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Theorem primrootscoprmpow 42081
Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
primrootscoprmpow.1 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprmpow.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.3 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.4 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
primrootscoprmpow.5 (𝜑𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootscoprmpow.6 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)}
Assertion
Ref Expression
primrootscoprmpow (𝜑 → (𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑎,𝑖   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐸(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootscoprmpow
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝑈)) = (Base‘(𝑅s 𝑈))
2 eqid 2735 . . . . . 6 (.g‘(𝑅s 𝑈)) = (.g‘(𝑅s 𝑈))
3 primrootscoprmpow.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
4 primrootscoprmpow.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
5 primrootscoprmpow.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)}
63, 4, 5primrootsunit 42080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅s 𝑈) ∈ Abel))
76simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅s 𝑈) ∈ Abel)
87ablcmnd 19821 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝑈) ∈ CMnd)
98cmnmndd 19837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅s 𝑈) ∈ Mnd)
10 primrootscoprmpow.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 12585 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
12 primrootscoprmpow.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
136simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
1413eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
1512, 14mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
164nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
178, 16, 2isprimroot 42075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))))
1817biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))))
1915, 18mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)))
2019simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
211, 2, 9, 11, 20mulgnn0cld 19126 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
225eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝑈𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)})
23 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝑖(+g𝑅)𝑎) = (𝑖(+g𝑅)𝑐))
2423eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅) ↔ (𝑖(+g𝑅)𝑐) = (0g𝑅)))
2524rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑐) = (0g𝑅)))
2625elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)} ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑐) = (0g𝑅)))
2722, 26bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝑈 ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑐) = (0g𝑅)))
2827biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝑈 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑐) = (0g𝑅)))
2928simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝑈𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑈) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
3130ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑐𝑈𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
3231ssrdv 4001 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
33 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (0g𝑅) → (𝑖(+g𝑅)𝑎) = (𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)))
3433eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (0g𝑅) → ((𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅) ↔ (𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
3534rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (0g𝑅) → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
363cmnmndd 19837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3937, 38mndidcl 18775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4036, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 = (0g𝑅)) → 𝑖 = (0g𝑅))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = (0g𝑅)) → (𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)))
4342eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (0g𝑅)) → ((𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
44 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4537, 44, 38mndlid 18780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4636, 40, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4740, 43, 46rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4835, 40, 47elrabd 3697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)})
495a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)})
5049eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0g𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g𝑅)𝑎) = (0g𝑅)}))
5148, 50mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ 𝑈)
5232, 51, 93jca 1127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅s 𝑈) ∈ Mnd))
53 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑅s 𝑈) = (𝑅s 𝑈)
5437, 38, 53issubm2 18830 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅s 𝑈) ∈ Mnd)))
5536, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅s 𝑈) ∈ Mnd)))
5652, 55mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
5753, 37ressbas2 17283 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑈 = (Base‘(𝑅s 𝑈)))
5832, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Base‘(𝑅s 𝑈)))
5958eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑈𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
6020, 59mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑈)
61 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.g𝑅) = (.g𝑅)
6261, 53, 2submmulg 19149 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ∧ 𝐸 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝐸(.g𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
6356, 11, 60, 62syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸(.g𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
6463eleq1d 2824 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ↔ (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
6521, 64mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
6663oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
677ablgrpd 19819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝑈) ∈ Grp)
6816nn0zd 12637 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6911nn0zd 12637 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
7068, 69, 203jca 1127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
711, 2mulgass 19142 . . . . . . 7 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
7267, 70, 71syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
734nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7410nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐾))
7675oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
7769, 68, 203jca 1127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
781, 2mulgass 19142 . . . . . . . . 9 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
7967, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
8019simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))))
82 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅s 𝑈)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))
831, 2, 82mulgz 19133 . . . . . . . . . 10 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8467, 69, 83syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8581, 84eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8679, 85eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8776, 86eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8872, 87eqtr3d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
8966, 88eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
9019simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))
91 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
9291nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℂ)
9392mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = 𝑙)
9493eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = (1 · 𝑙))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
96 primrootscoprmpow.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9796ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9895, 97eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) = 1)
9995, 98eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = (𝐸 gcd 𝐾))
10099oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
10194, 100eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
102101oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
10395oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙))
104103oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
105 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑𝑙 ∈ ℕ0))
106 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
107 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
108105, 106, 107jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
