Theorem expp1d 14144

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  expmordi  14164  facubnd  14292  hashmap  14427  binomlem  15808  incexclem  15815  geoserg  15845  cvgrat  15862  efcllem  16054  oexpneg  16322  pwp1fsum  16368  bitsp1  16406  bitsmod  16411  bitsinv1lem  16416  sadcaddlem  16432  sadadd2lem  16434  rplpwr  16533  eulerthlem2  16751  prmdiv  16754  vfermltlALT  16771  pcprendvds2  16810  pcpremul  16812  prmpwdvds  16873  2expltfac  17062  plyco  26188  dgrcolem1  26221  ftalem5  27022  bposlem5  27234  pntlemq  27547  pntlemr  27548  pntlemj  27549  ostth2lem2  27580  ostth2lem3  27581  rusgrnumwwlks  29798  ex-ind-dvds  30284  nexple  33628  faclimlem3  35339  faclim2  35342  nn0prpwlem  35806  3lexlogpow5ineq5  41531  nicomachus  41872  3cubeslem2  42105  3cubeslem3l  42106  3cubeslem3r  42107  mzpexpmpt  42165  pell14qrexpclnn0  42286  jm2.17a  42381  jm2.17b  42382  jm2.17c  42383  jm2.18  42409  cnsrexpcl  42589  inductionexd  43585  binomcxplemnotnn0  43793  stoweidlem3  45391  stoweidlem19  45407  stirlinglem4  45465  stirlinglem7  45468  etransclem23  45645  sqrtpwpw2p  46878  fmtnorec2lem  46882  fmtnorec4  46889  fmtnoprmfac1lem  46904  fmtnoprmfac2  46907  fmtnofac1  46910  lighneallem3  46947  oexpnegALTV  47017  fppr2odd  47071  tgoldbachlt  47156  dignn0flhalflem2  47689  dignn0ehalf  47690  nn0sumshdiglemA  47692  nn0sumshdiglemB  47693  itcovalt2lem2lem2  47747