Theorem expp1d 14111

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expmordi  14131  facubnd  14259  hashmap  14394  binomlem  15774  incexclem  15781  geoserg  15811  cvgrat  15828  efcllem  16020  oexpneg  16287  pwp1fsum  16333  bitsp1  16371  bitsmod  16376  bitsinv1lem  16381  sadcaddlem  16397  sadadd2lem  16399  rplpwr  16498  eulerthlem2  16714  prmdiv  16717  vfermltlALT  16734  pcprendvds2  16773  pcpremul  16775  prmpwdvds  16836  2expltfac  17025  plyco  25754  dgrcolem1  25786  ftalem5  26578  bposlem5  26788  pntlemq  27101  pntlemr  27102  pntlemj  27103  ostth2lem2  27134  ostth2lem3  27135  rusgrnumwwlks  29225  ex-ind-dvds  29711  nexple  33002  faclimlem3  34710  faclim2  34713  nn0prpwlem  35202  3lexlogpow5ineq5  40920  nicomachus  41210  3cubeslem2  41413  3cubeslem3l  41414  3cubeslem3r  41415  mzpexpmpt  41473  pell14qrexpclnn0  41594  jm2.17a  41689  jm2.17b  41690  jm2.17c  41691  jm2.18  41717  cnsrexpcl  41897  inductionexd  42896  binomcxplemnotnn0  43105  stoweidlem3  44709  stoweidlem19  44725  stirlinglem4  44783  stirlinglem7  44786  etransclem23  44963  sqrtpwpw2p  46196  fmtnorec2lem  46200  fmtnorec4  46207  fmtnoprmfac1lem  46222  fmtnoprmfac2  46225  fmtnofac1  46228  lighneallem3  46265  oexpnegALTV  46335  fppr2odd  46389  tgoldbachlt  46474  dignn0flhalflem2  47292  dignn0ehalf  47293  nn0sumshdiglemA  47295  nn0sumshdiglemB  47296  itcovalt2lem2lem2  47350