Theorem expp1d 14182

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  expmordi  14202  facubnd  14335  hashmap  14471  binomlem  15882  incexclem  15889  geoserg  15919  cvgrat  15936  efcllem  16130  oexpneg  16402  pwp1fsum  16448  bitsp1  16488  bitsmod  16493  bitsinv1lem  16498  sadcaddlem  16514  sadadd2lem  16516  rplpwr  16615  eulerthlem2  16840  prmdiv  16843  vfermltlALT  16861  pcprendvds2  16900  pcpremul  16902  prmpwdvds  16963  2expltfac  17151  plyco  26366  dgrcolem1  26398  ftalem5  27206  bposlem5  27417  pntlemq  27730  pntlemr  27731  pntlemj  27732  ostth2lem2  27763  ostth2lem3  27764  rusgrnumwwlks  30266  ex-ind-dvds  30752  nexple  33117  2exple2exp  33118  oexpled  33120  fldext2rspun  34016  fldext2chn  34062  faclimlem3  36135  faclim2  36138  nn0prpwlem  36721  3lexlogpow5ineq5  42716  nicomachus  42962  abvexp  43191  3cubeslem2  43307  3cubeslem3l  43308  3cubeslem3r  43309  mzpexpmpt  43367  pell14qrexpclnn0  43484  jm2.17a  43578  jm2.17b  43579  jm2.17c  43580  jm2.18  43606  cnsrexpcl  43783  inductionexd  44772  binomcxplemnotnn0  44957  stoweidlem3  46608  stoweidlem19  46624  stirlinglem4  46682  stirlinglem7  46685  etransclem23  46862  sin3t  47496  cos3t  47497  sin5tlem1  47498  sin5tlem2  47499  sin5tlem4  47501  sqrtpwpw2p  48178  fmtnorec2lem  48182  fmtnorec4  48189  fmtnoprmfac1lem  48204  fmtnoprmfac2  48207  fmtnofac1  48210  lighneallem3  48247  oexpnegALTV  48330  fppr2odd  48384  tgoldbachlt  48469  dignn0flhalflem2  49280  dignn0ehalf  49281  nn0sumshdiglemA  49283  nn0sumshdiglemB  49284  itcovalt2lem2lem2  49338