Theorem expp1d 14184

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expmordi  14204  facubnd  14336  hashmap  14471  binomlem  15862  incexclem  15869  geoserg  15899  cvgrat  15916  efcllem  16110  oexpneg  16379  pwp1fsum  16425  bitsp1  16465  bitsmod  16470  bitsinv1lem  16475  sadcaddlem  16491  sadadd2lem  16493  rplpwr  16592  eulerthlem2  16816  prmdiv  16819  vfermltlALT  16836  pcprendvds2  16875  pcpremul  16877  prmpwdvds  16938  2expltfac  17127  plyco  26295  dgrcolem1  26328  ftalem5  27135  bposlem5  27347  pntlemq  27660  pntlemr  27661  pntlemj  27662  ostth2lem2  27693  ostth2lem3  27694  rusgrnumwwlks  30004  ex-ind-dvds  30490  fldext2chn  33734  nexple  33990  faclimlem3  35725  faclim2  35728  nn0prpwlem  36305  3lexlogpow5ineq5  42042  nicomachus  42325  abvexp  42519  3cubeslem2  42673  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  mzpexpmpt  42733  pell14qrexpclnn0  42854  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm2.18  42977  cnsrexpcl  43154  inductionexd  44145  binomcxplemnotnn0  44352  stoweidlem3  45959  stoweidlem19  45975  stirlinglem4  46033  stirlinglem7  46036  etransclem23  46213  sqrtpwpw2p  47463  fmtnorec2lem  47467  fmtnorec4  47474  fmtnoprmfac1lem  47489  fmtnoprmfac2  47492  fmtnofac1  47495  lighneallem3  47532  oexpnegALTV  47602  fppr2odd  47656  tgoldbachlt  47741  dignn0flhalflem2  48466  dignn0ehalf  48467  nn0sumshdiglemA  48469  nn0sumshdiglemB  48470  itcovalt2lem2lem2  48524