Theorem expp1d 14051

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  ℕ₀cn0 12378  ↑cexp 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-seq 13906  df-exp 13966

This theorem is referenced by:  expmordi  14071  facubnd  14204  hashmap  14339  binomlem  15733  incexclem  15740  geoserg  15770  cvgrat  15787  efcllem  15981  oexpneg  16253  pwp1fsum  16299  bitsp1  16339  bitsmod  16344  bitsinv1lem  16349  sadcaddlem  16365  sadadd2lem  16367  rplpwr  16466  eulerthlem2  16690  prmdiv  16693  vfermltlALT  16711  pcprendvds2  16750  pcpremul  16752  prmpwdvds  16813  2expltfac  17001  plyco  26171  dgrcolem1  26204  ftalem5  27012  bposlem5  27224  pntlemq  27537  pntlemr  27538  pntlemj  27539  ostth2lem2  27570  ostth2lem3  27571  rusgrnumwwlks  29950  ex-ind-dvds  30436  nexple  32822  2exple2exp  32823  oexpled  32825  fldext2rspun  33690  fldext2chn  33736  faclimlem3  35777  faclim2  35780  nn0prpwlem  36355  3lexlogpow5ineq5  42092  nicomachus  42344  abvexp  42564  3cubeslem2  42717  3cubeslem3l  42718  3cubeslem3r  42719  mzpexpmpt  42777  pell14qrexpclnn0  42898  jm2.17a  42992  jm2.17b  42993  jm2.17c  42994  jm2.18  43020  cnsrexpcl  43197  inductionexd  44187  binomcxplemnotnn0  44388  stoweidlem3  46040  stoweidlem19  46056  stirlinglem4  46114  stirlinglem7  46117  etransclem23  46294  sqrtpwpw2p  47568  fmtnorec2lem  47572  fmtnorec4  47579  fmtnoprmfac1lem  47594  fmtnoprmfac2  47597  fmtnofac1  47600  lighneallem3  47637  oexpnegALTV  47707  fppr2odd  47761  tgoldbachlt  47846  dignn0flhalflem2  48647  dignn0ehalf  48648  nn0sumshdiglemA  48650  nn0sumshdiglemB  48651  itcovalt2lem2lem2  48705