Theorem expp1d 14107

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕ₀cn0 12435  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  expmordi  14127  facubnd  14260  hashmap  14395  binomlem  15792  incexclem  15799  geoserg  15829  cvgrat  15846  efcllem  16040  oexpneg  16312  pwp1fsum  16358  bitsp1  16398  bitsmod  16403  bitsinv1lem  16408  sadcaddlem  16424  sadadd2lem  16426  rplpwr  16525  eulerthlem2  16750  prmdiv  16753  vfermltlALT  16771  pcprendvds2  16810  pcpremul  16812  prmpwdvds  16873  2expltfac  17061  plyco  26231  dgrcolem1  26263  ftalem5  27065  bposlem5  27276  pntlemq  27589  pntlemr  27590  pntlemj  27591  ostth2lem2  27622  ostth2lem3  27623  rusgrnumwwlks  30070  ex-ind-dvds  30556  nexple  32943  2exple2exp  32944  oexpled  32946  fldext2rspun  33873  fldext2chn  33919  faclimlem3  35980  faclim2  35983  nn0prpwlem  36557  3lexlogpow5ineq5  42552  nicomachus  42796  abvexp  43025  3cubeslem2  43141  3cubeslem3l  43142  3cubeslem3r  43143  mzpexpmpt  43201  pell14qrexpclnn0  43318  jm2.17a  43412  jm2.17b  43413  jm2.17c  43414  jm2.18  43440  cnsrexpcl  43617  inductionexd  44606  binomcxplemnotnn0  44807  stoweidlem3  46453  stoweidlem19  46469  stirlinglem4  46527  stirlinglem7  46530  etransclem23  46707  sin3t  47341  cos3t  47342  sin5tlem1  47343  sin5tlem2  47344  sin5tlem4  47346  sqrtpwpw2p  48023  fmtnorec2lem  48027  fmtnorec4  48034  fmtnoprmfac1lem  48049  fmtnoprmfac2  48052  fmtnofac1  48055  lighneallem3  48092  oexpnegALTV  48175  fppr2odd  48229  tgoldbachlt  48314  dignn0flhalflem2  49114  dignn0ehalf  49115  nn0sumshdiglemA  49117  nn0sumshdiglemB  49118  itcovalt2lem2lem2  49172