Theorem expp1d 14174

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14095	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  expmordi  14194  facubnd  14327  hashmap  14462  binomlem  15873  incexclem  15880  geoserg  15910  cvgrat  15927  efcllem  16121  oexpneg  16393  pwp1fsum  16439  bitsp1  16479  bitsmod  16484  bitsinv1lem  16489  sadcaddlem  16505  sadadd2lem  16507  rplpwr  16606  eulerthlem2  16831  prmdiv  16834  vfermltlALT  16852  pcprendvds2  16891  pcpremul  16893  prmpwdvds  16954  2expltfac  17142  plyco  26359  dgrcolem1  26391  ftalem5  27199  bposlem5  27410  pntlemq  27723  pntlemr  27724  pntlemj  27725  ostth2lem2  27756  ostth2lem3  27757  rusgrnumwwlks  30235  ex-ind-dvds  30721  nexple  33090  2exple2exp  33091  oexpled  33093  fldext2rspun  33989  fldext2chn  34035  faclimlem3  36108  faclim2  36111  nn0prpwlem  36695  3lexlogpow5ineq5  42689  nicomachus  42933  abvexp  43162  3cubeslem2  43278  3cubeslem3l  43279  3cubeslem3r  43280  mzpexpmpt  43338  pell14qrexpclnn0  43455  jm2.17a  43549  jm2.17b  43550  jm2.17c  43551  jm2.18  43577  cnsrexpcl  43754  inductionexd  44743  binomcxplemnotnn0  44930  stoweidlem3  46575  stoweidlem19  46591  stirlinglem4  46649  stirlinglem7  46652  etransclem23  46829  sin3t  47463  cos3t  47464  sin5tlem1  47465  sin5tlem2  47466  sin5tlem4  47468  sqrtpwpw2p  48145  fmtnorec2lem  48149  fmtnorec4  48156  fmtnoprmfac1lem  48171  fmtnoprmfac2  48174  fmtnofac1  48177  lighneallem3  48214  oexpnegALTV  48297  fppr2odd  48351  tgoldbachlt  48436  dignn0flhalflem2  49247  dignn0ehalf  49248  nn0sumshdiglemA  49250  nn0sumshdiglemB  49251  itcovalt2lem2lem2  49305