Theorem expp1d 13328

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13185	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  ℕ₀cn0 11642  ↑cexp 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-exp 13179

This theorem is referenced by:  facubnd  13405  hashmap  13536  binomlem  14965  incexclem  14972  geoserg  15002  cvgrat  15018  efcllem  15210  oexpneg  15473  pwp1fsum  15521  bitsp1  15559  bitsmod  15564  bitsinv1lem  15569  sadcaddlem  15585  sadadd2lem  15587  rplpwr  15682  eulerthlem2  15891  prmdiv  15894  vfermltlALT  15911  pcprendvds2  15950  pcpremul  15952  prmpwdvds  16012  2expltfac  16198  plyco  24434  dgrcolem1  24466  ftalem5  25255  bposlem5  25465  pntlemq  25742  pntlemr  25743  pntlemj  25744  ostth2lem2  25775  ostth2lem3  25776  rusgrnumwwlks  27354  rusgrnumwwlksOLD  27355  ex-ind-dvds  27893  nexple  30669  faclimlem3  32225  faclim2  32228  nn0prpwlem  32905  mzpexpmpt  38272  pell14qrexpclnn0  38394  expmordi  38475  jm2.17a  38490  jm2.17b  38491  jm2.17c  38492  jm2.18  38518  cnsrexpcl  38698  inductionexd  39413  binomcxplemnotnn0  39515  stoweidlem3  41151  stoweidlem19  41167  stirlinglem4  41225  stirlinglem7  41228  etransclem23  41405  sqrtpwpw2p  42475  fmtnorec2lem  42479  fmtnorec4  42486  fmtnoprmfac1lem  42501  fmtnoprmfac2  42504  fmtnofac1  42507  lighneallem3  42549  oexpnegALTV  42617  tgoldbachlt  42733  dignn0flhalflem2  43429  dignn0ehalf  43430  nn0sumshdiglemA  43432  nn0sumshdiglemB  43433