Theorem expp1d 14115

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14037	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12473  ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031

This theorem is referenced by:  expmordi  14135  facubnd  14263  hashmap  14398  binomlem  15779  incexclem  15786  geoserg  15816  cvgrat  15833  efcllem  16025  oexpneg  16293  pwp1fsum  16339  bitsp1  16377  bitsmod  16382  bitsinv1lem  16387  sadcaddlem  16403  sadadd2lem  16405  rplpwr  16504  eulerthlem2  16722  prmdiv  16725  vfermltlALT  16742  pcprendvds2  16781  pcpremul  16783  prmpwdvds  16844  2expltfac  17033  plyco  26126  dgrcolem1  26159  ftalem5  26960  bposlem5  27172  pntlemq  27485  pntlemr  27486  pntlemj  27487  ostth2lem2  27518  ostth2lem3  27519  rusgrnumwwlks  29733  ex-ind-dvds  30219  nexple  33537  faclimlem3  35248  faclim2  35251  nn0prpwlem  35715  3lexlogpow5ineq5  41439  nicomachus  41749  3cubeslem2  41982  3cubeslem3l  41983  3cubeslem3r  41984  mzpexpmpt  42042  pell14qrexpclnn0  42163  jm2.17a  42258  jm2.17b  42259  jm2.17c  42260  jm2.18  42286  cnsrexpcl  42466  inductionexd  43463  binomcxplemnotnn0  43672  stoweidlem3  45272  stoweidlem19  45288  stirlinglem4  45346  stirlinglem7  45349  etransclem23  45526  sqrtpwpw2p  46759  fmtnorec2lem  46763  fmtnorec4  46770  fmtnoprmfac1lem  46785  fmtnoprmfac2  46788  fmtnofac1  46791  lighneallem3  46828  oexpnegALTV  46898  fppr2odd  46952  tgoldbachlt  47037  dignn0flhalflem2  47558  dignn0ehalf  47559  nn0sumshdiglemA  47561  nn0sumshdiglemB  47562  itcovalt2lem2lem2  47616