MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0expcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0expcld 13248
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0expcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0expcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0expcld
StepHypRef Expression
1 nn0expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0expcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0expcl 13091 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 575 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  (class class class)co 6868  0cn0 11553  cexp 13077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-seq 13019  df-exp 13078
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15378  bitsf1ocnv  15379  sadcaddlem  15392  sadadd2lem  15394  dvdsprmpweqle  15801  oddprmdvds  15818  ex-ind-dvds  27643  pell1qrge1  37930  jm3.1  38082  stoweidlem1  40691  stoweidlem45  40735  fmtnoge3  42011  fmtnom1nn  42013  fmtnof1  42016  sqrtpwpw2p  42019  fmtnosqrt  42020  fmtnorec2lem  42023  fmtnodvds  42025  fmtnorec3  42029  fmtnorec4  42030  odz2prm2pw  42044  fmtnoprmfac1lem  42045  fmtnoprmfac2lem1  42047  fmtnofac2lem  42049  fmtnofac2  42050  fmtnofac1  42051  flsqrt  42077  lighneallem2  42092  lighneallem3  42093  lighneallem4a  42094  lighneallem4b  42095  lighneallem4  42096  pgrple2abl  42708  logbpw2m1  42923  blenpw2m1  42935  dignn0ehalf  42973  nn0sumshdiglemA  42975  nn0sumshdiglemB  42976  nn0mullong  42981
  Copyright terms: Public domain W3C validator