Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetALTN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetALTN 38333
Description: Isomorphism H of a lattice meet. This version does not depend on the atomisticity of the constructed vector space. TODO: Delete? (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetALT.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetALT.m = (meet‘𝐾)
dihmeetALT.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetALT.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihmeetALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetALTN
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1218 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
4 simpl3 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
5 dihmeetALT.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 dihmeetALT.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcom 17675 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
82, 3, 4, 7syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
98fveq2d 6671 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘(𝑌 𝑋)))
10 simpl1 1185 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
12 eqid 2826 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 dihmeetALT.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 dihmeetALT.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
155, 12, 6, 13, 14dihmeetbN 38309 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑋𝐵𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)))
1610, 4, 3, 11, 15syl112anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)))
17 incom 4182 . . . 4 ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌))
1816, 17syl6eq 2877 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
199, 18eqtrd 2861 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
20 simpll1 1206 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simpll2 1207 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
22 simpll3 1208 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
23 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
245, 12, 6, 13, 14dihmeetbN 38309 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌𝐵𝑌(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1368 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2625adantlr 711 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
27 simp1l1 1260 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp1l2 1261 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
29 simp1r 1192 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
30 simp1l3 1262 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
31 simp3 1132 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
3230, 31jca 512 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊))
33 simp2 1131 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
34 eqid 2826 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
35 eqid 2826 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
36 eqid 2826 . . . . . . 7 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
37 eqid 2826 . . . . . . 7 (LSSum‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
385, 12, 13, 34, 6, 35, 36, 37, 14dihmeetlem20N 38332 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ((𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
3927, 28, 29, 32, 33, 38syl122anc 1373 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
40393expa 1112 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4126, 40pm2.61dan 809 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
42 simpll1 1206 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
43 simpll2 1207 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
44 simpll3 1208 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
45 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
465, 12, 6, 13, 14dihmeetcN 38308 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4742, 43, 44, 45, 46syl121anc 1369 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4841, 47pm2.61dan 809 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4919, 48pm2.61dan 809 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Latclat 17645  LSSumclsm 18679  Atomscatm 36269  HLchlt 36356  LHypclh 36990  DVecHcdvh 38084  DIsoHcdih 38234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 35959
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-undef 7930  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-0g 16705  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-cntz 18377  df-lsm 18681  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-lvec 19795  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506  df-lines 36507  df-psubsp 36509  df-pmap 36510  df-padd 36802  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165  df-tendo 37761  df-edring 37763  df-disoa 38035  df-dvech 38085  df-dib 38145  df-dic 38179  df-dih 38235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator