Theorem expp1d 14147

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  ℕ₀cn0 12505  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  expmordi  14167  facubnd  14295  hashmap  14430  binomlem  15811  incexclem  15818  geoserg  15848  cvgrat  15865  efcllem  16057  oexpneg  16325  pwp1fsum  16371  bitsp1  16409  bitsmod  16414  bitsinv1lem  16419  sadcaddlem  16435  sadadd2lem  16437  rplpwr  16536  eulerthlem2  16754  prmdiv  16757  vfermltlALT  16774  pcprendvds2  16813  pcpremul  16815  prmpwdvds  16876  2expltfac  17065  plyco  26220  dgrcolem1  26253  ftalem5  27054  bposlem5  27266  pntlemq  27579  pntlemr  27580  pntlemj  27581  ostth2lem2  27612  ostth2lem3  27613  rusgrnumwwlks  29857  ex-ind-dvds  30343  nexple  33759  faclimlem3  35470  faclim2  35473  nn0prpwlem  35937  3lexlogpow5ineq5  41663  nicomachus  42007  3cubeslem2  42247  3cubeslem3l  42248  3cubeslem3r  42249  mzpexpmpt  42307  pell14qrexpclnn0  42428  jm2.17a  42523  jm2.17b  42524  jm2.17c  42525  jm2.18  42551  cnsrexpcl  42731  inductionexd  43727  binomcxplemnotnn0  43935  stoweidlem3  45529  stoweidlem19  45545  stirlinglem4  45603  stirlinglem7  45606  etransclem23  45783  sqrtpwpw2p  47015  fmtnorec2lem  47019  fmtnorec4  47026  fmtnoprmfac1lem  47041  fmtnoprmfac2  47044  fmtnofac1  47047  lighneallem3  47084  oexpnegALTV  47154  fppr2odd  47208  tgoldbachlt  47293  dignn0flhalflem2  47875  dignn0ehalf  47876  nn0sumshdiglemA  47878  nn0sumshdiglemB  47879  itcovalt2lem2lem2  47933