Theorem expp1d 14157

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14078	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  ℕ₀cn0 12478  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  expmordi  14177  facubnd  14310  hashmap  14445  binomlem  15842  incexclem  15849  geoserg  15879  cvgrat  15896  efcllem  16090  oexpneg  16362  pwp1fsum  16408  bitsp1  16448  bitsmod  16453  bitsinv1lem  16458  sadcaddlem  16474  sadadd2lem  16476  rplpwr  16575  eulerthlem2  16800  prmdiv  16803  vfermltlALT  16821  pcprendvds2  16860  pcpremul  16862  prmpwdvds  16923  2expltfac  17111  plyco  26281  dgrcolem1  26313  ftalem5  27118  bposlem5  27329  pntlemq  27642  pntlemr  27643  pntlemj  27644  ostth2lem2  27675  ostth2lem3  27676  rusgrnumwwlks  30123  ex-ind-dvds  30609  nexple  32996  2exple2exp  32997  oexpled  32999  fldext2rspun  33940  fldext2chn  33986  faclimlem3  36059  faclim2  36062  nn0prpwlem  36646  3lexlogpow5ineq5  42641  nicomachus  42885  abvexp  43114  3cubeslem2  43230  3cubeslem3l  43231  3cubeslem3r  43232  mzpexpmpt  43290  pell14qrexpclnn0  43407  jm2.17a  43501  jm2.17b  43502  jm2.17c  43503  jm2.18  43529  cnsrexpcl  43706  inductionexd  44695  binomcxplemnotnn0  44896  stoweidlem3  46541  stoweidlem19  46557  stirlinglem4  46615  stirlinglem7  46618  etransclem23  46795  sin3t  47429  cos3t  47430  sin5tlem1  47431  sin5tlem2  47432  sin5tlem4  47434  sqrtpwpw2p  48111  fmtnorec2lem  48115  fmtnorec4  48122  fmtnoprmfac1lem  48137  fmtnoprmfac2  48140  fmtnofac1  48143  lighneallem3  48180  oexpnegALTV  48263  fppr2odd  48317  tgoldbachlt  48402  dignn0flhalflem2  49202  dignn0ehalf  49203  nn0sumshdiglemA  49205  nn0sumshdiglemB  49206  itcovalt2lem2lem2  49260