Theorem expp1d 14293

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  expmordi  14313  facubnd  14447  hashmap  14583  binomlem  16003  incexclem  16010  geoserg  16040  cvgrat  16057  efcllem  16248  oexpneg  16520  pwp1fsum  16566  bitsp1  16606  bitsmod  16611  bitsinv1lem  16616  sadcaddlem  16632  sadadd2lem  16634  rplpwr  16737  eulerthlem2  16964  prmdiv  16967  vfermltlALT  16985  pcprendvds2  17024  pcpremul  17026  prmpwdvds  17087  2expltfac  17275  plyco  26565  dgrcolem1  26597  ftalem5  27409  bposlem5  27620  pntlemq  27933  pntlemr  27934  pntlemj  27935  ostth2lem2  27966  ostth2lem3  27967  rusgrnumwwlks  30571  ex-ind-dvds  31067  nexple  33470  2exple2exp  33471  oexpled  33473  fldext2rspun  34360  fldext2chn  34406  faclimlem3  36602  faclim2  36605  nn0prpwlem  37202  3lexlogpow5ineq5  43203  nicomachus  43462  abvexp  43689  3cubeslem2  43788  3cubeslem3l  43789  3cubeslem3r  43790  mzpexpmpt  43849  pell14qrexpclnn0  43966  jm2.17a  44060  jm2.17b  44061  jm2.17c  44062  jm2.18  44088  cnsrexpcl  44260  inductionexd  45248  binomcxplemnotnn0  45433  stoweidlem3  47106  stoweidlem19  47122  stirlinglem4  47180  stirlinglem7  47183  etransclem23  47360  sin3t  48010  cos3t  48011  sin5tlem1  48012  sin5tlem2  48013  sin5tlem4  48015  sqrtpwpw2p  48716  fmtnorec2lem  48720  fmtnorec4  48727  fmtnoprmfac1lem  48742  fmtnoprmfac2  48745  fmtnofac1  48748  lighneallem3  48785  oexpnegALTV  48868  fppr2odd  48922  tgoldbachlt  49007  dignn0flhalflem2  49821  dignn0ehalf  49822  nn0sumshdiglemA  49824  nn0sumshdiglemB  49825  itcovalt2lem2lem2  49879