Theorem primrootscoprmpow 42591

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprmpow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprmpow.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprmpow.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
primrootscoprmpow.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootscoprmpow.6	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprmpow	⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐸(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootscoprmpow

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
3		primrootscoprmpow.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprmpow.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprmpow.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
6	3, 4, 5	primrootsunit 42590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))
7	6	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel)
8	7	ablcmnd 19761	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ CMnd)
9	8	cmnmndd 19777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
10		primrootscoprmpow.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
12		primrootscoprmpow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
13	6	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
14	13	eleq2d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
15	12, 14	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
16	4	nnnn0d 12496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	8, 16, 2	isprimroot 42585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
18	17	biimpd 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
19	15, 18	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
20	19	simp1d 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
21	1, 2, 9, 11, 20	mulgnn0cld 19069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
22	5	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
23		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑖(+g‘𝑅)𝑐))
24	23	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
25	24	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
26	25	elrab 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)} ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitri 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑐) = (0g‘𝑅)))
29	28	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑈 → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
31	30	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑈 → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	ssrdv 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
33		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
34	33	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
35	34	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝑅) → (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
36	3	cmnmndd 19777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
37		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39	37, 38	mndidcl 18715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	36, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
41		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = (0g‘𝑅))
42	41	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → (𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
43	42	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (0g‘𝑅)) → ((𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
44		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
45	37, 44, 38	mndlid 18720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
46	36, 40, 45	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
47	40, 43, 46	rspcedvd 3569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
48	35, 40, 47	elrabd 3638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)})
50	49	eleq2d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ↔ (0g‘𝑅) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}))
51	48, 50	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
52	32, 51, 9	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd))
53		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑈) = (𝑅 ↾s 𝑈)
54	37, 38, 53	issubm2 18770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
55	36, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
56	52, 55	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
57	53, 37	ressbas2 17206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑈 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
58	32, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
59	58	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
60	20, 59	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
61		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
62	61, 53, 2	submmulg 19092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅) ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
63	56, 11, 60, 62	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
64	63	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
65	21, 64	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
66	63	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
67	7	ablgrpd 19759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68	16	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
69	11	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
70	68, 69, 20	3jca 1134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
71	1, 2	mulgass 19085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
72	67, 70, 71	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
73	4	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
74	10	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐾))
76	75	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
77	69, 68, 20	3jca 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
78	1, 2	mulgass 19085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
79	67, 77, 78	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
80	19	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
81	80	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
82		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
83	1, 2, 82	mulgz 19076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
84	67, 69, 83	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
85	81, 84	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
86	79, 85	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
87	76, 86	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
88	72, 87	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
89	66, 88	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
90	19	simp3d 1150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
91		simp-6r 793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
92	91	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 ∈ ℂ)
93	92	mullidd 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = 𝑙)
94	93	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = (1 · 𝑙))
95		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
96		primrootscoprmpow.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
97	96	ad6antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
98	95, 97	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) = 1)
99	95, 98	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = (𝐸 gcd 𝐾))
100	99	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (1 · 𝑙) = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
101	94, 100	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑙 = ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙))
102	101	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
103	95	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙))
104	103	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
105		simp-4l 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))
106		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
107		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
108	105, 106, 107	jca31 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
109		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
110	108, 109	jca 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
111	74	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
112		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
113	112	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
114	111, 113	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℂ)
115	73	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
116		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
117	116	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
118	115, 117	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
119		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
120	119	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121	114, 118, 120	adddird 11168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙) = (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)))
122	121	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
123	67	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
124	69	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
125	124, 112	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝑥) ∈ ℤ)
126	119	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
127	125, 126	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ)
128	68	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
129	128, 116	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℤ)
130	129, 126	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ)
131	20	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
132	127, 130, 131	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
133		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
134	1, 2, 133	mulgdir 19080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
135	123, 132, 134	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
136	74	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℂ)
137		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
138	137	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
139		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
140	139	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)))
142	138, 140	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℂ)
143	136, 142	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · (𝑥 · 𝑙)) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
144	141, 143	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) = ((𝑥 · 𝑙) · 𝐸))
145	144	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
146	67	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
147	139	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
148	137, 147	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ)
149	69	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
150	20	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
151	148, 149, 150	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
152	1, 2	mulgass 19085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑥 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
153	146, 151, 152	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
154	21	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
155	137, 147, 154	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
156	1, 2	mulgass 19085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))))
157	146, 155, 156	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))))
158	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑅))
159	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝐸 ∈ ℕ0)
160	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝑈)
161	158, 159, 160, 62	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
162	161	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) = (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
163	162	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝐸(.g‘𝑅)𝑀))
164	163	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)))
165		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
166	164, 165	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
167	166	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
168	1, 2, 82	mulgz 19076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
169	146, 137, 168	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
170	167, 169	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
171	157, 170	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
172	153, 171	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑙) · 𝐸)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
173	145, 172	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
175		simplll 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))
176	175, 116	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
177	73	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
178		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
179	178	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
180		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℕ0)
181	180	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℂ)
182	177, 179, 181	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)))
183	179, 181	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℂ)
184	177, 183	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑦 · 𝑙)) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
185	182, 184	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙) = ((𝑦 · 𝑙) · 𝐾))
186	185	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
187	67	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
188	180	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
189	178, 188	zmulcld 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ)
190	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
191	20	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
192	189, 190, 191	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
193	1, 2	mulgass 19085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
194	187, 192, 193	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
195	80	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
196	195	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
197	1, 2, 82	mulgz 19076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑙) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
198	187, 189, 197	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
199	196, 198	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
200	194, 199	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑦 · 𝑙) · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
201	186, 200	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
202	176, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
203	174, 202	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
204	1, 82	grpidcl 18939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp → (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
205	123, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
206	1, 133, 82, 123, 205	grpridd 18944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
207	203, 206	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(((𝐾 · 𝑦) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
208	135, 207	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) · 𝑙) + ((𝐾 · 𝑦) · 𝑙))(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
209	122, 208	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
210	110, 209	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
212	104, 211	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (((𝐸 gcd 𝐾) · 𝑙)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
213	102, 212	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
214		simp-5r 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
215	213, 214	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∥ 𝑙)
216		bezout 16510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
217	69, 68, 216	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
218	217	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐸 gcd 𝐾) = ((𝐸 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
219	215, 218	r19.29vva 3200	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) ∧ (𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) → 𝐾 ∥ 𝑙)
220	219	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
221	220	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙) → ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
222	221	ralimdva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
223	90, 222	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))
224	65, 89, 223	3jca 1134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
225		nnnn0 12442	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
226	4, 225	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
227	8, 226, 2	isprimroot 42585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐸(.g‘𝑅)𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
228	224, 227	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
229	13	eleq2d 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾)))
230	228, 229	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸(.g‘𝑅)𝑀) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522   ∥ cdvds 16219   gcd cgcd 16461  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  SubMndcsubmnd 18748  Grpcgrp 18907  ._gcmg 19041  CMndccmn 19753  Abelcabl 19754   PrimRoots cprimroots 42583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-primroots 42584

This theorem is referenced by:  primrootscoprf  42593  primrootscoprbij  42594