Theorem expp1d 14100

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expmordi  14120  facubnd  14253  hashmap  14388  binomlem  15785  incexclem  15792  geoserg  15822  cvgrat  15839  efcllem  16033  oexpneg  16305  pwp1fsum  16351  bitsp1  16391  bitsmod  16396  bitsinv1lem  16401  sadcaddlem  16417  sadadd2lem  16419  rplpwr  16518  eulerthlem2  16743  prmdiv  16746  vfermltlALT  16764  pcprendvds2  16803  pcpremul  16805  prmpwdvds  16866  2expltfac  17054  plyco  26216  dgrcolem1  26248  ftalem5  27054  bposlem5  27265  pntlemq  27578  pntlemr  27579  pntlemj  27580  ostth2lem2  27611  ostth2lem3  27612  rusgrnumwwlks  30060  ex-ind-dvds  30546  nexple  32932  2exple2exp  32933  oexpled  32935  fldext2rspun  33842  fldext2chn  33888  faclimlem3  35943  faclim2  35946  nn0prpwlem  36520  3lexlogpow5ineq5  42513  nicomachus  42758  abvexp  42991  3cubeslem2  43131  3cubeslem3l  43132  3cubeslem3r  43133  mzpexpmpt  43191  pell14qrexpclnn0  43312  jm2.17a  43406  jm2.17b  43407  jm2.17c  43408  jm2.18  43434  cnsrexpcl  43611  inductionexd  44600  binomcxplemnotnn0  44801  stoweidlem3  46449  stoweidlem19  46465  stirlinglem4  46523  stirlinglem7  46526  etransclem23  46703  sin3t  47335  cos3t  47336  sin5tlem1  47337  sin5tlem2  47338  sin5tlem4  47340  sqrtpwpw2p  48013  fmtnorec2lem  48017  fmtnorec4  48024  fmtnoprmfac1lem  48039  fmtnoprmfac2  48042  fmtnofac1  48045  lighneallem3  48082  oexpnegALTV  48165  fppr2odd  48219  tgoldbachlt  48304  dignn0flhalflem2  49104  dignn0ehalf  49105  nn0sumshdiglemA  49107  nn0sumshdiglemB  49108  itcovalt2lem2lem2  49162