Theorem expp1d 14215

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  ℕ₀cn0 12532  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  expmordi  14235  facubnd  14368  hashmap  14504  binomlem  15922  incexclem  15929  geoserg  15959  cvgrat  15976  efcllem  16169  oexpneg  16441  pwp1fsum  16487  bitsp1  16527  bitsmod  16532  bitsinv1lem  16537  sadcaddlem  16553  sadadd2lem  16555  rplpwr  16654  eulerthlem2  16879  prmdiv  16882  vfermltlALT  16900  pcprendvds2  16939  pcpremul  16941  prmpwdvds  17002  2expltfac  17190  plyco  26474  dgrcolem1  26506  ftalem5  27321  bposlem5  27532  pntlemq  27845  pntlemr  27846  pntlemj  27847  ostth2lem2  27878  ostth2lem3  27879  rusgrnumwwlks  30453  ex-ind-dvds  30949  nexple  33311  2exple2exp  33312  oexpled  33314  fldext2rspun  34200  fldext2chn  34246  faclimlem3  36332  faclim2  36335  nn0prpwlem  36949  3lexlogpow5ineq5  42934  nicomachus  43195  abvexp  43422  3cubeslem2  43538  3cubeslem3l  43539  3cubeslem3r  43540  mzpexpmpt  43598  pell14qrexpclnn0  43715  jm2.17a  43809  jm2.17b  43810  jm2.17c  43811  jm2.18  43837  cnsrexpcl  44014  inductionexd  45003  binomcxplemnotnn0  45188  stoweidlem3  46839  stoweidlem19  46855  stirlinglem4  46913  stirlinglem7  46916  etransclem23  47093  sin3t  47743  cos3t  47744  sin5tlem1  47745  sin5tlem2  47746  sin5tlem4  47748  sqrtpwpw2p  48449  fmtnorec2lem  48453  fmtnorec4  48460  fmtnoprmfac1lem  48475  fmtnoprmfac2  48478  fmtnofac1  48481  lighneallem3  48518  oexpnegALTV  48601  fppr2odd  48655  tgoldbachlt  48740  dignn0flhalflem2  49554  dignn0ehalf  49555  nn0sumshdiglemA  49557  nn0sumshdiglemB  49558  itcovalt2lem2lem2  49612