Theorem nn0expcld 14218

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0expcl 14047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16420  bitsf1ocnv  16421  sadcaddlem  16434  sadadd2lem  16436  nn0expgcd  16541  dvdsprmpweqle  16864  oddprmdvds  16881  ex-ind-dvds  30397  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c7  42179  pell1qrge1  42865  jm3.1  43016  stoweidlem1  46006  stoweidlem45  46050  fmtnoge3  47535  fmtnom1nn  47537  fmtnof1  47540  sqrtpwpw2p  47543  fmtnosqrt  47544  fmtnorec2lem  47547  fmtnodvds  47549  fmtnorec3  47553  fmtnorec4  47554  odz2prm2pw  47568  fmtnoprmfac1lem  47569  fmtnoprmfac2lem1  47571  fmtnofac2lem  47573  fmtnofac2  47574  fmtnofac1  47575  flsqrt  47598  lighneallem2  47611  lighneallem3  47612  lighneallem4a  47613  lighneallem4b  47614  lighneallem4  47615  pgrple2abl  48357  logbpw2m1  48560  blenpw2m1  48572  dignn0ehalf  48610  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0mullong  48618  itcovalt2lem2lem2  48667