Theorem expp1d 14270

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  expmordi  14290  facubnd  14424  hashmap  14560  binomlem  15978  incexclem  15985  geoserg  16015  cvgrat  16032  efcllem  16223  oexpneg  16495  pwp1fsum  16541  bitsp1  16581  bitsmod  16586  bitsinv1lem  16591  sadcaddlem  16607  sadadd2lem  16609  rplpwr  16712  eulerthlem2  16939  prmdiv  16942  vfermltlALT  16960  pcprendvds2  16999  pcpremul  17001  prmpwdvds  17062  2expltfac  17250  plyco  26540  dgrcolem1  26572  ftalem5  27386  bposlem5  27597  pntlemq  27910  pntlemr  27911  pntlemj  27912  ostth2lem2  27943  ostth2lem3  27944  rusgrnumwwlks  30548  ex-ind-dvds  31044  nexple  33406  2exple2exp  33407  oexpled  33409  fldext2rspun  34296  fldext2chn  34342  faclimlem3  36479  faclim2  36482  nn0prpwlem  37080  3lexlogpow5ineq5  43078  nicomachus  43337  abvexp  43558  3cubeslem2  43649  3cubeslem3l  43650  3cubeslem3r  43651  mzpexpmpt  43709  pell14qrexpclnn0  43826  jm2.17a  43920  jm2.17b  43921  jm2.17c  43922  jm2.18  43948  cnsrexpcl  44125  inductionexd  45114  binomcxplemnotnn0  45299  stoweidlem3  46957  stoweidlem19  46973  stirlinglem4  47031  stirlinglem7  47034  etransclem23  47211  sin3t  47861  cos3t  47862  sin5tlem1  47863  sin5tlem2  47864  sin5tlem4  47866  sqrtpwpw2p  48567  fmtnorec2lem  48571  fmtnorec4  48578  fmtnoprmfac1lem  48593  fmtnoprmfac2  48596  fmtnofac1  48599  lighneallem3  48636  oexpnegALTV  48719  fppr2odd  48773  tgoldbachlt  48858  dignn0flhalflem2  49672  dignn0ehalf  49673  nn0sumshdiglemA  49675  nn0sumshdiglemB  49676  itcovalt2lem2lem2  49730