Theorem isupwlkg 48636

Description: Generalization of isupwlk 48635: Conditions for two classes to represent a simple walk. (Contributed by AV, 5-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upwlksfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isupwlkg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem isupwlkg

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwlksfval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upwlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upwlksfval 48634	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
4	3	brfvopab 7414	. . 3 ⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6		elex 3452	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
7		elex 3452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ V)
8		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
9	1	fvexi 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
10	8, 9	fpm 8814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
11	10	elexd 3454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ V)
12	7, 11	anim12i 619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
14	6, 13	anim12i 619	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
15	14	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
16		3anass 1100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
17	15, 16	imbitrrdi 253	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
18	1, 2	isupwlk 48635	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))))
20	5, 17, 19	pm5.21ndd 380	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  {cpr 4558   class class class wbr 5073  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_pm cpm 8765  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ...cfz 13453  ..^cfzo 13600  ♯chash 14284  Word cword 14467  Vtxcvtx 29084  iEdgciedg 29085  UPWalkscupwlks 48632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-upwlks 48633

This theorem is referenced by: (None)