Theorem expp1d 14317

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  ℕ₀cn0 12633  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  expmordi  14337  facubnd  14471  hashmap  14607  binomlem  16027  incexclem  16034  geoserg  16064  cvgrat  16081  efcllem  16272  oexpneg  16544  pwp1fsum  16590  bitsp1  16630  bitsmod  16635  bitsinv1lem  16640  sadcaddlem  16656  sadadd2lem  16658  rplpwr  16761  eulerthlem2  16988  prmdiv  16991  vfermltlALT  17009  pcprendvds2  17048  pcpremul  17050  prmpwdvds  17111  2expltfac  17299  plyco  26590  dgrcolem1  26622  ftalem5  27434  bposlem5  27645  pntlemq  27958  pntlemr  27959  pntlemj  27960  ostth2lem2  27991  ostth2lem3  27992  rusgrnumwwlks  30596  ex-ind-dvds  31092  nexple  33494  2exple2exp  33495  oexpled  33497  fldext2rspun  34384  fldext2chn  34430  faclimlem3  36688  faclim2  36691  nn0prpwlem  37288  3lexlogpow5ineq5  43302  nicomachus  43562  abvexp  43789  3cubeslem2  43888  3cubeslem3l  43889  3cubeslem3r  43890  mzpexpmpt  43949  pell14qrexpclnn0  44066  jm2.17a  44160  jm2.17b  44161  jm2.17c  44162  jm2.18  44188  cnsrexpcl  44359  inductionexd  45347  binomcxplemnotnn0  45532  stoweidlem3  47218  stoweidlem19  47234  stirlinglem4  47292  stirlinglem7  47295  etransclem23  47472  sin3t  48122  cos3t  48123  sin5tlem1  48124  sin5tlem2  48125  sin5tlem4  48127  sqrtpwpw2p  48828  fmtnorec2lem  48832  fmtnorec4  48839  fmtnoprmfac1lem  48854  fmtnoprmfac2  48857  fmtnofac1  48860  lighneallem3  48897  oexpnegALTV  48980  fppr2odd  49034  tgoldbachlt  49119  dignn0flhalflem2  49933  dignn0ehalf  49934  nn0sumshdiglemA  49936  nn0sumshdiglemB  49937  itcovalt2lem2lem2  49991