clwlkclwwlk - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlk 28267

Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlk	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐸 𝑃,𝑓 𝑓,𝑉 𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 27446	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		f1of1 6699	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺))
5		clwlkclwwlklem3 28266	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6	4, 5	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7		lencl 14164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		ige2m1fz 13275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
9	7, 8	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10		pfxlen 14324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
11	9, 10	syldan 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
12	7	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
15	14	subid1d 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
16	15	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
18	11, 17	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
19	18	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
21	11	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
22	21	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
23	22	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25		wrdlenge2n0 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27		nn0z 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32		elfzom1elfzo 13383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
33	31, 32	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34		pfxtrcfv 14334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
35	24, 26, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
37		elfzom1elp1fzo 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
38	29, 37	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
39	36, 38	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40		pfxtrcfv 14334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
41	24, 26, 39, 40	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
42	35, 41	preq12d 4674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
45	23, 44	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
46	45	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	20, 46	raleqbidva 3345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48		pfxtrcfvl 14338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49		pfxtrcfv0 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0) = (𝑃‘0))
50	48, 49	preq12d 4674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
51	50	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
52	47, 51	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
53	52	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54	53	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55		pfxcl 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
56	55	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
57	56	3biant1d 1476	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
58	54, 57	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	58	anbi2d 628	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
60	6, 59	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61		uspgrupgr 27449	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62		clwlkclwwlk.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
63	62, 1	isclwlkupgr 28047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64		3an4anass 1103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
65	63, 64	bitr4di 288	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
66	61, 65	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
68	67	exbidv 1925	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69	68	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
71	62, 70	isclwwlk 28249	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73		nn0ge2m1nn 12232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
74	7, 73	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
76	75	lem1d 11838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
77	76	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
78	7, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
79	78	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
80	72, 74, 79	3jca 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81	80	3adant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82		pfxn0 14327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
84	83	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)))
85	84	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉))
86	85	3anbi1d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	71, 86	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88		biid 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
89		edgval 27322	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
90	1	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
91	90	rneqi 5835	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
92	89, 91	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
93	92	eleq2i 2830	. . . . . 6 ⊢ ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94	93	ralbii 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
95	92	eleq2i 2830	. . . . 5 ⊢ ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)
96	88, 94, 95	3anbi123i 1153	. . . 4 ⊢ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))
97	87, 96	bitrdi 286	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
98	97	anbi2d 628	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
99	60, 69, 98	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∃wex 1783 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ∀wral 3063 ∅c0 4253 {cpr 4560 class class class wbr 5070 dom cdm 5580 ran crn 5581 ⟶wf 6414 –1-1→wf1 6415 –1-1-onto→wf1o 6417 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 ≤ cle 10941 − cmin 11135 ℕcn 11903 2c2 11958 ℕ₀cn0 12163 ℤcz 12249 ...cfz 13168 ..^cfzo 13311 ♯chash 13972 Word cword 14145 lastSclsw 14193 prefix cpfx 14311 Vtxcvtx 27269 iEdgciedg 27270 Edgcedg 27320 UPGraphcupgr 27353 USPGraphcuspgr 27421 ClWalkscclwlks 28039 ClWWalkscclwwlk 28246

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-ifp 1060 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-2o 8268 df-oadd 8271 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-dju 9590 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-xnn0 12236 df-z 12250 df-uz 12512 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-hash 13973 df-word 14146 df-lsw 14194 df-substr 14282 df-pfx 14312 df-edg 27321 df-uhgr 27331 df-upgr 27355 df-uspgr 27423 df-wlks 27869 df-clwlks 28040 df-clwwlk 28247

This theorem is referenced by: clwlkclwwlk2 28268 clwlkclwwlkf 28273

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