---|---|
idresefmnd | โข (๐ด โ ๐ โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | idressubmefmnd.g | . . 3 โข ๐บ = (EndoFMndโ๐ด) | |
2 | 1 | idressubmefmnd 18823 | . 2 โข (๐ด โ ๐ โ {( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ)) |
3 | 1 | efmndmnd 18814 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ โ ๐บ โ Mnd) |
4 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (Baseโ๐บ) = (Baseโ๐บ) | |
5 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
6 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) | |
7 | 4, 5, 6 | issubm2 18729 | . . . 4 โข (๐บ โ Mnd โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd))) |
8 | 3, 7 | syl 17 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd))) |
9 | snex 5424 | . . . . . . 7 โข {( I โพ ๐ด)} โ V | |
10 | idresefmnd.e | . . . . . . . 8 โข ๐ธ = (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) | |
11 | 10, 4 | ressbas 17188 | . . . . . . 7 โข ({( I โพ ๐ด)} โ V โ ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) = (Baseโ๐ธ)) |
12 | 9, 11 | mp1i 13 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) = (Baseโ๐ธ)) |
13 | inss2 4224 | . . . . . 6 โข ({( I โพ ๐ด)} โฉ (Baseโ๐บ)) โ (Baseโ๐บ) | |
14 | 12, 13 | eqsstrrdi 4032 | . . . . 5 โข (๐ด โ ๐ โ (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)) |
15 | 10 | eqcomi 2735 | . . . . . . . 8 โข (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) = ๐ธ |
16 | 15 | eleq1i 2818 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd โ ๐ธ โ Mnd) |
17 | 16 | biimpi 215 | . . . . . 6 โข ((๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd โ ๐ธ โ Mnd) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1132 | . . . . 5 โข (({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd) โ ๐ธ โ Mnd) |
19 | 14, 18 | anim12ci 613 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd)) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
20 | 19 | ex 412 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (({( I โพ ๐ด)} โ (Baseโ๐บ) โง (0gโ๐บ) โ {( I โพ ๐ด)} โง (๐บ โพs {( I โพ ๐ด)}) โ Mnd) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)))) |
21 | 8, 20 | sylbid 239 | . 2 โข (๐ด โ ๐ โ ({( I โพ ๐ด)} โ (SubMndโ๐บ) โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ)))) |
22 | 2, 21 | mpd 15 | 1 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ธ โ Mnd โง (Baseโ๐ธ) โ (Baseโ๐บ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โฉ cin 3942 โ wss 3943 {csn 4623 I cid 5566 โพ cres 5671 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Basecbs 17153 โพs cress 17182 0gc0g 17394 Mndcmnd 18667 SubMndcsubmnd 18712 EndoFMndcefmnd 18793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-tset 17225 df-0g 17396 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-submnd 18714 df-efmnd 18794 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |