Theorem idresefmnd 18865

Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set 𝐴 as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on 𝐴 to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idressubmefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
idresefmnd.e	⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})

Assertion

Ref	Expression
idresefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idresefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idressubmefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	idressubmefmnd 18864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺))
3	1	efmndmnd 18855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
7	4, 5, 6	issubm2 18770	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
8	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
9		snex 5375	. . . . . . 7 ⊢ {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
10		idresefmnd.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
11	10, 4	ressbas 17204	. . . . . . 7 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
12	9, 11	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
13		inss2 4173	. . . . . 6 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
14	12, 13	eqsstrrdi 3967	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
15	10	eqcomi 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
16	15	eleq1i 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd ↔ 𝐸 ∈ Mnd)
17	16	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd → 𝐸 ∈ Mnd)
18	17	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → 𝐸 ∈ Mnd)
19	14, 18	anim12ci 620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
20	19	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
21	8, 20	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
22	2, 21	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4562   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  SubMndcsubmnd 18748  EndoFMndcefmnd 18834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-efmnd 18835

This theorem is referenced by: (None)