Theorem expp1d 13507

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  expmordi  13527  facubnd  13656  hashmap  13792  binomlem  15176  incexclem  15183  geoserg  15213  cvgrat  15231  efcllem  15423  oexpneg  15686  pwp1fsum  15732  bitsp1  15770  bitsmod  15775  bitsinv1lem  15780  sadcaddlem  15796  sadadd2lem  15798  rplpwr  15897  eulerthlem2  16109  prmdiv  16112  vfermltlALT  16129  pcprendvds2  16168  pcpremul  16170  prmpwdvds  16230  2expltfac  16418  plyco  24838  dgrcolem1  24870  ftalem5  25662  bposlem5  25872  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  rusgrnumwwlks  27760  ex-ind-dvds  28246  nexple  31378  faclimlem3  33090  faclim2  33093  nn0prpwlem  33783  3cubeslem2  39626  3cubeslem3l  39627  3cubeslem3r  39628  mzpexpmpt  39686  pell14qrexpclnn0  39807  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  jm2.18  39929  cnsrexpcl  40109  inductionexd  40858  binomcxplemnotnn0  41060  stoweidlem3  42645  stoweidlem19  42661  stirlinglem4  42719  stirlinglem7  42722  etransclem23  42899  sqrtpwpw2p  44055  fmtnorec2lem  44059  fmtnorec4  44066  fmtnoprmfac1lem  44081  fmtnoprmfac2  44084  fmtnofac1  44087  lighneallem3  44125  oexpnegALTV  44195  fppr2odd  44249  tgoldbachlt  44334  dignn0flhalflem2  45030  dignn0ehalf  45031  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  itcovalt2lem2lem2  45088