Theorem expp1d 13865

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  expmordi  13885  facubnd  14014  hashmap  14150  binomlem  15541  incexclem  15548  geoserg  15578  cvgrat  15595  efcllem  15787  oexpneg  16054  pwp1fsum  16100  bitsp1  16138  bitsmod  16143  bitsinv1lem  16148  sadcaddlem  16164  sadadd2lem  16166  rplpwr  16267  eulerthlem2  16483  prmdiv  16486  vfermltlALT  16503  pcprendvds2  16542  pcpremul  16544  prmpwdvds  16605  2expltfac  16794  plyco  25402  dgrcolem1  25434  ftalem5  26226  bposlem5  26436  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  ostth2lem2  26782  ostth2lem3  26783  rusgrnumwwlks  28339  ex-ind-dvds  28825  nexple  31977  faclimlem3  33711  faclim2  33714  nn0prpwlem  34511  3lexlogpow5ineq5  40068  3cubeslem2  40507  3cubeslem3l  40508  3cubeslem3r  40509  mzpexpmpt  40567  pell14qrexpclnn0  40688  jm2.17a  40782  jm2.17b  40783  jm2.17c  40784  jm2.18  40810  cnsrexpcl  40990  inductionexd  41765  binomcxplemnotnn0  41974  stoweidlem3  43544  stoweidlem19  43560  stirlinglem4  43618  stirlinglem7  43621  etransclem23  43798  sqrtpwpw2p  44990  fmtnorec2lem  44994  fmtnorec4  45001  fmtnoprmfac1lem  45016  fmtnoprmfac2  45019  fmtnofac1  45022  lighneallem3  45059  oexpnegALTV  45129  fppr2odd  45183  tgoldbachlt  45268  dignn0flhalflem2  45962  dignn0ehalf  45963  nn0sumshdiglemA  45965  nn0sumshdiglemB  45966  itcovalt2lem2lem2  46020