MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idresefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idresefmnd 18824
Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set ๐ด as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on ๐ด to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on ๐ด. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idressubmefmnd.g ๐บ = (EndoFMndโ€˜๐ด)
idresefmnd.e ๐ธ = (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)})
Assertion
Ref Expression
idresefmnd (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ธ โˆˆ Mnd โˆง (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ)))

Proof of Theorem idresefmnd
StepHypRef Expression
1 idressubmefmnd.g . . 3 ๐บ = (EndoFMndโ€˜๐ด)
21idressubmefmnd 18823 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ {( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ))
31efmndmnd 18814 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
5 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
6 eqid 2726 . . . . 5 (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) = (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)})
74, 5, 6issubm2 18729 . . . 4 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ({( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ) โ†” ({( I โ†พ ๐ด)} โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ {( I โ†พ ๐ด)} โˆง (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd)))
83, 7syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ) โ†” ({( I โ†พ ๐ด)} โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ {( I โ†พ ๐ด)} โˆง (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd)))
9 snex 5424 . . . . . . 7 {( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ V
10 idresefmnd.e . . . . . . . 8 ๐ธ = (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)})
1110, 4ressbas 17188 . . . . . . 7 ({( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ V โ†’ ({( I โ†พ ๐ด)} โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) = (Baseโ€˜๐ธ))
129, 11mp1i 13 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({( I โ†พ ๐ด)} โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) = (Baseโ€˜๐ธ))
13 inss2 4224 . . . . . 6 ({( I โ†พ ๐ด)} โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โІ (Baseโ€˜๐บ)
1412, 13eqsstrrdi 4032 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ))
1510eqcomi 2735 . . . . . . . 8 (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) = ๐ธ
1615eleq1i 2818 . . . . . . 7 ((๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd โ†” ๐ธ โˆˆ Mnd)
1716biimpi 215 . . . . . 6 ((๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd โ†’ ๐ธ โˆˆ Mnd)
18173ad2ant3 1132 . . . . 5 (({( I โ†พ ๐ด)} โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ {( I โ†พ ๐ด)} โˆง (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd) โ†’ ๐ธ โˆˆ Mnd)
1914, 18anim12ci 613 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ({( I โ†พ ๐ด)} โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ {( I โ†พ ๐ด)} โˆง (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd)) โ†’ (๐ธ โˆˆ Mnd โˆง (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ)))
2019ex 412 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (({( I โ†พ ๐ด)} โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ {( I โ†พ ๐ด)} โˆง (๐บ โ†พs {( I โ†พ ๐ด)}) โˆˆ Mnd) โ†’ (๐ธ โˆˆ Mnd โˆง (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ))))
218, 20sylbid 239 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({( I โ†พ ๐ด)} โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ) โ†’ (๐ธ โˆˆ Mnd โˆง (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ))))
222, 21mpd 15 1 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ธ โˆˆ Mnd โˆง (Baseโ€˜๐ธ) โІ (Baseโ€˜๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  {csn 4623   I cid 5566   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  EndoFMndcefmnd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-efmnd 18794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator