Theorem expp1d 13505

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  expmordi  13525  facubnd  13654  hashmap  13790  binomlem  15178  incexclem  15185  geoserg  15215  cvgrat  15233  efcllem  15425  oexpneg  15688  pwp1fsum  15736  bitsp1  15774  bitsmod  15779  bitsinv1lem  15784  sadcaddlem  15800  sadadd2lem  15802  rplpwr  15901  eulerthlem2  16113  prmdiv  16116  vfermltlALT  16133  pcprendvds2  16172  pcpremul  16174  prmpwdvds  16234  2expltfac  16420  plyco  24825  dgrcolem1  24857  ftalem5  25648  bposlem5  25858  pntlemq  26171  pntlemr  26172  pntlemj  26173  ostth2lem2  26204  ostth2lem3  26205  rusgrnumwwlks  27747  ex-ind-dvds  28234  nexple  31263  faclimlem3  32972  faclim2  32975  nn0prpwlem  33665  3cubeslem2  39275  3cubeslem3l  39276  3cubeslem3r  39277  mzpexpmpt  39335  pell14qrexpclnn0  39456  jm2.17a  39550  jm2.17b  39551  jm2.17c  39552  jm2.18  39578  cnsrexpcl  39758  inductionexd  40498  binomcxplemnotnn0  40681  stoweidlem3  42282  stoweidlem19  42298  stirlinglem4  42356  stirlinglem7  42359  etransclem23  42536  sqrtpwpw2p  43694  fmtnorec2lem  43698  fmtnorec4  43705  fmtnoprmfac1lem  43720  fmtnoprmfac2  43723  fmtnofac1  43726  lighneallem3  43766  oexpnegALTV  43836  fppr2odd  43890  tgoldbachlt  43975  dignn0flhalflem2  44670  dignn0ehalf  44671  nn0sumshdiglemA  44673  nn0sumshdiglemB  44674