109 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
110108, 109jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
11174ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
112 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
113112zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
114111, 113mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℂ)
11573ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
116 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
117116zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
118115, 117mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
119 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
120119nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121114, 118, 120adddird 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)))
122121oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
12367ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅s 𝑈) ∈ Grp)
12469ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
125124, 112zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℤ)
126119nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
127125, 126zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ)
12868ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
129128, 116zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℤ)
130129, 126zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ)
13120ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
132127, 130, 1313jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
133 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+g‘(𝑅s 𝑈)) = (+g‘(𝑅s 𝑈))
1341, 2, 133mulgdir 19137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
135123, 132, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
13674ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
137 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
138137zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
139 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
140139nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
141136, 138, 140mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)))
142138, 140mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℂ)
143136, 142mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
144141, 143eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
14667ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑅s 𝑈) ∈ Grp)
147139nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
148137, 147zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ)
14969ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
15020ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
151148, 149, 1503jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
1521, 2mulgass 19142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
153146, 151, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
15421ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
155137, 147, 1543jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
1561, 2mulgass 19142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))))
157146, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))))
15856adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
15911adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16060adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑈)
161158, 159, 160, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐸(.g𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
162161ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
163162eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g𝑅)𝑀))
164163oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)))
165 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
166164, 165eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
167166oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))) = (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))))
1681, 2, 82mulgz 19133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
169146, 137, 168syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
170167, 169eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
171157, 170eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
172153, 171eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
173145, 172eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
175 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑𝑙 ∈ ℕ0))
176175, 116jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
17773ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
178 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
179178zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
180 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
181180nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
182177, 179, 181mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)))
183179, 181mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℂ)
184177, 183mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
185182, 184eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
186185oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀))
18767ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅s 𝑈) ∈ Grp)
188180nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
189178, 188zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ)
19068ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
19120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
192189, 190, 1913jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈))))
1931, 2mulgass 19142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
194187, 192, 193syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)))
19580ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
196195oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))))
1971, 2, 82mulgz 19133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
198187, 189, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
199196, 198eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
200194, 199eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
201186, 200eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
202176, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
203174, 202oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = ((0g‘(𝑅s 𝑈))(+g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))))
2041, 82grpidcl 18996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅s 𝑈) ∈ Grp → (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
205123, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)))
2061, 133, 82, 123, 205grpridd 19001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0g‘(𝑅s 𝑈))(+g‘(𝑅s 𝑈))(0g‘(𝑅s 𝑈))) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
207203, 206eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
208135, 207eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
209122, 208eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
210110, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
211210adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
212104, 211eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
213102, 212eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)))
214 simp-5r 786 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))
215213, 214mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾𝑙)
216 bezout 16577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
21769, 68, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
218217ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
219215, 218r19.29vva 3214 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈))) → 𝐾𝑙)
220219ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)) → ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))
221220ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙) → ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)))
222221ralimdva 3165 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)))
22390, 222mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))
22465, 89, 2233jca 1127 . . 3 (𝜑 → ((𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙)))
225 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2264, 225syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
2278, 226, 2isprimroot 42075 . . 3 (𝜑 → ((𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ ((𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅s 𝑈))(𝐸(.g𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅s 𝑈)) → 𝐾𝑙))))
228224, 227mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
22913eleq2d 2825 . 2 (𝜑 → ((𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
230228, 229mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐸(.g𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  CMndccmn 19813  Abelcabl 19814   PrimRoots cprimroots 42073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-primroots 42074
This theorem is referenced by:  primrootscoprf  42083  primrootscoprbij  42084
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