Theorem expp1d 14118

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 14039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  ℕ₀cn0 12448  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  expmordi  14138  facubnd  14271  hashmap  14406  binomlem  15801  incexclem  15808  geoserg  15838  cvgrat  15855  efcllem  16049  oexpneg  16321  pwp1fsum  16367  bitsp1  16407  bitsmod  16412  bitsinv1lem  16417  sadcaddlem  16433  sadadd2lem  16435  rplpwr  16534  eulerthlem2  16758  prmdiv  16761  vfermltlALT  16779  pcprendvds2  16818  pcpremul  16820  prmpwdvds  16881  2expltfac  17069  plyco  26152  dgrcolem1  26185  ftalem5  26993  bposlem5  27205  pntlemq  27518  pntlemr  27519  pntlemj  27520  ostth2lem2  27551  ostth2lem3  27552  rusgrnumwwlks  29910  ex-ind-dvds  30396  nexple  32775  2exple2exp  32776  oexpled  32778  fldext2rspun  33683  fldext2chn  33724  faclimlem3  35727  faclim2  35730  nn0prpwlem  36305  3lexlogpow5ineq5  42043  nicomachus  42295  abvexp  42513  3cubeslem2  42666  3cubeslem3l  42667  3cubeslem3r  42668  mzpexpmpt  42726  pell14qrexpclnn0  42847  jm2.17a  42942  jm2.17b  42943  jm2.17c  42944  jm2.18  42970  cnsrexpcl  43147  inductionexd  44137  binomcxplemnotnn0  44338  stoweidlem3  45994  stoweidlem19  46010  stirlinglem4  46068  stirlinglem7  46071  etransclem23  46248  sqrtpwpw2p  47529  fmtnorec2lem  47533  fmtnorec4  47540  fmtnoprmfac1lem  47555  fmtnoprmfac2  47558  fmtnofac1  47561  lighneallem3  47598  oexpnegALTV  47668  fppr2odd  47722  tgoldbachlt  47807  dignn0flhalflem2  48595  dignn0ehalf  48596  nn0sumshdiglemA  48598  nn0sumshdiglemB  48599  itcovalt2lem2lem2  48653