Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isupwlkg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isupwlkg 42564
 Description: Generalization of isupwlk 42563: Conditions for two classes to represent a simple walk. (Contributed by AV, 5-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upwlksfval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isupwlkg (𝐺𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem isupwlkg
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upwlksfval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upwlksfval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upwlksfval 42562 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓𝑘)) = {(𝑝𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
43brfvopab 6959 . . 3 (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
54a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6 elex 3428 . . . . 5 (𝐺𝑊𝐺 ∈ V)
7 elex 3428 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 ∈ V)
8 ovex 6936 . . . . . . . . 9 (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
91fvexi 6446 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
108, 9fpm 8154 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ (𝑉pm (0...(♯‘𝐹))))
1110elexd 3430 . . . . . . 7 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ V)
127, 11anim12i 608 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13123adant3 1168 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
146, 13anim12i 608 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1514ex 403 . . 3 (𝐺𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
16 3anass 1122 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1715, 16syl6ibr 244 . 2 (𝐺𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
181, 2isupwlk 42563 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
1918a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))))
205, 17, 19pm5.21ndd 371 1 (𝐺𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116  Vcvv 3413  {cpr 4398   class class class wbr 4872  dom cdm 5341  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↑pm cpm 8122  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254  ...cfz 12618  ..^cfzo 12759  ♯chash 13409  Word cword 13573  Vtxcvtx 26293  iEdgciedg 26294  UPWalkscupwlks 42560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-hash 13410  df-word 13574  df-upwlks 42561 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator