clwlkclwwlk - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlk 29938

Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlk	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐸 𝑃,𝑓 𝑓,𝑉 𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 29107	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of1 6802	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
5		clwlkclwwlklem3 29937	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6	4, 5	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7		lencl 14505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		ige2m1fz 13585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
9	7, 8	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10		pfxlen 14655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
11	9, 10	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
12	7	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
16	15	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
18	11, 17	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
19	18	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
20	19	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
21	11	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
22	21	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
23	22	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25		wrdlenge2n0 14524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27		nn0z 12561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28		peano2zm 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32		elfzom1elfzo 13701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
33	31, 32	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34		pfxtrcfv 14665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
35	24, 26, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
37		elfzom1elp1fzo 13700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
38	29, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
39	36, 38	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40		pfxtrcfv 14665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
41	24, 26, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
42	35, 41	preq12d 4708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
45	23, 44	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
46	45	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	20, 46	raleqbidva 3307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48		pfxtrcfvl 14669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49		pfxtrcfv0 14666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0) = (𝑃‘0))
50	48, 49	preq12d 4708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
51	50	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
52	47, 51	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
53	52	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54	53	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55		pfxcl 14649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
56	55	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
57	56	3biant1d 1480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
58	54, 57	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	58	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
60	6, 59	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61		uspgrupgr 29112	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62		clwlkclwwlk.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
63	62, 1	isclwlkupgr 29715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64		3an4anass 1104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
65	63, 64	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
66	61, 65	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
68	67	exbidv 1921	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69	68	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
71	62, 70	isclwwlk 29920	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73		nn0ge2m1nn 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
74	7, 73	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
76	75	lem1d 12123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
77	76	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
78	7, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
79	78	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
80	72, 74, 79	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81	80	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82		pfxn0 14658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
84	83	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)))
85	84	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉))
86	85	3anbi1d 1442	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	71, 86	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88		biid 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
89		edgval 28983	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
90	1	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
91	90	rneqi 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
92	89, 91	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
93	92	eleq2i 2821	. . . . . 6 ⊢ ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94	93	ralbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
95	92	eleq2i 2821	. . . . 5 ⊢ ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)
96	88, 94, 95	3anbi123i 1155	. . . 4 ⊢ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))
97	87, 96	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
98	97	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
99	60, 69, 98	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∀wral 3045 ∅c0 4299 {cpr 4594 class class class wbr 5110 dom cdm 5641 ran crn 5642 ⟶wf 6510 –1-1→wf1 6511 –1-1-onto→wf1o 6513 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 ≤ cle 11216 − cmin 11412 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ...cfz 13475 ..^cfzo 13622 ♯chash 14302 Word cword 14485 lastSclsw 14534 prefix cpfx 14642 Vtxcvtx 28930 iEdgciedg 28931 Edgcedg 28981 UPGraphcupgr 29014 USPGraphcuspgr 29082 ClWalkscclwlks 29707 ClWWalkscclwwlk 29917

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-ifp 1063 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-nn 12194 df-2 12256 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-uz 12801 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-hash 14303 df-word 14486 df-lsw 14535 df-substr 14613 df-pfx 14643 df-edg 28982 df-uhgr 28992 df-upgr 29016 df-uspgr 29084 df-wlks 29534 df-clwlks 29708 df-clwwlk 29918

This theorem is referenced by: clwlkclwwlk2 29939 clwlkclwwlkf 29944

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