Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idresefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idresefmnd 18144
 Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set 𝐴 as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on 𝐴 to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idressubmefmnd.g 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
idresefmnd.e 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
Assertion
Ref Expression
idresefmnd (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idresefmnd
StepHypRef Expression
1 idressubmefmnd.g . . 3 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
21idressubmefmnd 18143 . 2 (𝐴𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺))
31efmndmnd 18134 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6 eqid 2758 . . . . 5 (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
74, 5, 6issubm2 18049 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
83, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
9 snex 5304 . . . . . . 7 {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
10 idresefmnd.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
1110, 4ressbas 16626 . . . . . . 7 ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
129, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
13 inss2 4136 . . . . . 6 ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
1412, 13eqsstrrdi 3949 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
1510eqcomi 2767 . . . . . . . 8 (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
1615eleq1i 2842 . . . . . . 7 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd ↔ 𝐸 ∈ Mnd)
1716biimpi 219 . . . . . 6 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd → 𝐸 ∈ Mnd)
18173ad2ant3 1132 . . . . 5 (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → 𝐸 ∈ Mnd)
1914, 18anim12ci 616 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
2019ex 416 . . 3 (𝐴𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
218, 20sylbid 243 . 2 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
222, 21mpd 15 1 (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  {csn 4525   I cid 5433   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555   ↾s cress 16556  0gc0g 16785  Mndcmnd 17991  SubMndcsubmnd 18035  EndoFMndcefmnd 18113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-tset 16656  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-efmnd 18114 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator