MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1d 13507
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expp1d (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 expcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 expp1 13432 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  0cn0 11885  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  expmordi  13527  facubnd  13656  hashmap  13792  binomlem  15175  incexclem  15182  geoserg  15212  cvgrat  15230  efcllem  15422  oexpneg  15685  pwp1fsum  15731  bitsp1  15769  bitsmod  15774  bitsinv1lem  15779  sadcaddlem  15795  sadadd2lem  15797  rplpwr  15896  eulerthlem2  16108  prmdiv  16111  vfermltlALT  16128  pcprendvds2  16167  pcpremul  16169  prmpwdvds  16229  2expltfac  16417  plyco  24836  dgrcolem1  24868  ftalem5  25660  bposlem5  25870  pntlemq  26183  pntlemr  26184  pntlemj  26185  ostth2lem2  26216  ostth2lem3  26217  rusgrnumwwlks  27758  ex-ind-dvds  28244  nexple  31342  faclimlem3  33051  faclim2  33054  nn0prpwlem  33744  3cubeslem2  39556  3cubeslem3l  39557  3cubeslem3r  39558  mzpexpmpt  39616  pell14qrexpclnn0  39737  jm2.17a  39831  jm2.17b  39832  jm2.17c  39833  jm2.18  39859  cnsrexpcl  40039  inductionexd  40791  binomcxplemnotnn0  40994  stoweidlem3  42584  stoweidlem19  42600  stirlinglem4  42658  stirlinglem7  42661  etransclem23  42838  sqrtpwpw2p  43994  fmtnorec2lem  43998  fmtnorec4  44005  fmtnoprmfac1lem  44020  fmtnoprmfac2  44023  fmtnofac1  44026  lighneallem3  44064  oexpnegALTV  44134  fppr2odd  44188  tgoldbachlt  44273  dignn0flhalflem2  44969  dignn0ehalf  44970  nn0sumshdiglemA  44972  nn0sumshdiglemB  44973  itcovalt2lem2lem2  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator