Theorem isupwlkg 48247

Description: Generalization of isupwlk 48246: Conditions for two classes to represent a simple walk. (Contributed by AV, 5-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upwlksfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isupwlkg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem isupwlkg

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwlksfval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upwlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upwlksfval 48245	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
4	3	brfvopab 7403	. . 3 ⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6		elex 3457	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
7		elex 3457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ V)
8		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
9	1	fvexi 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
10	8, 9	fpm 8799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
11	10	elexd 3460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ V)
12	7, 11	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
14	6, 13	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
16		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
17	15, 16	imbitrrdi 252	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
18	1, 2	isupwlk 48246	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))))
20	5, 17, 19	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  {cpr 4575   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_pm cpm 8751  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  UPWalkscupwlks 48243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-upwlks 48244

This theorem is referenced by: (None)