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Theorem clwlkclwwlk 29935
Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 29109 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3 f1of1 6842 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
5 clwlkclwwlklem3 29934 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
64, 5syl3an1 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7 lencl 14541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 ige2m1fz 13645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
97, 8sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10 pfxlen 14691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
119, 10syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = ((♯‘𝑃) − 1))
127nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
1514subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
1615eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1811, 17eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1918oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
2019oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
2111oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
2221oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
2322eleq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25 wrdlenge2n0 14560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28 peano2zm 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32 elfzom1elfzo 13754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3331, 32sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34 pfxtrcfv 14701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3524, 26, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
367adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
37 elfzom1elp1fzo 13753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3829, 37sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3936, 38sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40 pfxtrcfv 14701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4124, 26, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4235, 41preq12d 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4443ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4523, 44sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4645imp 405 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1))) → ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4720, 46raleqbidva 3317 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48 pfxtrcfvl 14705 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49 pfxtrcfv0 14702 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0) = (𝑃‘0))
5048, 49preq12d 4750 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5150eleq1d 2811 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5247, 51anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5352bicomd 222 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54533adant1 1127 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55 pfxcl 14685 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
56553ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
57563biant1d 1475 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5854, 57bitrd 278 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5958anbi2d 628 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
606, 59bitrd 278 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61 uspgrupgr 29114 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62 clwlkclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6362, 1isclwlkupgr 29715 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64 3an4anass 1102 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6563, 64bitr4di 288 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6766adantr 479 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6867exbidv 1917 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69683adant3 1129 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70 eqid 2726 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7162, 70isclwwlk 29917 . . . . 5 ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73 nn0ge2m1nn 12593 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
747, 73sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
7675lem1d 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
787, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
7978imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
8072, 74, 793jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81803adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82 pfxn0 14694 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)
8483biantrud 530 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅)))
8584bicomd 222 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉))
86853anbi1d 1437 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
8771, 86bitrid 282 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88 biid 260 . . . . 5 ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉)
89 edgval 28985 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
901eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
9190rneqi 5943 . . . . . . . 8 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
9289, 91eqtri 2754 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
9392eleq2i 2818 . . . . . 6 ({((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9493ralbii 3083 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9592eleq2i 2818 . . . . 5 ({(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)
9688, 94, 953anbi123i 1152 . . . 4 (((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))
9787, 96bitrdi 286 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸)))
9897anbi2d 628 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))) − 1)){((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘𝑖), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))), ((𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1))‘0)} ∈ ran 𝐸))))
9960, 69, 983bitr4d 310 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 prefix ((♯‘𝑃) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  c0 4325  {cpr 4635   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  ran crn 5683  wf 6550  1-1wf1 6551  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  lastSclsw 14570   prefix cpfx 14678  Vtxcvtx 28932  iEdgciedg 28933  Edgcedg 28983  UPGraphcupgr 29016  USPGraphcuspgr 29084  ClWalkscclwlks 29707  ClWWalkscclwwlk 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-upgr 29018  df-uspgr 29086  df-wlks 29536  df-clwlks 29708  df-clwwlk 29915
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk2  29936  clwlkclwwlkf  29941
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