Theorem expp1d 14119

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14040	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  expmordi  14139  facubnd  14272  hashmap  14407  binomlem  15802  incexclem  15809  geoserg  15839  cvgrat  15856  efcllem  16050  oexpneg  16322  pwp1fsum  16368  bitsp1  16408  bitsmod  16413  bitsinv1lem  16418  sadcaddlem  16434  sadadd2lem  16436  rplpwr  16535  eulerthlem2  16759  prmdiv  16762  vfermltlALT  16780  pcprendvds2  16819  pcpremul  16821  prmpwdvds  16882  2expltfac  17070  plyco  26153  dgrcolem1  26186  ftalem5  26994  bposlem5  27206  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemj  27521  ostth2lem2  27552  ostth2lem3  27553  rusgrnumwwlks  29911  ex-ind-dvds  30397  nexple  32776  2exple2exp  32777  oexpled  32779  fldext2rspun  33684  fldext2chn  33725  faclimlem3  35739  faclim2  35742  nn0prpwlem  36317  3lexlogpow5ineq5  42055  nicomachus  42307  abvexp  42527  3cubeslem2  42680  3cubeslem3l  42681  3cubeslem3r  42682  mzpexpmpt  42740  pell14qrexpclnn0  42861  jm2.17a  42956  jm2.17b  42957  jm2.17c  42958  jm2.18  42984  cnsrexpcl  43161  inductionexd  44151  binomcxplemnotnn0  44352  stoweidlem3  46008  stoweidlem19  46024  stirlinglem4  46082  stirlinglem7  46085  etransclem23  46262  sqrtpwpw2p  47543  fmtnorec2lem  47547  fmtnorec4  47554  fmtnoprmfac1lem  47569  fmtnoprmfac2  47572  fmtnofac1  47575  lighneallem3  47612  oexpnegALTV  47682  fppr2odd  47736  tgoldbachlt  47821  dignn0flhalflem2  48609  dignn0ehalf  48610  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  itcovalt2lem2lem2  48667