Theorem idresefmnd 18867

Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set 𝐴 as base set and the function composition as group operation, constructed by (structure) restricting the monoid of endofunctions on 𝐴 to that singleton, is a monoid whose base set is a subset of the base set of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idressubmefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
idresefmnd.e	⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})

Assertion

Ref	Expression
idresefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idresefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idressubmefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	idressubmefmnd 18866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺))
3	1	efmndmnd 18857	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
7	4, 5, 6	issubm2 18772	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
8	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)))
9		snex 5382	. . . . . . 7 ⊢ {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
10		idresefmnd.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
11	10, 4	ressbas 17206	. . . . . . 7 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
12	9, 11	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
13		inss2 4179	. . . . . 6 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
14	12, 13	eqsstrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
15	10	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
16	15	eleq1i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd ↔ 𝐸 ∈ Mnd)
17	16	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd → 𝐸 ∈ Mnd)
18	17	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → 𝐸 ∈ Mnd)
19	14, 18	anim12ci 615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd)) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ {( I ↾ 𝐴)} ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Mnd) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
21	8, 20	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
22	2, 21	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  EndoFMndcefmnd 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-efmnd 18837

This theorem is referenced by: (None)