Theorem expp1d 14187

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  expmordi  14207  facubnd  14339  hashmap  14474  binomlem  15865  incexclem  15872  geoserg  15902  cvgrat  15919  efcllem  16113  oexpneg  16382  pwp1fsum  16428  bitsp1  16468  bitsmod  16473  bitsinv1lem  16478  sadcaddlem  16494  sadadd2lem  16496  rplpwr  16595  eulerthlem2  16819  prmdiv  16822  vfermltlALT  16840  pcprendvds2  16879  pcpremul  16881  prmpwdvds  16942  2expltfac  17130  plyco  26280  dgrcolem1  26313  ftalem5  27120  bposlem5  27332  pntlemq  27645  pntlemr  27646  pntlemj  27647  ostth2lem2  27678  ostth2lem3  27679  rusgrnumwwlks  29994  ex-ind-dvds  30480  nexple  32833  2exple2exp  32834  fldext2rspun  33732  fldext2chn  33769  faclimlem3  35745  faclim2  35748  nn0prpwlem  36323  3lexlogpow5ineq5  42061  nicomachus  42346  abvexp  42542  3cubeslem2  42696  3cubeslem3l  42697  3cubeslem3r  42698  mzpexpmpt  42756  pell14qrexpclnn0  42877  jm2.17a  42972  jm2.17b  42973  jm2.17c  42974  jm2.18  43000  cnsrexpcl  43177  inductionexd  44168  binomcxplemnotnn0  44375  stoweidlem3  46018  stoweidlem19  46034  stirlinglem4  46092  stirlinglem7  46095  etransclem23  46272  sqrtpwpw2p  47525  fmtnorec2lem  47529  fmtnorec4  47536  fmtnoprmfac1lem  47551  fmtnoprmfac2  47554  fmtnofac1  47557  lighneallem3  47594  oexpnegALTV  47664  fppr2odd  47718  tgoldbachlt  47803  dignn0flhalflem2  48537  dignn0ehalf  48538  nn0sumshdiglemA  48540  nn0sumshdiglemB  48541  itcovalt2lem2lem2  48595