Theorem expp1d 14203

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  expmordi  14223  facubnd  14356  hashmap  14492  binomlem  15909  incexclem  15916  geoserg  15946  cvgrat  15963  efcllem  16156  oexpneg  16428  pwp1fsum  16474  bitsp1  16514  bitsmod  16519  bitsinv1lem  16524  sadcaddlem  16540  sadadd2lem  16542  rplpwr  16641  eulerthlem2  16866  prmdiv  16869  vfermltlALT  16887  pcprendvds2  16926  pcpremul  16928  prmpwdvds  16989  2expltfac  17177  plyco  26435  dgrcolem1  26467  ftalem5  27278  bposlem5  27489  pntlemq  27802  pntlemr  27803  pntlemj  27804  ostth2lem2  27835  ostth2lem3  27836  rusgrnumwwlks  30363  ex-ind-dvds  30849  nexple  33214  2exple2exp  33215  oexpled  33217  fldext2rspun  34103  fldext2chn  34149  faclimlem3  36258  faclim2  36261  nn0prpwlem  36874  3lexlogpow5ineq5  42868  nicomachus  43114  abvexp  43341  3cubeslem2  43457  3cubeslem3l  43458  3cubeslem3r  43459  mzpexpmpt  43517  pell14qrexpclnn0  43634  jm2.17a  43728  jm2.17b  43729  jm2.17c  43730  jm2.18  43756  cnsrexpcl  43933  inductionexd  44922  binomcxplemnotnn0  45107  stoweidlem3  46758  stoweidlem19  46774  stirlinglem4  46832  stirlinglem7  46835  etransclem23  47012  sin3t  47649  cos3t  47650  sin5tlem1  47651  sin5tlem2  47652  sin5tlem4  47654  sqrtpwpw2p  48331  fmtnorec2lem  48335  fmtnorec4  48342  fmtnoprmfac1lem  48357  fmtnoprmfac2  48360  fmtnofac1  48363  lighneallem3  48400  oexpnegALTV  48483  fppr2odd  48537  tgoldbachlt  48622  dignn0flhalflem2  49437  dignn0ehalf  49438  nn0sumshdiglemA  49440  nn0sumshdiglemB  49441  itcovalt2lem2lem2  49495