Theorem primrootscoprmpow 42847

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprmpow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprmpow.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
primrootscoprmpow.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootscoprmpow.6	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprmpow	⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐸(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootscoprmpow

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
3		primrootscoprmpow.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprmpow.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprmpow.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
6	3, 4, 5	primrootsunit 42846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))
7	6	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel)
8	7	ablcmnd 19859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ CMnd)
9	8	cmnmndd 19875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
10		primrootscoprmpow.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
12		primrootscoprmpow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
13	6	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
14	13	eleq2d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
15	12, 14	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
16	4	nnnn0d 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	8, 16, 2	isprimroot 42841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
18	17	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
19	15, 18	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
20	19	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
21	1, 2, 9, 11, 20	mulgnn0cld 19162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
22	5	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
23		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑖(+g‘𝑅)𝑐))
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
25	24	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
26	25	elrab 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)} ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
29	28	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
31	30	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑈 → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	ssrdv 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
33		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
35	34	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
36	3	cmnmndd 19875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
37		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39	37, 38	mndidcl 18808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	36, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
41		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = (0g‘𝑅))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
43	42	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → ((𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
45	37, 44, 38	mndlid 18813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
46	36, 40, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
47	40, 43, 46	rspcedvd 3584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
48	35, 40, 47	elrabd 3653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
50	49	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}))
51	48, 50	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
52	32, 51, 9	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
54	37, 38, 53	issubm2 18863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
55	36, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
56	52, 55	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
57	53, 37	ressbas2 17299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑈 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
58	32, 57	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
59	58	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
60	20, 59	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
61		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
62	61, 53, 2	submmulg 19185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
63	56, 11, 60, 62	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
64	63	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
65	21, 64	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	63	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
67	7	ablgrpd 19857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68	16	nn0zd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
69	11	nn0zd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
70	68, 69, 20	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	1, 2	mulgass 19178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
72	67, 70, 71	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
73	4	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
74	10	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐾))
76	75	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
77	69, 68, 20	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
78	1, 2	mulgass 19178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
79	67, 77, 78	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
80	19	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
81	80	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
82		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
83	1, 2, 82	mulgz 19169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
84	67, 69, 83	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
85	81, 84	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
86	79, 85	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
87	76, 86	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
88	72, 87	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
89	66, 88	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
90	19	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
91		simp-6r 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
92	91	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℂ)
93	92	mullidd 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = 𝑙)
94	93	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = (1 · 𝑙))
95		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
96		primrootscoprmpow.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
97	96	ad6antr 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
98	95, 97	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) = 1)
99	95, 98	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = (𝐸 gcd 𝐾))
100	99	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
101	94, 100	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
102	101	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
103	95	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙))
104	103	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
105		simp-4l 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))
106		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
107		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
108	105, 106, 107	jca31 523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
109		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
110	108, 109	jca 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
111	74	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
112		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
113	112	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
114	111, 113	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℂ)
115	73	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
116		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
117	116	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
118	115, 117	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
119		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
120	119	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121	114, 118, 120	adddird 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)))
122	121	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
123	67	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
124	69	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
125	124, 112	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℤ)
126	119	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
127	125, 126	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ)
128	68	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
129	128, 116	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℤ)
130	129, 126	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ)
131	20	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
132	127, 130, 131	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
133		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
134	1, 2, 133	mulgdir 19173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
135	123, 132, 134	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
136	74	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
137		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
138	137	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
139		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
140	139	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)))
142	138, 140	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℂ)
143	136, 142	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
144	141, 143	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
145	144	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
146	67	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
147	139	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
148	137, 147	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ)
149	69	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
150	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
151	148, 149, 150	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
152	1, 2	mulgass 19178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
153	146, 151, 152	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
154	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
155	137, 147, 154	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
156	1, 2	mulgass 19178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))))
157	146, 155, 156	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))))
158	56	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
159	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝐸 ∈ ℕ0)
160	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝑈)
161	158, 159, 160, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
162	161	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
163	162	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘𝑅)𝑀))
164	163	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)))
165		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
166	164, 165	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
167	166	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
168	1, 2, 82	mulgz 19169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
169	146, 137, 168	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
170	167, 169	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
171	157, 170	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
172	153, 171	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
173	145, 172	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
174	173	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
175		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))
176	175, 116	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
177	73	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
178		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
179	178	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
180		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
181	180	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
182	177, 179, 181	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)))
183	179, 181	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℂ)
184	177, 183	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
185	182, 184	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
186	185	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
187	67	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
188	180	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
189	178, 188	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ)
190	68	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
191	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
192	189, 190, 191	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
193	1, 2	mulgass 19178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
194	187, 192, 193	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
195	80	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
196	195	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
197	1, 2, 82	mulgz 19169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
198	187, 189, 197	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
199	196, 198	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
200	194, 199	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
201	186, 200	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
202	176, 201	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
203	174, 202	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
204	1, 82	grpidcl 19033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp → (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
205	123, 204	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
206	1, 133, 82, 123, 205	grpridd 19038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
207	203, 206	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
208	135, 207	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
209	122, 208	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
210	110, 209	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
211	210	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
212	104, 211	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
213	102, 212	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
214		simp-5r 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
215	213, 214	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∥ 𝑙)
216		bezout 16602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
217	69, 68, 216	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
218	217	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
219	215, 218	r19.29vva 3225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) → 𝐾 ∥ 𝑙)
220	219	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
221	220	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
222	221	ralimdva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
223	90, 222	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
224	65, 89, 223	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
225		nnnn0 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
226	4, 225	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
227	8, 226, 2	isprimroot 42841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
228	224, 227	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
229	13	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
230	228, 229	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592   ∥ cdvds 16311   gcd cgcd 16553  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  SubMndcsubmnd 18841  Grpcgrp 19001  ._gcmg 19134  CMndccmn 19851  Abelcabl 19852   PrimRoots cprimroots 42839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-primroots 42840

This theorem is referenced by:  primrootscoprf  42849  primrootscoprbij  42850