Theorem nn0expcld 14414

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0expcl 14242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℕ₀cn0 12630  ↑cexp 14228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229

This theorem is used by:  bitsinv2  16639  bitsf1ocnv  16640  sadcaddlem  16653  sadadd2lem  16655  nn0expgcd  16764  dvdsprmpweqle  17090  oddprmdvds  17107  ex-ind-dvds  31089  aks6d1c2lem4  43368  aks6d1c7  43425  pell1qrge1  44068  jm3.1  44218  stoweidlem1  47214  stoweidlem45  47258  fmtnoge3  48818  fmtnom1nn  48820  fmtnof1  48823  sqrtpwpw2p  48826  fmtnosqrt  48827  fmtnorec2lem  48830  fmtnodvds  48832  fmtnorec3  48836  fmtnorec4  48837  odz2prm2pw  48851  fmtnoprmfac1lem  48852  fmtnoprmfac2lem1  48854  fmtnofac2lem  48856  fmtnofac2  48857  fmtnofac1  48858  flsqrt  48881  lighneallem2  48894  lighneallem3  48895  lighneallem4a  48896  lighneallem4b  48897  lighneallem4  48898  pgrple2abl  49680  logbpw2m1  49882  blenpw2m1  49894  dignn0ehalf  49932  nn0sumshdiglemA  49934  nn0sumshdiglemB  49935  nn0mullong  49940  itcovalt2lem2lem2  49989