clwlkclwwlk - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlk 30526

Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlk	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐸 𝑃,𝑓 𝑓,𝑉 𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 29687	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of1 6811	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
5		clwlkclwwlklem3 30525	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6	4, 5	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7		lencl 14645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		ige2m1fz 13719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10		pfxlen 14800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
11	9, 10	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
12	7	nn0cnd 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13		1cnd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
16	15	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
18	11, 17	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
19	18	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
20	19	oveq2d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
21	11	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
22	21	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
23	22	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25		wrdlenge2n0 14664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27		nn0z 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28		peano2zm 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
30	7, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32		elfzom1elfzo 13836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
33	31, 32	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34		pfxtrcfv 14809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
35	24, 26, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
36	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
37		elfzom1elp1fzo 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
38	29, 37	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
39	36, 38	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40		pfxtrcfv 14809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
41	24, 26, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
42	35, 41	preq12d 4701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
44	43	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
45	23, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
46	45	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	20, 46	raleqbidva 3325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48		pfxtrcfvl 14813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49		pfxtrcfv0 14810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0) = (𝑃‘0))
50	48, 49	preq12d 4701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
51	50	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
52	47, 51	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
53	52	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54	53	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55		pfxcl 14794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
56	55	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
57	56	3biant1d 1509	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
58	54, 57	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	58	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
60	6, 59	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61		uspgrupgr 29692	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62		clwlkclwwlk.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
63	62, 1	isclwlkupgr 30298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64		3an4anass 1122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
65	63, 64	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
66	61, 65	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
67	66	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
68	67	exbidv 1954	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69	68	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
71	62, 70	isclwwlk 30508	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73		nn0ge2m1nn 12645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
74	7, 73	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75		nn0re 12584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
76	75	lem1d 12219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
77	76	a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
78	7, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
79	78	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
80	72, 74, 79	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81	80	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82		pfxn0 14803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
84	83	biantrud 541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)))
85	84	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉))
86	85	3anbi1d 1468	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	71, 86	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88		biid 264	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
89		edgval 29560	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
90	1	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
91	90	rneqi 5915	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
92	89, 91	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
93	92	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94	93	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
95	92	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)
96	88, 94, 95	3anbi123i 1173	. . . 4 ⊢ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))
97	87, 96	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
98	97	anbi2d 642	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
99	60, 69, 98	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 ∅c0 4278 {cpr 4585 class class class wbr 5102 dom cdm 5647 ran crn 5648 ⟶wf 6523 –1-1→wf1 6524 –1-1-onto→wf1o 6526 ‘cfv 6527 (class class class)co 7408 0cc0 11171 1c1 11172 + caddc 11174 ≤ cle 11315 − cmin 11512 ℕcn 12304 2c2 12366 ℕ₀cn0 12575 ℤcz 12662 ...cfz 13608 ..^cfzo 13756 ♯chash 14441 Word cword 14625 lastSclsw 14674 prefix cpfx 14787 Vtxcvtx 29507 iEdgciedg 29508 Edgcedg 29558 UPGraphcupgr 29591 USPGraphcuspgr 29662 ClWalkscclwlks 30290 ClWWalkscclwwlk 30505

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7734 ax-cnex 11227 ax-resscn 11228 ax-1cn 11229 ax-icn 11230 ax-addcl 11231 ax-addrcl 11232 ax-mulcl 11233 ax-mulrcl 11234 ax-mulcom 11235 ax-addass 11236 ax-mulass 11237 ax-distr 11238 ax-i2m1 11239 ax-1ne0 11240 ax-1rid 11241 ax-rnegex 11242 ax-rrecex 11243 ax-cnre 11244 ax-pre-lttri 11245 ax-pre-lttrn 11246 ax-pre-ltadd 11247 ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-ifp 1079 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-op 4590 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6293 df-ord 6354 df-on 6355 df-lim 6356 df-suc 6357 df-iota 6483 df-fun 6529 df-fn 6530 df-f 6531 df-f1 6532 df-fo 6533 df-f1o 6534 df-fv 6535 df-riota 7365 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7861 df-1st 7984 df-2nd 7985 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-1o 8454 df-2o 8455 df-oadd 8458 df-er 8695 df-map 8827 df-pm 8828 df-en 8952 df-dom 8953 df-sdom 8954 df-fin 8955 df-dju 9953 df-card 9991 df-pnf 11316 df-mnf 11317 df-xr 11318 df-ltxr 11319 df-le 11320 df-sub 11514 df-neg 11515 df-nn 12305 df-2 12374 df-n0 12576 df-xnn0 12649 df-z 12663 df-uz 12935 df-fz 13609 df-fzo 13757 df-hash 14442 df-word 14626 df-lsw 14675 df-substr 14756 df-pfx 14788 df-edg 29559 df-uhgr 29569 df-upgr 29593 df-uspgr 29664 df-wlks 30113 df-clwlks 30291 df-clwwlk 30506

This theorem is used by: clwlkclwwlk2 30527 clwlkclwwlkf 30532

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