Theorem expp1d 14109

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  expmordi  14129  facubnd  14262  hashmap  14397  binomlem  15794  incexclem  15801  geoserg  15831  cvgrat  15848  efcllem  16042  oexpneg  16314  pwp1fsum  16360  bitsp1  16400  bitsmod  16405  bitsinv1lem  16410  sadcaddlem  16426  sadadd2lem  16428  rplpwr  16527  eulerthlem2  16752  prmdiv  16755  vfermltlALT  16773  pcprendvds2  16812  pcpremul  16814  prmpwdvds  16875  2expltfac  17063  plyco  26206  dgrcolem1  26238  ftalem5  27040  bposlem5  27251  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  rusgrnumwwlks  30045  ex-ind-dvds  30531  nexple  32917  2exple2exp  32918  oexpled  32920  fldext2rspun  33826  fldext2chn  33872  faclimlem3  35927  faclim2  35930  nn0prpwlem  36504  3lexlogpow5ineq5  42499  nicomachus  42744  abvexp  42977  3cubeslem2  43117  3cubeslem3l  43118  3cubeslem3r  43119  mzpexpmpt  43177  pell14qrexpclnn0  43294  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  jm2.18  43416  cnsrexpcl  43593  inductionexd  44582  binomcxplemnotnn0  44783  stoweidlem3  46431  stoweidlem19  46447  stirlinglem4  46505  stirlinglem7  46508  etransclem23  46685  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5tlem1  47321  sin5tlem2  47322  sin5tlem4  47324  sqrtpwpw2p  48001  fmtnorec2lem  48005  fmtnorec4  48012  fmtnoprmfac1lem  48027  fmtnoprmfac2  48030  fmtnofac1  48033  lighneallem3  48070  oexpnegALTV  48153  fppr2odd  48207  tgoldbachlt  48292  dignn0flhalflem2  49092  dignn0ehalf  49093  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  itcovalt2lem2lem2  49150