Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetALTN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetALTN 37125
Description: Isomorphism H of a lattice meet. This version does not depend on the atomisticity of the constructed vector space. TODO: Delete? (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetALT.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetALT.m = (meet‘𝐾)
dihmeetALT.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetALT.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihmeetALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetALTN
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 35162 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1237 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
4 simpl3 1239 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
5 dihmeetALT.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 dihmeetALT.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcom 17299 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
82, 3, 4, 7syl3anc 1483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
98fveq2d 6421 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘(𝑌 𝑋)))
10 simpl1 1235 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 473 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
12 eqid 2817 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 dihmeetALT.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 dihmeetALT.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
155, 12, 6, 13, 14dihmeetbN 37101 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑋𝐵𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)))
1610, 4, 3, 11, 15syl112anc 1486 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)))
17 incom 4015 . . . 4 ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌))
1816, 17syl6eq 2867 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑌 𝑋)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
199, 18eqtrd 2851 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
20 simpll1 1262 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simpll2 1264 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
22 simpll3 1266 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
23 simpr 473 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
245, 12, 6, 13, 14dihmeetbN 37101 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌𝐵𝑌(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1486 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2625adantlr 697 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
27 simp1l1 1358 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp1l2 1359 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
29 simp1r 1248 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
30 simp1l3 1360 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
31 simp3 1161 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
3230, 31jca 503 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊))
33 simp2 1160 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
34 eqid 2817 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
35 eqid 2817 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
36 eqid 2817 . . . . . . 7 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
37 eqid 2817 . . . . . . 7 (LSSum‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
385, 12, 13, 34, 6, 35, 36, 37, 14dihmeetlem20N 37124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ((𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
3927, 28, 29, 32, 33, 38syl122anc 1491 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
40393expa 1140 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4126, 40pm2.61dan 838 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
42 simpll1 1262 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
43 simpll2 1264 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
44 simpll3 1266 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → 𝑌𝐵)
45 simpr 473 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
465, 12, 6, 13, 14dihmeetcN 37100 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4742, 43, 44, 45, 46syl121anc 1487 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) ∧ ¬ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4841, 47pm2.61dan 838 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
4919, 48pm2.61dan 838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  cin 3779   class class class wbr 4855  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  lecple 16179  joincjn 17168  meetcmee 17169  Latclat 17269  LSSumclsm 18269  Atomscatm 35061  HLchlt 35148  LHypclh 35782  DVecHcdvh 36876  DIsoHcdih 37026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-riotaBAD 34750
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-tpos 7596  df-undef 7643  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-0g 16326  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-lub 17198  df-glb 17199  df-join 17200  df-meet 17201  df-p0 17263  df-p1 17264  df-lat 17270  df-clat 17332  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19198  df-lvec 19329  df-oposet 34974  df-ol 34976  df-oml 34977  df-covers 35064  df-ats 35065  df-atl 35096  df-cvlat 35120  df-hlat 35149  df-llines 35296  df-lplanes 35297  df-lvols 35298  df-lines 35299  df-psubsp 35301  df-pmap 35302  df-padd 35594  df-lhyp 35786  df-laut 35787  df-ldil 35902  df-ltrn 35903  df-trl 35957  df-tendo 36553  df-edring 36555  df-disoa 36827  df-dvech 36877  df-dib 36937  df-dic 36971  df-dih 37027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator