Theorem expp1d 14185

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℕ₀cn0 12505  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expmordi  14205  facubnd  14338  hashmap  14474  binomlem  15885  incexclem  15892  geoserg  15922  cvgrat  15939  efcllem  16132  oexpneg  16404  pwp1fsum  16450  bitsp1  16490  bitsmod  16495  bitsinv1lem  16500  sadcaddlem  16516  sadadd2lem  16518  rplpwr  16617  eulerthlem2  16842  prmdiv  16845  vfermltlALT  16863  pcprendvds2  16902  pcpremul  16904  prmpwdvds  16965  2expltfac  17153  plyco  26379  dgrcolem1  26411  ftalem5  27219  bposlem5  27430  pntlemq  27743  pntlemr  27744  pntlemj  27745  ostth2lem2  27776  ostth2lem3  27777  rusgrnumwwlks  30304  ex-ind-dvds  30790  nexple  33155  2exple2exp  33156  oexpled  33158  fldext2rspun  34050  fldext2chn  34096  faclimlem3  36215  faclim2  36218  nn0prpwlem  36811  3lexlogpow5ineq5  42805  nicomachus  43051  abvexp  43280  3cubeslem2  43396  3cubeslem3l  43397  3cubeslem3r  43398  mzpexpmpt  43456  pell14qrexpclnn0  43573  jm2.17a  43667  jm2.17b  43668  jm2.17c  43669  jm2.18  43695  cnsrexpcl  43872  inductionexd  44861  binomcxplemnotnn0  45046  stoweidlem3  46697  stoweidlem19  46713  stirlinglem4  46771  stirlinglem7  46774  etransclem23  46951  sin3t  47585  cos3t  47586  sin5tlem1  47587  sin5tlem2  47588  sin5tlem4  47590  sqrtpwpw2p  48267  fmtnorec2lem  48271  fmtnorec4  48278  fmtnoprmfac1lem  48293  fmtnoprmfac2  48296  fmtnofac1  48299  lighneallem3  48336  oexpnegALTV  48419  fppr2odd  48473  tgoldbachlt  48558  dignn0flhalflem2  49373  dignn0ehalf  49374  nn0sumshdiglemA  49376  nn0sumshdiglemB  49377  itcovalt2lem2lem2  49431